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Calculs numérique et littéral

P.256-257

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LIVRET MATHS

1
Calculs numérique et littéral

En sciences, la création de modèles destinés à expliquer notre réalité est toujours allée de pair avec le développement d’outils mathématiques.

Vous trouverez au sein de ce livret maths, tous les outils mathématiques utilisés en classe d’enseignement scientifique.

Point de cours 1
Proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant par un même nombre non nul, appelé le coefficient de proportionnalité, les valeurs de l’autre.

Exemple
Le prix payé à la station-service est proportionnel au volume d’essence mis dans le réservoir du véhicule. Le coefficient de proportionnalité est le prix par litre.

Propriété

On peut toujours représenter une situation de proportionnalité à l’aide d’un tableau de proportionnalité.

Exemple
Chez le primeur, 5 kg de pommes coûtent 6 €. On peut représenter cette situation à l’aide d’un tableau.

Masse (kg)	5	15
Prix (euros)	6	18

Propriété

Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire. Dans un repère, celle-ci est représentée par une droite qui passe par l’origine. Le coefficient de proportionnalité correspond alors au coefficient directeur de cette droite.

Exemple
Pour un prix de 1,50 € par litre, on peut lier le volume d’essence (

x

) au prix payé (

y

) dans le graphique suivant :

Définition

Un pourcentage traduit une proportion. C’est une fraction dont le dénominateur vaut 100. Déterminer un pourcentage revient à calculer cette proportion.

Exemple
Dans une classe de 25 élèves, il y a 7 filles. Pour déterminer le pourcentage de filles, on peut remplir un tableau de proportionnalité. On trouve 28 % :

1
Identifier les grandeurs proportionnelles.

a. La longueur du côté dʼun carré et son périmètre.
b. Le nombre de sommets dʼun polygone et la somme de ses angles.
c. La longueur du côté dʼun carré et son aire.
d. Le nombre de lettres et le nombre de voyelles dans un mot.

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2
Compléter les tableaux de proportionnalité suivants :

3	7	10	13	⤸ _{^{x 7}}
				⤸ _{^{x 7}}

5	9	2	6	⤸ _{^{x 0,5}}
				⤸ _{^{x 0,5}}

1	3,5	7	2,5	⤸ _{^{x $\dfrac{2}{5}$}}
				⤸ _{^{x $\dfrac{2}{5}$}}

1	2	10	6	⤸ _^x
		6		⤸ _^x

	5		20	⤸ _^x
8		12	16	⤸ _^x

2	5,5	7,5		⤸ _^x
	0,55		101,5	⤸ _^x

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3
Dimension d’une cellule.

Une cellule mesure

4{,}5

cm sur une photographie. L’échelle est représentée à l’aide d’un trait de

1{,}0

cm de longueur sur lequel est indiqué :

10

μm.
Calculer la taille réelle de la cellule.

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4
La classe de 2^de 4 du lycée Victor-Duruy est composée de 38 élèves, dont 16 filles.

Quel est le pourcentage de filles en 2^de 4 ?

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5
Le laiton jaune est un alliage métallique de cuivre et de zinc. Un morceau de 650 g de laiton jaune contient 403 g de cuivre.

a. Quel est le pourcentage de cuivre contenu dans ce morceau de laiton jaune ?

b. Quel est le pourcentage de zinc contenu dans ce morceau de laiton jaune ?

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6
Cartographie.

Sur une carte dʼéchelle 200 000, la distance en ligne droite entre la maison dʼAbdel et son collège est de 1,25 cm. Déterminer la distance réelle, en ligne droite, entre ces deux endroits.

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7
Quel est le prix de 13 pralinés ?

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Exclusivité numérique
A
Un panneau solaire d’une surface de 1,9 m² permet de générer une puissance électrique de 360 W sous un éclairement de 1 000 W/m².

Déterminer la puissance générée par un champ de 200 m².

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Exclusivité numérique
B
Une population de 700 individus présente 3 génotypes différents. On dénombre 336 individus possédant le génotype 1 et 27 % possédant le génotype 2.

a. Déterminer le pourcentage d’individus possédant le génotype 1.

b. Calculer le pourcentage d’individus possédant le génotype 3, en déduire le nombre d’individus de la population possédant le génotype 3.

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Exclusivité numérique
C

La méthode capture-marquage-recapture est une technique utilisée pour estimer l’abondance d’une population (le nombre d’individus de cette population). Dans cette méthode, on fait l’hypothèse que la proportion d’animaux marqués est toujours la même. On marque 70 individus parmi la population totale, puis on les relâche. On réalise ensuite une capture de 160 individus, parmi lesquels 35 sont marqués.

Compléter le tableau de proportionnalité suivant et déterminer l’abondance de cette population.

Population
Individus marqués

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Point de cours 2
Équations à une inconnue

Définition

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut donner à

x

pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation.

Méthode

On applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but de n'avoir lʼinconnue que dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue. On vérifie que chaque valeur trouvée est bien solution de lʼéquation.

Propriété

Un produit est nul si et seulement si au moins lʼun de ses facteurs est nul.

Exemples

(3x - 8)(x + 7) = 0

est une équation de produit nul d’inconnue

x

.
Donc

3x - 8 = 0

x + 7 = 0

Soit

\text{x} = \dfrac{8}{3}

\text{x} = -7

Cette équation admet donc deux solutions :

\dfrac{8}{3} et -7.

Définition

Pour résoudre une équation du second degré de la forme

ax^2 + bx + c = 0

, avec

a \ne 0

, il faut d’abord calculer le discriminant :

\Delta = b^2 - 4ac

Si $\Delta < 0$ , l’équation n’a pas de solution.
Si $\Delta = 0$ , l’équation a une unique solution : $x = \dfrac{-b}{2ab}$
Si $\Delta > 0$ , l’équation a deux solutions : $x_1 = \dfrac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

8
Résoudre les équations suivantes :

3 x+7=-13-2 x

3(2 x-3)=27

2x = 3\pi

6(x-3)=3 x

0\text{,}5 x-2\text{,}6=3 x+1\text{,}4

\dfrac{1}{6} x + \dfrac{2}{3}x = 5 + 2x

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9
Résoudre les équations suivantes :

6 x-4=3 \times(2-x)

2 \times \pi \times x=10

-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} x+5

0\text{,}5 x+2=3 x-8

1{,}5 x+30=120

4 x-5=7x + 7

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10
Résoudre les équations suivantes :

(x+1) (x-2)=0

(3 x+2) (-4 x+5)=0

x^{2}-2 x+1=(x+1)(-2 x+7)

(2 x+5)^{2}=0

x(2x - 3) = 0

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11
Aires et périmètres.

a. Déterminer la valeur de

x

pour laquelle les deux rectangles ont la même aire.

b. Déterminer la valeur de

x

pour laquelle les deux rectangles ont le même périmètre.

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12
Périmètre d’une figure géométrique.

Aude veut former la figure illustrée ci-dessus avec un fil métallique de 96 cm de longueur.
Quelle est la valeur maximale que l’on peut choisir pour

x

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Exclusivité numérique
D
Lois des nœuds.

La loi des nœuds indique que dans un circuit électrique, la somme de l’intensité des courants arrivant à un nœud est égale à la somme de l’intensité des courants sortant de ce nœud.
Dans un circuit électrique, trois courants électriques d’intensité respective

I_1

I_2

I_3

arrivent à un nœud et deux courants d’intensité respective

I_4

I_5

.

a. Poser l’équation respectée par les intensités

I_1

I_2

I_3

I_4

I_5

b. On mesure les intensités suivantes :

$I_1 = 2{,}5$ A
$I_3 = 0{,}5$ A
$I_4 = 1{,}2$ A
$I_5 = 0{,}7$ A

Remplacer les intensités par leur valeur puis résoudre l’équation pour déterminer

I_2

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Exclusivité numérique
E
Rendement de conversion.

On transfère une puissance électrique

P_\text{e}

à un moteur, qui à son tour fournit une puissance mécanique

P_\text{m}

. Cette conversion se fait avec un rendement

r

, la puissance fournie par le moteur est donc égale au produit de la puissance effectivement reçue par le rendement

r

.

a. Poser l’équation permettant de déterminer la puissance

P_\text{m}

en fonction des autres grandeurs.

b. À cause des pertes par effet Joule, une partie de la puissance électrique est dissipée dans l’environnement. On appelle

P_\text{J}

cette perte. Réécrire alors l’équation précédente en tenant compte de la puissance dissipée

P_\text{J}

b. On dispose des informations suivantes :

$r = 0{,}85$
$P_\text{e} = 50$ W
$P_\text{m} = 34$ W

Déterminer

P_\text{J}

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Exclusivité numérique
F
Génotypes.

Le modèle de Hardy-Weinberg prédit la fréquence d’apparition des génotypes dans une population présentant deux allèles différents A et a sur un gène.
On note

f(\text{A})

la fréquence d’apparition de l’allèle A et f(a) la fréquence de l’apparition de l’allèle a. Selon ce modèle les fréquence d’apparition des combinaisons d’allèles AA, aa et Aa seront respectivement

f(\text{AA}) = f(\text{A})^2

f(\text{aa}) = 2f(\text{A})f(\text{a})

f(\text{aa})=f(\text{a})^2

.
Dans une population, la fréquence d’apparition du génotype AA est

f(\text{AA})=0,09

et la fréquence d’apparition du génotype Aa est

f(\text{Aa})=0,42

.

Poser et résoudre les équations permettant de déterminer les fréquences d’apparition des allèles A et a.

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1Calculs numérique et littéral

Point de cours 1Proportionnalité

Définition

Propriété

Propriété

Définition

1Identifier les grandeurs proportionnelles.

2Compléter les tableaux de proportionnalité suivants :

⤸ x 7

⤸ x 0,5

⤸ x25\dfrac{2}{5}52​

⤸ x

⤸ x

⤸ x

3Dimension d’une cellule.

4La classe de 2de 4 du lycée Victor-Duruy est composée de 38 élèves, dont 16 filles.

5Le laiton jaune est un alliage métallique de cuivre et de zinc. Un morceau de 650 g de laiton jaune contient 403 g de cuivre.

6Cartographie.

7 Quel est le prix de 13 pralinés ?

Exclusivité numériqueAUn panneau solaire d’une surface de 1,9 m2 permet de générer une puissance électrique de 360 W sous un éclairement de 1 000 W/m2.

Exclusivité numériqueBUne population de 700 individus présente 3 génotypes différents. On dénombre 336 individus possédant le génotype 1 et 27 % possédant le génotype 2.

Exclusivité numériqueC

Point de cours 2Équations à une inconnue

Définition

Propriété

Définition

8Résoudre les équations suivantes :

9Résoudre les équations suivantes :

10Résoudre les équations suivantes :

11Aires et périmètres.

12Périmètre d’une figure géométrique.

Exclusivité numériqueDLois des nœuds.

Exclusivité numériqueERendement de conversion.

Exclusivité numériqueFGénotypes.

1
Calculs numérique et littéral

Point de cours 1
Proportionnalité

1
Identifier les grandeurs proportionnelles.

2
Compléter les tableaux de proportionnalité suivants :

⤸ _{^{x 7}}

⤸ _{^{x 0,5}}

⤸ _{^{x $\dfrac{2}{5}$}}

⤸ _^x

⤸ _^x

⤸ _^x

3
Dimension d’une cellule.

4
La classe de 2^de 4 du lycée Victor-Duruy est composée de 38 élèves, dont 16 filles.

5
Le laiton jaune est un alliage métallique de cuivre et de zinc. Un morceau de 650 g de laiton jaune contient 403 g de cuivre.

6
Cartographie.

7
Quel est le prix de 13 pralinés ?

Exclusivité numérique
A
Un panneau solaire d’une surface de 1,9 m² permet de générer une puissance électrique de 360 W sous un éclairement de 1 000 W/m².

Exclusivité numérique
B
Une population de 700 individus présente 3 génotypes différents. On dénombre 336 individus possédant le génotype 1 et 27 % possédant le génotype 2.

Exclusivité numérique
C

Point de cours 2
Équations à une inconnue

8
Résoudre les équations suivantes :

9
Résoudre les équations suivantes :

10
Résoudre les équations suivantes :

11
Aires et périmètres.

12
Périmètre d’une figure géométrique.

Exclusivité numérique
D
Lois des nœuds.

Exclusivité numérique
E
Rendement de conversion.

Exclusivité numérique
F
Génotypes.