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Calculs numérique et littéral
P.256-257

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LIVRET MATHS



1
Calculs numérique et littéral






En sciences, la création de modèles destinés à expliquer notre réalité est toujours allée de pair avec le développement d’outils mathématiques.

Vous trouverez au sein de ce livret maths, tous les outils mathématiques utilisés en classe d’enseignement scientifique.

Point de cours 1
Proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant par un même nombre non nul, appelé le coefficient de proportionnalité, les valeurs de l’autre.

Exemple
Le prix payé à la station-service est proportionnel au volume d’essence mis dans le réservoir du véhicule. Le coefficient de proportionnalité est le prix par litre.


Propriété

On peut toujours représenter une situation de proportionnalité à l’aide d’un tableau de proportionnalité.

Exemple
Chez le primeur, 5 kg de pommes coûtent 6 €. On peut représenter cette situation à l’aide d’un tableau.

Masse (kg) 5 15
Prix (euros) 6 18


Propriété

Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire. Dans un repère, celle-ci est représentée par une droite qui passe par l’origine. Le coefficient de proportionnalité correspond alors au coefficient directeur de cette droite.

Exemple
Pour un prix de 1,50 € par litre, on peut lier le volume d’essence () au prix payé () dans le graphique suivant :

volume d’essence par prix payé

Définition

Un pourcentage traduit une proportion. C’est une fraction dont le dénominateur vaut 100. Déterminer un pourcentage revient à calculer cette proportion.

Exemple
Dans une classe de 25 élèves, il y a 7 filles. Pour déterminer le pourcentage de filles, on peut remplir un tableau de proportionnalité. On trouve 28 % :

proportionnalité

1
Identifier les grandeurs proportionnelles.




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2
Compléter les tableaux de proportionnalité suivants :

a.
3 7 10 13

x 7

b.
5 9 2 6

x 0,5

c.
1 3,5 7 2,5

x

d.
1 2 10 6

x

6
e.
5 20

x

8 12 16
f.
2 5,5 7,5

x

0,55 101,5
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3
Dimension d’une cellule.

Une cellule mesure cm sur une photographie. L’échelle est représentée à l’aide d’un trait de cm de longueur sur lequel est indiqué : μm.
Calculer la taille réelle de la cellule.
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4
La classe de 2de 4 du lycée Victor-Duruy est composée de 38 élèves, dont 16 filles.

Quel est le pourcentage de filles en 2de 4 ?
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5
Le laiton jaune est un alliage métallique de cuivre et de zinc. Un morceau de 650 g de laiton jaune contient 403 g de cuivre.

a. Quel est le pourcentage de cuivre contenu dans ce morceau de laiton jaune ?

b. Quel est le pourcentage de zinc contenu dans ce morceau de laiton jaune ?
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6
Cartographie.

Sur une carte dʼéchelle 200 000, la distance en ligne droite entre la maison dʼAbdel et son collège est de 1,25 cm. Déterminer la distance réelle, en ligne droite, entre ces deux endroits.
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7
Quel est le prix de 13 pralinés ?



Prix de 13 pralinés
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Exclusivité numérique
A
Un panneau solaire d’une surface de 1,9 m2 permet de générer une puissance électrique de 360 W sous un éclairement de 1 000 W/m2.

Déterminer la puissance générée par un champ de 200 m2.
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Exclusivité numérique
B
Une population de 700 individus présente 3 génotypes différents. On dénombre 336 individus possédant le génotype 1 et 27 % possédant le génotype 2.

a. Déterminer le pourcentage d’individus possédant le génotype 1.

b. Calculer le pourcentage d’individus possédant le génotype 3, en déduire le nombre d’individus de la population possédant le génotype 3.
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Exclusivité numérique
C

La méthode capture-marquage-recapture est une technique utilisée pour estimer l’abondance d’une population (le nombre d’individus de cette population). Dans cette méthode, on fait l’hypothèse que la proportion d’animaux marqués est toujours la même. On marque 70 individus parmi la population totale, puis on les relâche. On réalise ensuite une capture de 160 individus, parmi lesquels 35 sont marqués.

Compléter le tableau de proportionnalité suivant et déterminer l’abondance de cette population.

Population
Individus marqués

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Point de cours 2
Équations à une inconnue

Définition

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on peut donner à pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation.

Méthode

On applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but de n'avoir lʼinconnue que dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue. On vérifie que chaque valeur trouvée est bien solution de lʼéquation.

Propriété

Un produit est nul si et seulement si au moins lʼun de ses facteurs est nul.

Exemples
est une équation de produit nul d’inconnue .
Donc ou
Soit ou
Cette équation admet donc deux solutions :

Définition

Pour résoudre une équation du second degré de la forme , avec , il faut d’abord calculer le discriminant : .
  • Si , l’équation n’a pas de solution.
  • Si , l’équation a une unique solution :
  • Si , l’équation a deux solutions : et

8
Résoudre les équations suivantes :

a.

b.

c.

d.

e.

f.
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9
Résoudre les équations suivantes :

a.

b.

c.

d.

e.

f.
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10
Résoudre les équations suivantes :

a.

b.

c.

d.

e.
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11
Aires et périmètres.

aires et périmètres

a. Déterminer la valeur de pour laquelle les deux rectangles ont la même aire.

b. Déterminer la valeur de pour laquelle les deux rectangles ont le même périmètre.
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12
Périmètre d’une figure géométrique.

Périmètre


Aude veut former la figure illustrée ci-dessus avec un fil métallique de 96 cm de longueur.
Quelle est la valeur maximale que l’on peut choisir pour  ?
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Exclusivité numérique
D
Lois des nœuds.

La loi des nœuds indique que dans un circuit électrique, la somme de l’intensité des courants arrivant à un nœud est égale à la somme de l’intensité des courants sortant de ce nœud.
Dans un circuit électrique, trois courants électriques d’intensité respective , et arrivent à un nœud et deux courants d’intensité respective et .

a. Poser l’équation respectée par les intensités , , , et .


b. On mesure les intensités suivantes :
  • A
  • A
  • A
  • A
Remplacer les intensités par leur valeur puis résoudre l’équation pour déterminer .
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Exclusivité numérique
E
Rendement de conversion.

On transfère une puissance électrique à un moteur, qui à son tour fournit une puissance mécanique . Cette conversion se fait avec un rendement , la puissance fournie par le moteur est donc égale au produit de la puissance effectivement reçue par le rendement .

a. Poser l’équation permettant de déterminer la puissance en fonction des autres grandeurs.


b. À cause des pertes par effet Joule, une partie de la puissance électrique est dissipée dans l’environnement. On appelle cette perte. Réécrire alors l’équation précédente en tenant compte de la puissance dissipée .


b. On dispose des informations suivantes :
  • W
  • W
Déterminer .
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Exclusivité numérique
F
Génotypes.

Le modèle de Hardy-Weinberg prédit la fréquence d’apparition des génotypes dans une population présentant deux allèles différents A et a sur un gène.
On note la fréquence d’apparition de l’allèle A et f(a) la fréquence de l’apparition de l’allèle a. Selon ce modèle les fréquence d’apparition des combinaisons d’allèles AA, aa et Aa seront respectivement , et .
Dans une population, la fréquence d’apparition du génotype AA est et la fréquence d’apparition du génotype Aa est .

Poser et résoudre les équations permettant de déterminer les fréquences d’apparition des allèles A et a.
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