En sciences, la création de modèles destinés à expliquer notre réalité est toujours allée de pair avec le développement d'outils mathématiques.
Vous trouverez au sein de ce livret maths, tous les outils mathématiques utilisés en classe d'enseignement scientifique.
Point de cours 1
Proportionnalité
Définition
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une sont obtenues en multipliant par un même nombre non nul, appelé le coefficient de proportionnalité, les valeurs de l'autre.
Exemple
Le prix payé à la station-service est proportionnel au volume d'essence mis dans le réservoir du véhicule. Le coefficient de proportionnalité est le prix par litre.
Propriété
On peut toujours représenter une situation de proportionnalité à l'aide d'un tableau de proportionnalité.
Exemple
Chez le primeur, 5 kg de pommes coûtent 6 €. On peut représenter cette situation à l'aide d'un tableau.
Masse (kg)
5
15
Prix (euros)
6
18
Propriété
Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire. Dans un repère, celle-ci est représentée par une droite qui passe par l'origine. Le coefficient de proportionnalité correspond alors au coefficient directeur de cette droite.
Exemple
Pour un prix de 1,50 € par litre, on peut lier le volume d'essence (x) au prix payé (y) dans le graphique suivant :
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Définition
Un pourcentage traduit une proportion. C'est une fraction dont le dénominateur vaut 100. Déterminer un pourcentage revient à calculer cette proportion.
Exemple
Dans une classe de 25 élèves, il y a 7 filles. Pour déterminer le pourcentage de filles, on peut remplir un tableau de proportionnalité. On trouve 28 % :
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exercices
1
Identifier les grandeurs proportionnelles.
b. Le nombre de sommets dʼun polygone et la somme de ses angles.
c. La longueur du côté dʼun carré et son aire.
d. Le nombre de lettres et le nombre de voyelles dans un mot.
2
Compléter les tableaux de proportionnalité suivants :
a.
3
7
10
13
⤸ x 7
b.
5
9
2
6
⤸ x 0,5
c.
1
3,5
7
2,5
⤸ x52
d.
1
2
10
6
⤸ x
6
e.
5
20
⤸ x
8
12
16
f.
2
5,5
7,5
⤸ x
0,55
101,5
3
Dimension d'une cellule.
Une cellule mesure 4,5 cm sur une photographie. L'échelle est représentée à l'aide d'un trait de 1,0 cm de longueur sur lequel est indiqué : 10 μm.
Calculer la taille réelle de la cellule.
4
La classe de 2de 4 du lycée Victor-Duruy est composée de 38 élèves, dont 16 filles.
Quel est le pourcentage de filles en 2de 4 ?
5
Le laiton jaune est un alliage métallique de cuivre et de zinc. Un morceau de 650 g de laiton jaune contient 403 g de cuivre.
a. Quel est le pourcentage de cuivre contenu dans ce morceau de laiton jaune ?
b. Quel est le pourcentage de zinc contenu dans ce morceau
de laiton jaune ?
6
Cartographie.
Sur une carte dʼéchelle 200 000, la distance en ligne droite entre la maison dʼAbdel et son collège est de 1,25 cm. Déterminer la distance réelle, en ligne droite, entre ces deux endroits.
7
Quel est le prix de 13 pralinés ?
Le zoom est accessible dans la version Premium.
A
Un panneau solaire d'une surface de 1,9 m2 permet de générer une puissance électrique de 360 W sous un éclairement de 1 000 W/m2.
Déterminer la puissance générée par un champ de 200 m2.
B
Une population de 700 individus présente 3 génotypes différents. On dénombre 336 individus possédant le génotype 1 et 27 % possédant le génotype 2.
a. Déterminer le pourcentage d'individus possédant le génotype 1.
b. Calculer le pourcentage d'individus possédant le génotype 3, en déduire le nombre d'individus de la population possédant le génotype 3.
C
Exclusivité numérique
La méthode capture-marquage-recapture est une technique utilisée pour estimer l'abondance d'une population (le nombre d'individus de cette population). Dans cette méthode, on fait l'hypothèse que la proportion d'animaux marqués est toujours la même.
On marque 70 individus parmi la population totale, puis on les relâche. On réalise ensuite une capture de 160 individus, parmi lesquels 35 sont marqués.
Compléter le tableau de proportionnalité suivant et déterminer l'abondance de cette population.
Population
Individus marqués
Point de cours 2
Équations à une inconnue
Définition
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs que l'on peut donner à x pour que l'égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l'équation.
Méthode
On applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but de n'avoir lʼinconnue que dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue. On vérifie que chaque valeur trouvée est bien solution de lʼéquation.
Propriété
Un produit est nul si et seulement si au moins lʼun de ses facteurs est nul.
Exemple
(3x−8)(x+7)=0 est une équation de produit nul d'inconnue x. Donc 3x−8=0 ou x+7=0
Soit x=38 ou x=−7
Cette équation admet donc deux solutions :
38et−7.
Définition
Pour résoudre une équation du second degré de la forme ax2+bx+c=0, avec a=0, il faut d'abord calculer le discriminant : Δ=b2−4ac.
Si Δ<0, l'équation n'a pas de solution.
Si Δ=0, l'équation a une unique solution : x=2ab−b
Si Δ>0, l'équation a deux solutions : x1=2a−b−Δ et x2=2a−b+Δ
Exercices
8
Résoudre les équations suivantes :
a.3x+7=−13−2x
b.3(2x−3)=27
c.> 2x=3π
d.6(x−3)=3x
e.0,5x−2,6=3x+1,4
f.61x+32x=5+2x
9
Résoudre les équations suivantes :
a.6x−4=3×(2−x)
b.2×π×x=10
c.−21=41x+5
d.0,5x+2=3x−8
e.1,5x+30=120
f.4x−5=7x+7
10
Résoudre les équations suivantes :
a.(x+1)(x−2)=0
b.(3x+2)(−4x+5)=0
c.x2−2x+1=(x+1)(−2x+7)
d.(2x+5)2=0
e.x(2x−3)=0
11
Aires et périmètres.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
a. Déterminer la valeur de x pour laquelle les deux rectangles ont la même aire.
b. Déterminer la valeur de x pour laquelle les deux rectangles ont le même périmètre.
12
Périmètre d'une figure géométrique.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Aude veut former la figure illustrée ci-dessus avec un fil métallique de 96 cm de longueur.
Quelle est la valeur maximale que l'on peut choisir pour x ?
D
Lois des nœuds.
La loi des nœuds indique que dans un circuit électrique, la somme de l'intensité des courants arrivant à un nœud est égale à la somme de l'intensité des courants sortant de ce nœud.
Dans un circuit électrique, trois courants électriques d'intensité respective I1, I2 et I3 arrivent à un nœud et deux courants d'intensité respective I4 et I5.
a. Poser l'équation respectée par les intensités I1, I2, I3, I4 et I5.
b. On mesure les intensités suivantes :
I1=2,5 A
I3=0,5 A
I4=1,2 A
I5=0,7 A
Remplacer les intensités par leur valeur puis résoudre l'équation pour déterminer I2.
E
Rendement de conversion.
On transfère une puissance électrique Pe à un moteur, qui à son tour fournit une puissance mécanique Pm. Cette conversion se fait avec un rendement r, la puissance fournie par le moteur est donc égale au produit de la puissance effectivement reçue par le rendement r.
a. Poser l'équation permettant de déterminer la puissance Pm en fonction des autres grandeurs.
b. À cause des pertes par effet Joule, une partie de la puissance électrique est dissipée dans l'environnement. On appelle PJ cette perte. Réécrire alors l'équation précédente en tenant compte de la puissance dissipée PJ.
b. On dispose des informations suivantes :
r=0,85
Pe=50 W
Pm=34 W
Déterminer PJ.
F
Génotypes.
Le modèle de Hardy-Weinberg prédit la fréquence d'apparition des génotypes dans une population présentant deux allèles différents A et a sur un gène.
On note f(A) la fréquence d'apparition de l'allèle A et f(a) la fréquence de l'apparition de l'allèle a. Selon ce modèle les fréquence d'apparition des combinaisons d'allèles AA, aa et Aa seront respectivement f(AA)=f(A)2, f(aa)=2f(A)f(a) et f(aa)=f(a)2.
Dans une population, la fréquence d'apparition du génotype AA est f(AA)=0,09 et la fréquence d'apparition du génotype Aa est f(Aa)=0,42.
Poser et résoudre les équations permettant de déterminer les fréquences d'apparition des allèles A et a.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
Yolène
Émilie
Jean-Paul
Fatima
Sarah
Premium activé
5
essais restants
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.