Calculs numérique et littéral

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une sont obtenues en multipliant par un même nombre non nul, appelé le coefficient de proportionnalité, les valeurs de l'autre.

Le prix payé à la station-service est proportionnel au volume d'essence mis dans le réservoir du véhicule. Le coefficient de proportionnalité est le prix par litre.

On peut toujours représenter une situation de proportionnalité à l'aide d'un tableau de proportionnalité.

Chez le primeur, 5 kg de pommes coûtent 6 €. On peut représenter cette situation à l'aide d'un tableau.

Une situation de proportionnalité est modélisée par une fonction linéaire. Dans un repère, celle-ci est représentée par une droite qui passe par l'origine. Le coefficient de proportionnalité correspond alors au coefficient directeur de cette droite.

Pour un prix de 1,50 € par litre, on peut lier le volume d'essence ($x$) au prix payé ($y$) dans le graphique suivant :

Un pourcentage traduit une proportion. C'est une fraction dont le dénominateur vaut 100. Déterminer un pourcentage revient à calculer cette proportion.

Une cellule mesure $4,5$ cm sur une photographie. L'échelle est représentée à l'aide d'un trait de $1,0$ cm de longueur sur lequel est indiqué : $10$ μm.
Calculer la taille réelle de la cellule.

Quel est le pourcentage de filles en 2^de 4 ?

a. Quel est le pourcentage de cuivre contenu dans ce morceau de laiton jaune ?

b. Quel est le pourcentage de zinc contenu dans ce morceau de laiton jaune ?

Sur une carte dʼéchelle 200 000, la distance en ligne droite entre la maison dʼAbdel et son collège est de 1,25 cm. Déterminer la distance réelle, en ligne droite, entre ces deux endroits.

a. Déterminer le pourcentage d'individus possédant le génotype 1.

b. Calculer le pourcentage d'individus possédant le génotype 3, en déduire le nombre d'individus de la population possédant le génotype 3.

La méthode capture-marquage-recapture est une technique utilisée pour estimer l'abondance d'une population (le nombre d'individus de cette population). Dans cette méthode, on fait l'hypothèse que la proportion d'animaux marqués est toujours la même. On marque 70 individus parmi la population totale, puis on les relâche. On réalise ensuite une capture de 160 individus, parmi lesquels 35 sont marqués.

Compléter le tableau de proportionnalité suivant et déterminer l'abondance de cette population.

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs que l'on peut donner à $x$ pour que l'égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l'équation.

On applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but de n'avoir lʼinconnue que dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue. On vérifie que chaque valeur trouvée est bien solution de lʼéquation.

Un produit est nul si et seulement si au moins lʼun de ses facteurs est nul.

$(3x-8)(x+7)=0$ est une équation de produit nul d'inconnue $x$.
Donc $3x-8=0$ ou $x+7=0$
Soit $\text{x}=\frac{8}{3}$ ou $\text{x}=-7$
Cette équation admet donc deux solutions : $\frac{8}{3}et-7.$

a. $3x+7=-13-2x$

b. $3(2x-3)=27$

c.> $2x=3\pi$

d. $6(x-3)=3x$

e. $0\text{,}5x-2\text{,}6=3x+1\text{,}4$

f. $\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}x=5+2x$

a. $6x-4=3\times (2-x)$

b. $2\times \pi \times x=10$

c. $-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}x+5$

d. $0\text{,}5x+2=3x-8$

e. $1,5x+30=120$

f. $4x-5=7x+7$

La loi des nœuds indique que dans un circuit électrique, la somme de l'intensité des courants arrivant à un nœud est égale à la somme de l'intensité des courants sortant de ce nœud.
Dans un circuit électrique, trois courants électriques d'intensité respective $I_1$, $I_2$ et $I_3$ arrivent à un nœud et deux courants d'intensité respective $I_4$ et $I_5$.

a. Poser l'équation respectée par les intensités $I_1$, $I_2$, $I_3$, $I_4$ et $I_5$.

b. On mesure les intensités suivantes :

• $I_1=2,5$ A
• $I_3=0,5$ A
• $I_4=1,2$ A
• $I_5=0,7$ A

Remplacer les intensités par leur valeur puis résoudre l'équation pour déterminer $I_2$.

On transfère une puissance électrique $P_{\text{e}}$ à un moteur, qui à son tour fournit une puissance mécanique $P_{\text{m}}$. Cette conversion se fait avec un rendement $r$, la puissance fournie par le moteur est donc égale au produit de la puissance effectivement reçue par le rendement $r$.

a. Poser l'équation permettant de déterminer la puissance $P_{\text{m}}$ en fonction des autres grandeurs.

b. À cause des pertes par effet Joule, une partie de la puissance électrique est dissipée dans l'environnement. On appelle $P_{\text{J}}$ cette perte. Réécrire alors l'équation précédente en tenant compte de la puissance dissipée $P_{\text{J}}$.

b. On dispose des informations suivantes :

• $r=0,85$
• $P_{\text{e}}=50$ W
• $P_{\text{m}}=34$ W

Déterminer $P_{\text{J}}$.