Objectif

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Ötzi

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Hypertension et volume sanguin

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Datation d’une carotte glaciaire

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Traitement thyroïdien

Données

• Masse molaire du carbone 14 : $M(^{14}\text{C}) = 14{,}0$ g·mol^-1
• Constante d'Avogadro : $N_{\text{A}} = 6{,}02 \times 10^{23}$ mol^-1

■ Évolution du nombre de noyaux au cours du temps

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Hypertension et volume sanguin

✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
✔ RAI/MOB : Modéliser une transformation

1. Donner la composition du noyau de sodium 24. ➜ Tableau périodique en rabat de fin


2. Écrire son équation de désintégration $\beta ^-$.


3. Déterminer la quantité de matière de sodium 24 introduite et en déduire le nombre de noyaux.


Soit $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs présents, à la date $t$, dans un échantillon.

4. Écrire l’expression de la loi de décroissance $N = f(t)$ en fonction de $N_0$, le nombre de noyaux initialement présents dans l’échantillon, et $t_{1/2}$, temps de demi-vie, dont on précisera la définition.


5. Calculer le nombre de noyaux au bout de 7,0 h sachant que le temps de demi-vie du sodium 24 est égal à $t_{1/2} = 15{,}0$ h.



6. En déduire le volume sanguin du patient. Conclure.

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Datation d’une carotte glaciaire

✔ RAI/ANA : Utiliser et interpréter des documents
✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle



■ Carotte glaciaire

1. Donner la composition du noyau de chlore 36.


2. Préciser en quoi le renouvellement en chlore 36 dans les eaux de surface est important pour la datation.


3. Donner l’équation de la désintégration du chlore 36 sachant qu’un noyau d’argon se forme.


4. Donner le nom de la particule émise et le type de radioactivité mise en jeu.


La variation temporelle du nombre de noyaux radioactifs $\dfrac{\text{d}N}{\text{d}t}$ est proportionnelle à la population :
$-\dfrac{\text{d}N}{\text{d}t} = \lambda \cdot N$
5. Résoudre l’équation différentielle.


6. Donner la définition du temps de demi-vie $t_{1/2}$ et calculer la valeur de la constante radioactive $\lambda$.



7. Donner la valeur du rapport $\dfrac{N(t_1)}{N_0}$ pour le morceau de glace étudié.


8. Exprimer, puis calculer l’âge $t_1$ de l’échantillon.


9. La glace contient également des bulles de dioxyde de carbone $\text{CO}_2(\text{g})$. Expliquer pourquoi la datation au carbone 14 est inadéquate.

Données

Temps de demi-vie :

• $t_{1/2}(^{36}\text{Cl}) = 3{,}01 \times 10^5$ a
• $t_{1/2}(^{14}\text{C}) = 5{,}73 \times 10^3$ a

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Traitement thyroïdien

✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
✔ RAI/MOB : Modéliser une transformation

1. Écrire l’équation de désintégration du carbone 11.


On injecte 2,5 μg de traceur $^{11}\text{C}$ dans le patient.

2. Déterminer le nombre de noyaux injectés.


3. Donner la loi de décroissance radioactive.


4. À partir de cette loi, vérifier que : $\ln(N) = \ln(N_0) - \lambda\cdot t$


Un contrôle de cette source au cours du temps donne les résultats suivants :


5. Ajouter une ligne au tableau en insérant la valeur de $\ln(N)$ et tracer la courbe $\ln(N)$en fonction du temps $t$ et déterminer la constante radioactive $\lambda$.

6. Déterminer le nombre de noyaux radioactifs restants, 24 h après la scintigraphie.


7. En déduire le pourcentage de noyaux désintégrés 24 h après l’examen.


8. Proposer une explication au fait que cet examen peut présenter un danger pour la santé.

Données

• Masse molaire du carbone 11 : $M(^{11}\text{C}) = 11{,}0$ g·mol^-1
• Relations utiles : $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$ et $a = \ln(\exp(a))$