Le centre de masse d'un système est le point auquel on associe toute la masse du système par simplification. Il exerce autour de lui le même champ de gravitation que le système lui-même.

Pour un solide de masse volumique homogène, le centre de masse correspond au centre géométrique : centre de la sphère, du cube, etc.

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B
Référentiels galiléens

Les lois de Newton sont énoncées dans le cadre des référentiels galiléens.

Un référentiel est dit galiléen si le principe d'inertie est vérifié dans celui‑ci. Cela implique qu'un référentiel est galiléen s'il est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen.

En pratique, si la durée de l'expérience permet de négliger les effets de la rotation ou de l'accélération d'un référentiel, on considérera celui‑ci comme galiléen.

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C
Énoncé de la deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces extérieures \Sigma \overrightarrow{F} est égale à :

\Sigma \overrightarrow{F}=m \ · \vec{a}

\Sigma \overrightarrow{F} : résultante des forces extérieures de norme \|\Sigma \overrightarrow{F}\|(N)

m : masse du système (kg)

\vec{a} : accélération du système de norme a (m·s^-2)

Le principe d'inertie, ou première loi de Newton, est un cas particulier de la deuxième loi de Newton, pour lequel la résultante des forces est égale au vecteur nul \overrightarrow{0}.

Un système soumis à une résultante des forces nulle \Sigma \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0} est nécessairement soit immobile, soit en mouvement rectiligne uniforme, c'est‑à‑dire que \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}.

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Application : freinage d'une voiture

Représenter les forces s'exerçant sur une voiture lors d'un freinage.

Corrigé

Le vecteur accélération a la même direction et le même sens que la résultante des forces extérieures.

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Supplément numérique

Retrouvez une explication de la deuxième loi de Newton en vidéo :

Matthieu Colombel,

Laissemoitaider

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Vocabulaire

Référentiel géocentrique

Référentiel terrestre

Référentiel géocentrique : référentiel dont le centre est le centre de la Terre et dont les trois axes pointent vers trois étoiles supposées fixes.

Référentiel terrestre : également appelé référentiel du laboratoire, il est centré sur un point fixe de la Terre et ses trois axes sont immobiles par rapport à la surface.

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Pas de malentendu

Le référentiel terrestre sera considéré comme galiléen pour toutes les expériences de durée faible devant la durée de rotation de la Terre sur elle‑même (24 h).

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Doc. 1
Solide à l'équilibre

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Un système assimilé à un point matériel et soumis à deux forces est à l'équilibre si les deux forces ont la même intensité et des sens opposés.
Ce même système soumis à trois forces est à l'équilibre si :

\overrightarrow{F_{1}}+\overrightarrow{F_{2}}+\overrightarrow{F_{3}}=\overrightarrow{0}

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Doc. 2
Freinage d'une voiture

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Éviter les erreurs

La deuxième loi de Newton est une relation vectorielle : lorsque l'on projette cette égalité suivant un axe, il est impératif de tenir compte du sens des vecteurs force considérés.

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2
Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

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A
Vecteurs accélération et vitesse

À la surface de la Terre, on considère le champ de pesanteur \overrightarrow{g} comme uniforme. Le mouvement du centre de masse G d'un corps de masse m en chute libre est étudié, dans un référentiel (\text O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) ().
D'après la deuxième loi de Newton :
\begin{aligned} \Sigma \overrightarrow{F} &=m \ · \overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{P} &=m\ · \overrightarrow{a} \\ m \ · \overrightarrow{g} &=m\ · \overrightarrow{a} \\ \overrightarrow{g} &=\overrightarrow{a} \end{aligned}

Lors d'une chute libre, le vecteur accélération du centre de masse du système \vec{a} est constant et égal au champ de pesanteur \overrightarrow{g}.

Les coordonnées de \overrightarrow{a} sont donc celles de \overrightarrow{g} :

\vec{a}=-g \ · \overrightarrow{k} soit \overrightarrow{a}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -g \end{array}\right)_{(\text O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})}

On peut en déduire les coordonnées du vecteur vitesse \overrightarrow{v} par intégration :

\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} v_{0 x} \\ v_{0 y} \\ -g\ · t+v_{0 z} \end{array}\right)_{(\text O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})}

avec v_{0 x}, v_{0 y} et v_{0 z} les coordonnées du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v}_{0}.

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B
Chute sans vitesse initiale

Dans le cas où le solide est lâché sans vitesse initiale, alors v a pour coordonnées :

\vec{v}=-g \ · t \ · \overrightarrow{k} soit \overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -g \cdot t \end{array}\right)_{(\text O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})}

Par intégration, on peut donc en déduire la position du centre de masse au cours du temps :

\overrightarrow{\mathrm{OG}}\left(\begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0} \\ -\frac{1}{2} g \ · t^{2}+z_{0}\\ \end{array}\right)_{(\text O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})}

Si l'origine du repère est placée suivant l'axe de la chute libre, cette équation se simplifie :

\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\left(-\frac{1}{2} g\ · t^{2}+z_{0}\right) · \overrightarrow{k}

Lors d'une chute libre sans vitesse initiale, la vitesse est proportionnelle à la durée de la chute et la trajectoire est verticale.

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C
Mouvement parabolique

Lors d'une chute dans un champ de pesanteur uniforme, le mouvement est plan et peut être étudié dans le seul repère (\text O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{k}).

Dans le cas où le solide est lancé avec une vitesse initiale formant un angle \alpha avec l'horizontal, le vecteur \overrightarrow{v}_{0} a pour composantes :

\overrightarrow{v}_{0}\left(\begin{array}{c} v_{0} · \cos (\alpha) \\ v_{0} · \sin (\alpha) \end{array}\right)_{(\text O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{k})}

Cela implique que :

\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l} v_{0} · \cos (\alpha) \\ -g \ · t+v_{0} · \sin (\alpha) \end{array}\right)_{(\text O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{k})}

Par intégration :

\overrightarrow{\mathrm{OG}}\left(\begin{array}{l} x(t)=v_{0}\ · \cos (\alpha) \ · t+x_{0} \\ z(t)=-\frac{1}{2} g\ · t^{2}+v_{0} \ · \sin (\alpha)\ · t+z_{0} \end{array}\right)_{(\text O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{k})}

L'équation de la trajectoire s'obtient en exprimant z en fonction de x. Si la position initiale correspond avec l'origine du repère x_{0}=y_{0}=z_{0}=0 m, on a alors t=\frac{x}{v_{0} · \cos (\alpha)} d'où :

z(x) = - \dfrac{1}{2} \ g \cdot \dfrac{x^2}{v_0^2 \cdot \cos{\alpha}^2} + \tan{\alpha} \cdot x

Si la vitesse initiale est non nulle et non verticale, la trajectoire est parabolique.

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D
Exploitation des équations

Les équations horaires et de la trajectoire permettent de déterminer différentes grandeurs caractéristiques du mouvement : flèche λ, portée D, angle de tir \alpha, etc.

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Application : expression de la flèche d'un mouvement parabolique

La flèche, notée H, correspond à l'altitude du sommet S de la parabole. En ce point, la vitesse est horizontale, donc :
-g \ · t_{s}+v_{0} \ · \sin (\alpha)=0

t_{s}=\frac{v_{0} \ · \sin (\alpha)}{g}

En remplaçant dans l'équation horaire de z(t), on obtient :
\begin{array}{l} H=z_{s} \\ H=-\frac{1}{2} g\ · t_{s}^{2}+v_{0} · \sin (\alpha) \ · t_{s} \\ H=-\frac{1}{2} g\ ·\left(\frac{v_{0} · \sin (\alpha)}{g}\right)^{2}+\frac{\left(v_{0} · \sin (\alpha)\right)^{2}}{g} \\ H=\frac{\left(v_{0} · \sin (\alpha)\right)^{2}}{2 g} \end{array}

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