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Pasteurisation du lait
P.460-461

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SUJET BAC EXPÉRIMENTAL


5
Pasteurisation du lait




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La pasteurisation du lait tue près de 99,99999{,}999 % des bactéries. Cette technique consiste à faire chauffer le lait à 7272 °C pendant une courte durée, puis à le refroidir.

➜ Quel gain de temps de chauffage peut-on espérer obtenir en utilisant un matériel adapté ?

Doc. 1
Modélisation du chauffage

Modélisation du chauffage

Le chauffage pour la pasteurisation du lait est modélisé par un bain‑marie chauffant une canette et un bécher de taille similaire.

Données

  • Diamètre de la canette : d=6,6d = 6{,}6 cm
  • Capacité thermique massique de l’eau : c=4,18c = 4{,}18 J⋅g-1⋅°C-1
  • Surface d’une canette découpée ou d’un bécher de rayon r\bm r et de hauteur h\bm h : S=πr(r+2h)S=\pi \cdot r \cdot(r+2 h)
  • Expression de la capacité thermique massique du lait : clait =aθ+bc_{\text {lait }}=a \cdot \theta+b
  • clait c_{\text {lait }} : capacité thermique massique du lait (J·kg-1·°C-1)
    aa : constante égale à a=2,84a = 2{,}84 J·kg-1·°C-2
    θ\theta : température (°C)
    bb : constante égale à b=3824b = 3\: 824 J·kg-1·°C-1

Doc. 2
Évolution de la température

Évolution de la température
L’évolution de la température θ(t)\theta(t) a pour expression :
θ(t)=θf+(θiθf)exp(tτ)\theta(t)=\theta_{\mathrm{f}}+\left(\theta_{\mathrm{i}}-\theta_{\mathrm{f}}\right) \cdot \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)
θ(t)\theta(t) : température de l’eau (°C)
θf\theta_{\mathrm{f}} : température finale de l’eau (°C)
θi\theta_{\mathrm{i}} : température initiale de l’eau (°C)
tt : temps (s)
τ\tau : constante de temps caractéristique du système (s)

Doc. 3
Matériel nécessaire

  • Bain-marie thermostaté à une température fixe située entre 7070 et 8080 °C
  • Canette d’aluminium découpée
  • Potences et pinces
  • Bécher de 250250 mL
  • Deux thermomètres
  • Logiciel tableurgrapheur
  • Fiole jaugée de 200,0200{,}0 mL
  • Pied à coulisse

Doc. 4
Équation différentielle

D’après le premier principe, la variation d’énergie interne ΔU\Delta U de l’eau contenue dans la canette ou dans le bécher est égale à l’énergie reçue par le bain-marie. En dérivant par rapport au temps tt, on obtient une équation différentielle selon θ\theta :
mcdθdt=hS(θfθ)m \cdot c \cdot \dfrac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=h \cdot S \cdot\left(\theta_{\mathrm{f}}-\theta\right)
mm : masse d’eau (g)
cc : capacité thermique massique de l’eau (J·g-1·°C-1)
θ\theta : température de l’eau (°C)
tt : temps (s)
hh : coefficient de transfert thermique (W·°C-1·m-2)
SS : surface d’échange entre la paroi et l’eau (m2)
θf\theta_\text{f} : température fixée du bain-marie (°C)

Doc. 5
Cuve de pastorisation

Cuve de pastorisation


1
Proposition d’un protocole
(10 minutes conseillées)

1. Proposer un protocole permettant de mesurer la durée caractéristique de réchauffement τ\tau de l’eau dans le bécher et dans la canette.


Appel n°1 Appeler le professeur pour lui présenter le protocole, ou en cas de difficulté.


2. Justifier qu’il est possible de considérer que la capacité thermique du lait à 5050 °C est équivalente à celle de l’eau. Effectuer une comparaison sous la forme d’un rapport pour justifier l’emploi d’eau dans l’expérience.


2
Réalisation du protocole
(20 minutes conseillées)

3. Après avoir mesuré la température initiale θi\theta_\text{i} de l’eau et les masses d’eau utilisées dans chaque récipient, notées mcanettem_\text{canette} et mbeˊcherm_\text{bécher}, réaliser le protocole validé par le professeur et mesurer les temps caractéristiques τcanette\tau_\text{canette} et τbeˊcher\tau_\text{bécher}. On veillera à ce que le thermomètre ne soit pas en contact avec les parois.


Appel n°2 Appeler le professeur pour lui présenter les résultats, ou en cas de difficultés.


3
Coefficient de Newton et temps limite
(30 minutes conseillées)

Soit l’équation différentielle permettant d’établir l’expression de la température θ\theta au cours du temps : dθdt+θτ=θextτ\dfrac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\theta}{\tau}=\dfrac{\theta_{\mathrm{ext}}}{\tau}

4. Vérifier que l’équation différentielle présentée dans le doc. 4 (⇧) peut se mettre sous la forme proposée et déterminer l’expression de τ\tau.


5. En déduire l’expression du coefficient de Newton hh en fonction de la surface SS d’échange, du temps caractéristique τ, de la capacité thermique massique de l’eau cc et de la masse d’eau mm introduite dans le récipient. Calculer les coefficients hcanetteh_\text{canette} et hbeˊcherh_\text{bécher} en tenant compte des spécificités de chaque expérience.


Le temps limite tlimt_\text{lim} correspond à l’instant pour lequel la température atteinte par l’eau est égale à θf1\theta_\text{f} - 1 °C.
6. Démontrer que tlim=τln(θfθi1C)t_{\lim }=\tau \cdot \ln \left(\dfrac{\theta_{\mathrm{f}}-\theta_{\mathrm{i}}}{1^{\circ} \mathrm{C}}\right). Calculer ce temps limite pour les deux récipients.


7. En déduire quel récipient est le plus adapté pour réaliser une pasteurisation du lait.


Défaire le montage et ranger la paillasse

Se Préparer aux ECE

Rédiger une fiche de synthèse expliquant comment on peut déterminer une constante de temps caractéristique à l’aide d’un graphique représentant l’évolution temporelle d’une grandeur de type exponentielle.
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