Doc. 1

Modélisation du chauffage

Le chauffage pour la pasteurisation du lait est modélisé par un bain‑marie chauffant une canette et un bécher de taille similaire.

• Diamètre de la canette : $d=6,6$ cm
• Capacité thermique massique de l’eau : $c=4,18$ J⋅g^-1⋅°C^-1
• Surface d’une canette découpée ou d’un bécher de rayon $\mathbf{r}$ et de hauteur $\mathbf{h}$ : $S=\pi \cdot r\cdot (r+2h)$
• Expression de la capacité thermique massique du lait : $c_{\text{lait }}=a\cdot \theta +b$
$c_{\text{lait }}$ : capacité thermique massique du lait (J·kg-1·°C-1) $a$ : constante égale à $a=2,84$ J·kg-1·°C-2 $\theta$ : température (°C) $b$ : constante égale à $b=3824$ J·kg-1·°C-1

Doc. 2

Évolution de la température

L’évolution de la température $\theta (t)$ a pour expression :
$\theta (t)={\theta }_{\mathrm{f}}+\left({\theta }_{\mathrm{i}}-{\theta }_{\mathrm{f}}\right)\cdot \exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)$

Doc. 4

Équation différentielle

D’après le premier principe, la variation d’énergie interne $\Delta U$ de l’eau contenue dans la canette ou dans le bécher est égale à l’énergie reçue par le bain-marie. En dérivant par rapport au temps $t$, on obtient une équation différentielle selon $\theta$ :
$m\cdot c\cdot \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=h\cdot S\cdot \left({\theta }_{\mathrm{f}}-\theta \right)$

Doc. 5

Cuve de pastorisation

1

Proposition d’un protocole (10 minutes conseillées)

1. Proposer un protocole permettant de mesurer la durée caractéristique de réchauffement $\tau$ de l’eau dans le bécher et dans la canette.




2. Justifier qu’il est possible de considérer que la capacité thermique du lait à $50$ °C est équivalente à celle de l’eau. Effectuer une comparaison sous la forme d’un rapport pour justifier l’emploi d’eau dans l’expérience.

2

Réalisation du protocole (20 minutes conseillées)

3. Après avoir mesuré la température initiale ${\theta }_{\text{i}}$ de l’eau et les masses d’eau utilisées dans chaque récipient, notées $m_{\text{canette}}$ et $m_{\text{beˊcher}}$, réaliser le protocole validé par le professeur et mesurer les temps caractéristiques ${\tau }_{\text{canette}}$ et ${\tau }_{\text{beˊcher}}$. On veillera à ce que le thermomètre ne soit pas en contact avec les parois.

3

Coefficient de Newton et temps limite (30 minutes conseillées)

Soit l’équation différentielle permettant d’établir l’expression de la température $\theta$ au cours du temps : $\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}+\frac{\theta }{\tau }=\frac{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}}{\tau }$

4. Vérifier que l’équation différentielle présentée dans le doc. 4 (⇧) peut se mettre sous la forme proposée et déterminer l’expression de $\tau$.


5. En déduire l’expression du coefficient de Newton $h$ en fonction de la surface $S$ d’échange, du temps caractéristique τ, de la capacité thermique massique de l’eau $c$ et de la masse d’eau $m$ introduite dans le récipient. Calculer les coefficients $h_{\text{canette}}$ et $h_{\text{beˊcher}}$ en tenant compte des spécificités de chaque expérience.


Le temps limite $t_{\text{lim}}$ correspond à l’instant pour lequel la température atteinte par l’eau est égale à ${\theta }_{\text{f}}-1$ °C.
6. Démontrer que $t_{\lim }=\tau \cdot \ln \left(\frac{{\theta }_{\mathrm{f}}-{\theta }_{\mathrm{i}}}{1^{\circ }\mathrm{C}}\right)$. Calculer ce temps limite pour les deux récipients.


7. En déduire quel récipient est le plus adapté pour réaliser une pasteurisation du lait.