La pasteurisation du lait tue près de $99,999$ % des bactéries. Cette technique consiste à faire chauffer le lait à $72$ °C pendant une courte durée, puis à le refroidir.

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Proposition d'un protocole (10 minutes conseillées)
1. Proposer un protocole permettant de mesurer la durée caractéristique de réchauffement $\tau$ de l'eau dans le bécher et dans la canette.

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Réalisation du protocole (20 minutes conseillées)
3. Après avoir mesuré la température initiale ${\theta }_{\text{i}}$ de l'eau et les masses d'eau utilisées dans chaque récipient, notées $m_{\text{canette}}$ et $m_{\text{beˊcher}}$, réaliser le protocole validé par le professeur et mesurer les temps caractéristiques ${\tau }_{\text{canette}}$ et ${\tau }_{\text{beˊcher}}$. On veillera à ce que le thermomètre ne soit pas en contact avec les parois.

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Coefficient de Newton et temps limite (30 minutes conseillées)
Soit l'équation différentielle permettant d'établir l'expression de la température $\theta$ au cours du temps : $\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}+\frac{\theta }{\tau }=\frac{{\theta }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}}{\tau }$

4. Vérifier que l'équation différentielle présentée dans le doc. 4 peut se mettre sous la forme proposée et déterminer l'expression de $\tau$.

5. En déduire l'expression du coefficient de Newton $h$ en fonction de la surface $S$ d'échange, du temps caractéristique τ, de la capacité thermique massique de l'eau $c$ et de la masse d'eau $m$ introduite dans le récipient. Calculer les coefficients $h_{\text{canette}}$ et $h_{\text{beˊcher}}$ en tenant compte des spécificités de chaque expérience.

Le temps limite $t_{\text{lim}}$ correspond à l'instant pour lequel la température atteinte par l'eau est égale à ${\theta }_{\text{f}}-1$ °C.
6. Démontrer que $t_{\lim }=\tau \cdot \ln \left(\frac{{\theta }_{\mathrm{f}}-{\theta }_{\mathrm{i}}}{1^{\circ }\mathrm{C}}\right)$. Calculer ce temps limite pour les deux récipients.

7. En déduire quel récipient est le plus adapté pour réaliser une pasteurisation du lait.

Se Préparer aux ECE

  Rédiger une fiche de synthèse expliquant comment on peut déterminer une constante de temps caractéristique à l'aide d'un graphique représentant l'évolution temporelle d'une grandeur de type exponentielle.