La montgolfière est composée d'un ballon de masse $m_0=15$ kg, de volume maximal $V_{max}=2000$ m³ et est remplie initialement avec $m_1=100$ kg d'hélium, considéré comme un gaz parfait. Elle comporte aussi une nacelle contenant les équipements scientifiques de masse $m_2=80$ kg.
L'atmosphère est supposée à l'équilibre et à la température $T=300$ K. La pression atmosphérique vaut $p(z)=p_0\cdot \exp \left(-\frac{z}{z_0}\right)$ avec $z_0$ une altitude de référence égale à $z_0=8$ km. La pression dans le ballon est toujours égale à la pression atmosphérique. Son volume initial est inférieur à $2000$ m³ et augmente lorsque le ballon gagne de l'altitude. Si le volume devait dépasser cette limite, pour éviter l'explosion, le surplus de gaz serait alors évacué par une soupape.

1. Exprimer la masse volumique d'un gaz parfait en fonction de $p(z)$, $T$ et $M(\text{He})$. En déduire le volume initial du ballon.

2. Calculer la valeur de la poussée d'Archimède. À l'aide d'un bilan des forces, justifier l'envol.

1. Donner l'équation des gaz parfaits.
1. Calculer la masse volumique.
1. Calculer le volume.
2. Calculer la valeur de la poussée d'Archimède.

2. Effectuer le bilan des forces.
3. Calculer le volume pour $V<V_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$.
4. Calculer la masse d'hélium.
4. Calculer l'altitude d'équilibre.

L'air est un gaz compressible, considéré comme un gaz parfait, à la température de $300$ K. Il obéit donc à l'équation d'état du gaz parfait $p\cdot V=n\cdot R\cdot T$. Pour modéliser l'atmosphère, en l'absence de mouvement, on considère un petit cylindre de section $S$ et de hauteur $\mathrm{d}z$, situé entre $z$ et $z+\mathrm{d}z$.

1. Exprimer la masse volumique $\rho$ de l'air, sous la forme $\rho =\alpha \cdot p$, en justifiant, et exprimer $\alpha$ en fonction des paramètres du système.

En faisant un bilan des forces sur le cylindre et en supposant que $\mathrm{d}z$ tend vers $0$, on peut montrer que $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\beta \cdot p$.

2. Résoudre cette équation différentielle en prenant $p(0)=p_0$ et exprimer $\beta$.