La montgolfière est composée d'un ballon de masse m_{0} = 15 kg, de volume maximal V_{max} = 2\,000 m³ et est remplie initialement avec m_{1} = 100 kg d'hélium, considéré comme un gaz parfait. Elle comporte aussi une nacelle contenant les équipements scientifiques de masse m_{2} = 80 kg.
L'atmosphère est supposée à l'équilibre et à la température T = 300 K. La pression atmosphérique vaut p(z)=p_{0} \cdot \exp \left(-\frac{z}{z_{0}}\right) avec z_{0} une altitude de référence égale à z_{0} = 8 km. La pression dans le ballon est toujours égale à la pression atmosphérique. Son volume initial est inférieur à 2\,000 m³ et augmente lorsque le ballon gagne de l'altitude. Si le volume devait dépasser cette limite, pour éviter l'explosion, le surplus de gaz serait alors évacué par une soupape.

1. Exprimer la masse volumique d'un gaz parfait en fonction de p(z), T et M(\text{He}). En déduire le volume initial du ballon.

2. Calculer la valeur de la poussée d'Archimède. À l'aide d'un bilan des forces, justifier l'envol.

3. Exprimer le volume du ballon en fonction de l'altitude.

4. Lorsque V = V_{max}, exprimer la masse d'hélium dans le ballon en fonction de l'altitude, puis déterminer l'altitude d'équilibre du ballon, en justifiant.

Données

Constante des gaz parfaits : R = 8{,}314 J·K^-1·mol^-1
Masses molaires : M(\mathrm{He}) = 4{,}0 g·mol^-1 et M(\mathrm{air}) = 29{,}0 g·mol^-1
Pression atmosphérique : p_{0} = 1\,013 hPa
Intensité de pesanteur : g = 9{,}81 N·kg^-1

Détails du barème TOTAL / 7,5 pts

0,5 pt

1. Donner l'équation des gaz parfaits.

0,5 pt

1. Calculer la masse volumique.

0,5 pt

1. Calculer le volume.

1 pt

2. Calculer la valeur de la poussée d'Archimède.

0,5 pt

2. Effectuer le bilan des forces.

1,5 pt

3. Calculer le volume pour V \lt V_{\rm{max}}.

1 pt

4. Calculer la masse d'hélium.

2 pts

4. Calculer l'altitude d'équilibre.

➜ Retrouvez plus d'exercices dans le

Livret Bac p. 384

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32
Consommation d'un porte‑conteneurs

✔ RAI/MOD : Utiliser avec rigueur le modèle de l'énergie
✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement

Le Saint‑Exupéry est le plus grand porte‑conteneurs français. Il est modélisé par un parallélépipède rectangle d'une longueur de L = 400 m, d'une largeur l = 50 m et d'une hauteur moyenne de 25 m.

1. Lorsqu'il est vide, il s'enfonce dans l'eau de h_{\rm{v}} = 2{,}0 m. Calculer sa masse.

2. En pleine charge, la hauteur d'enfoncement vaut h_{\rm{c}} = 16 m. Calculer la masse de conteneurs chargés.

Les forces de frottement du bateau avec la mer sont modélisées par une force de valeur F=\rho_{\text {eau }} \cdot C_{\text {x}} \cdot L \cdot h \cdot v^{2}, avec C_{\text {x}} un coefficient valant C_{\text {x}} = 0{,}007.

3. Réaliser un bilan des forces sur le bateau. Exprimer l'énergie nécessaire pour parcourir une distance d, puis la puissance des forces de frottement.

Le pouvoir calorifique du fioul lourd est de 50 MJ·kg^-1.

4. Calculer la masse de combustible consommée par le porte‑conteneurs à charge, puis à vide, pour une vitesse de 41 km·h^-1 et pour une distance de 100 km.

5. Calculer la consommation du porte‑conteneurs à charge, puis à vide, pour une vitesse de 35 km·h^-1.

6. Calculer le pourcentage d'économie réalisée.

Doc.
Pollution maritime
Le secteur maritime est un des secteurs les plus polluants de la planète à cause de ses émissions de \mathrm{CO_2}. De plus, la faible qualité des fiouls marins en fait une source importante de pollution au protoxyde d'azote et au dioxyde de soufre.

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Toutefois, le transport maritime pollue environ dix fois moins rapporté à la masse transportée par la distance parcourue que le transport par camion.

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33
Vol du Cessna

✔ APP : Faire un schéma
✔ APP : Extraire l'information utile

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Le schéma ci-dessus montre les lignes de courant de l'écoulement autour d'une aile d'avion se déplaçant à v_{0} = 90 km·h^-1, de longueur L = 10 m. Chaque ligne de courant est espacée de 20 cm à l'abscisse x = 0 m.
L'écoulement est stationnaire et incompressible. La pression loin de l'aile est p_{0} = 1\,013 hPa. On se place dans le référentiel de l'avion.

1. À l'aide de la conservation du débit volumique, calculer la vitesse moyenne de l'écoulement audessus et en dessous de l'aile. Mesurer sur le dessin l'écartement entre les lignes de courant.

2. À l'aide de la relation de Bernoulli, calculer la différence de pression entre le bas de l'aile et le haut de l'aile.

3. Calculer la force de portance sur l'aile. La largeur l sera évaluée à l'aide du schéma.

4. L'avion a une masse de 800 kg. En réalisant un bilan des forces, calculer la vitesse minimale v_{\rm{min}} pour que l'avion décolle.

5. En altitude \rho_{\mathrm{air}}(z)=\rho_{\mathrm{air}}(0) · \exp \left(-\frac{z}{z_{0}}\right) avec z_{0} = 8 km. Calculer l'altitude maximale que l'avion peut atteindre, en supposant que la vitesse v_{0} reste inchangée.

Pour mesurer la vitesse de l'avion, le pilote utilise un tube de Pitot (Doc. 2
(⇧)
) muni de deux manomètres pour mesurer les pressions p_{\rm{A}} et p_{\rm{B}}.

6. Justifier pourquoi on peut considérer v_{\rm{A}} = 0 m·s^-1.

7. À l'aide de la relation de Bernoulli, exprimer la relation entre la vitesse de l'avion et la différence de pression mesurée. On prendra \rho_{\mathrm{air}}(z)=\rho_{\mathrm{air}}(0).

8. Si la même mesure est réalisée au sol et à une altitude de 5 km, prévoir la différence de vitesse lue. Utiliser la formule pour la masse volumique de l'air donnée en question

Doc. 1
Aile d'avion

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Crédits : Patryk Kosmider/Shutterstock

Doc. 2
Schéma d'un tube de Pitot

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Donnée

Masse volumique de l'air : \rho_{\mathrm{air}}=1{,}23 kg·m^-3

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Supplément numérique

Cliquez ici

pour visualiser l'écoulement de l'air autour d'un profil d'aile.

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34
Atmosphère isotherme

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement
✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle

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Crédits : lelivrescolaire.fr

L'air est un gaz compressible, considéré comme un gaz parfait, à la température de 300 K. Il obéit donc à l'équation d'état du gaz parfait p \cdot V=n \cdot R \cdot T. Pour modéliser l'atmosphère, en l'absence de mouvement, on considère un petit cylindre de section S et de hauteur \mathrm{d}z, situé entre z et z + \mathrm{d}z.

1. Exprimer la masse volumique \rho de l'air, sous la forme \rho=\alpha \cdot p, en justifiant, et exprimer \alpha en fonction des paramètres du système.

En faisant un bilan des forces sur le cylindre et en supposant que \mathrm{d}z tend vers 0, on peut montrer que \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=-\beta \cdot p.

2. Résoudre cette équation différentielle en prenant p(0)=p_{0} et exprimer \beta.

Doc.
Définition mathématique de la dérivée
La dérivée d'une fonction f est la fonction qui à x associe le nombre dérivé f^{\prime}(x) défini par :
f^{\prime}(x)=\lim\limits_{\substack{h \to 0}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

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Supplément numérique

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