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Vol du Cessna

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Le schéma ci-dessus montre les lignes de courant de l’écoulement autour d’une aile d’avion se déplaçant à $v_0=90$ km·h^-1, de longueur $L=10$ m. Chaque ligne de courant est espacée de $20$ cm à l’abscisse $x=0$ m.
L’écoulement est stationnaire et incompressible. La pression loin de l’aile est $p_0=1013$ hPa. On se place dans le référentiel de l’avion.

1. À l’aide de la conservation du débit volumique, calculer la vitesse moyenne de l’écoulement audessus et en dessous de l’aile. Mesurer sur le dessin l’écartement entre les lignes de courant.


2. À l’aide de la relation de Bernoulli, calculer la différence de pression entre le bas de l’aile et le haut de l’aile.


3. Calculer la force de portance sur l’aile. La largeur $l$ sera évaluée à l’aide du schéma.


4. L’avion a une masse de $800$ kg. En réalisant un bilan des forces, calculer la vitesse minimale $v_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ pour que l’avion décolle.

5. En altitude ${\rho }_{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}(z)={\rho }_{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}(0)\cdot \exp \left(-\frac{z}{z_0}\right)$ avec $z_0=8$ km. Calculer l’altitude maximale que l’avion peut atteindre, en supposant que la vitesse $v_0$ reste inchangée.


Pour mesurer la vitesse de l’avion, le pilote utilise un tube de Pitot (Doc. 2 (⇧)) muni de deux manomètres pour mesurer les pressions $p_{\mathrm{A}}$ et $p_{\mathrm{B}}$.

6. Justifier pourquoi on peut considérer $v_{\mathrm{A}}=0$ m·s^-1.


7. À l’aide de la relation de Bernoulli, exprimer la relation entre la vitesse de l’avion et la différence de pression mesurée. On prendra ${\rho }_{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}(z)={\rho }_{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}(0)$.


8. Si la même mesure est réalisée au sol et à une altitude de $5$ km, prévoir la différence de vitesse lue. Utiliser la formule pour la masse volumique de l’air donnée en question 5.

Données

• Masse volumique de l’air : ${\rho }_{\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}=1,23$ kg·m^-3

Cliquez ici pour visualiser l'écoulement de l'air autour d'un profil d'aile.