Clepsydre antique
✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement
Un cylindre de section
S=1 m
2, rempli initialement
d’eau à une hauteur
h0=1 m, se vide par un petit trou de section
s=1 cm
2, au centre du fond.
1. Réaliser un schéma du système et exprimer le débit volumique à travers le trou en fonction de
dtdh(t), en
utilisant la définition du débit volumique
Dv=dtdV.
2. Écrire la relation de Bernoulli. On supposera que l’écoulement est stationnaire. En déduire une relation entre
dtdh(t),
S,
s,
h(t) et
g.
3. Exprimer la durée nécessaire pour que le cylindre se vide complètement. On admet que
h(t) est de la
forme
h(t)=(a⋅t+b)2, avec
a et
b deux constantes.
On souhaite réaliser une clepsydre de forme différente,
pour laquelle la variation de hauteur d’eau est constante
au cours du temps, c’est‑à‑dire telle que
dtdh=−α, avec
α une constante positive.
4. Déterminer la relation entre la surface
S et la hauteur
h qui vérifie cette condition.
5. Exprimer la durée pour vider cette clepsydre.