22

Couronne de Hiéron

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Crédits : lelivrescolaire.fr

Le roi Hiéron II de Syracuse n'est pas sûr de l'honnêteté de son joaillier. Il lui a donné deux mines (une unité antique dont la valeur exacte est aujourd'hui inconnue) d'or pour qu'il réalise une couronne, celui‑ci lui a bien fabriqué une couronne de deux mines, mais le roi a un doute. Le joaillier n'aurait‑il pas gardé de l'or pour lui qu'il aurait remplacé par de l'argent, moins cher ? Il demande de l'aide à Archimède. Celui‑ci mesure la masse $m_1$ de la couronne et trouve bien une masse correspondant à deux mines. Lorsqu'il plonge la couronne dans l'eau, il doit ajouter du côté de la couronne une masse $m_2=\frac{m_1}{15}$ pour avoir une balance à l'équilibre. Il fait de même pour un petit morceau d'or de masse $m_1^{\prime }$ et trouve $m_2^{\prime }=\frac{m_1^{\prime }}{19}$.

1. Réaliser un bilan des forces sur la couronne.

2. Calculer la densité de la couronne.

3. Calculer la densité de l'or.

4. Rechercher la densité de l'argent sur Internet.

5. Conclure sur l'authenticité de la couronne.

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Rebond post-glaciaire

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Masse volumique du bois

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Crédits : Chris Howey/Shutterstock

On souhaite mesurer la masse volumique d'une statue en genévrier, un bois dont la masse volumique est d'environ $560$ kg·m^-3.

1. Justifier que la méthode proposée dans l'exercice corrigé Densités des alliages métalliques ne permet pas de mesurer la densité d'objets moins dense que l'eau.

2. Proposer une méthode pour déterminer la masse volumique d'objets moins denses que l'eau.

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Vélocimètre Venturi

Afin de mesurer la vitesse de l'air le long d'une conduite, un resserrement de section $S_1<S_0$ est couplé à un manomètre à mercure, comme indiqué sur le schéma.

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Crédits : lelivrescolaire.fr

1. À l'aide de la loi fondamentale de l'hydrostatique, relier $\Delta h$, $p_1$, $p_0$ $g$ et ${\rho }_{\mathrm{H}\mathrm{g}}$.

2. Exprimer $v_0$ en fonction de $\Delta h$, $\frac{S_0}{S_1}$, $g$, ${\rho }_{\mathrm{H}\mathrm{g}}$ et ${\rho }_{\text{air}}$.

3. Calculer $v_0$ pour $\Delta h=3$ cm, $S_0=3S_1$ en recherchant les données manquantes sur Internet.

Détails du barème

TOTAL / 5 pts

1 pt

1. Donner la loi fondamentale de l'hydrostatique.

1 pt

1. Calculer $\Delta h$.

0,5 pt

2. Utiliser la conservation du débit volumique.

1 pt

2. Écrire la formule de Bernoulli.

1 pt

2. Calculer $v_0$.

0,5 pt

3. Effectuer l'application numérique.

26

Torrents et fleuves

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Crédits : Efimova Anna/Shutterstock

Soit une rivière de largeur $L$ uniforme et de hauteur $h(x)$. La vitesse est $v(x)$ et ne dépend que de $x$. On note $v_0$ et $h_0$ la vitesse et la hauteur à l'abscisse $x=0$ m. La pression à la surface vaut partout $p_0$.

1. Écrire la loi de conservation du débit volumique $D_{\mathrm{v}}$ et relier en tout point $v(x)$, $h(x)$, $v_0$ et $h_0$.

2. En appliquant la loi de Bernoulli, montrer que l'on peut écrire :

$D_V=a\cdot Z\cdot \sqrt{1-Z}$ avec $Z=\frac{2g\cdot h(x)}{v_0^2+2g\cdot h_0}$

3. Déterminer l'expression de a en fonction de $L$, $h_0$ et $v_0$.

4. À l'aide de la représentation graphique de la fonction $f(Z)=Z\cdot \sqrt{1-Z}$, montrer que pour une valeur de débit donnée, il existe deux valeurs possibles de hauteur d'eau.

5. Ces solutions sont appelées « hauteur fleuve » et « hauteur torrent ». En comparant les valeurs de vitesse et de hauteur d'eau, justifier ces noms.

Doc. 1

Représentation schématique de la rivière

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Crédits : lelivrescolaire.fr

Doc. 2

Courbe représentative de la fonction $\mathbf{Z}\cdot \sqrt{1-\mathbf{Z}}$

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Crédits : lelivrescolaire.fr

27

Copie d'élève à commenter

• Masse volumique de l'eau : $\rho =0,99$ g·cm^-3
• Intensité de pesanteur : $g=9,81$ N·kg^-1
• Pression atmosphérique : $p_0=1013$ hPa

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28

Clepsydre antique

Un cylindre de section $S=1$ m², rempli initialement d'eau à une hauteur $h_0=1$ m, se vide par un petit trou de section $s=1$ cm², au centre du fond.

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Crédits : Marsyas/Wikimedia

1. Réaliser un schéma du système et exprimer le débit volumique à travers le trou en fonction de $\frac{\mathrm{d}h(\mathrm{t})}{\mathrm{d}t}$, en utilisant la définition du débit volumique $D_v=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$.

2. Écrire la relation de Bernoulli. On supposera que l'écoulement est stationnaire. En déduire une relation entre $\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}$, $S$, $s$, $h(t)$ et $g$.

3. Exprimer la durée nécessaire pour que le cylindre se vide complètement. On admet que $h(t)$ est de la forme $h(t)=(a\cdot t+b{)}^2$, avec $a$ et $b$ deux constantes.

On souhaite réaliser une clepsydre de forme différente, pour laquelle la variation de hauteur d'eau est constante au cours du temps, c'est‑à‑dire telle que $\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=-\alpha$, avec $\alpha$ une constante positive.

4. Déterminer la relation entre la surface $S$ et la hauteur $h$ qui vérifie cette condition.

5. Exprimer la durée pour vider cette clepsydre.

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Jet d'eau de Genève

La ville de Genève est connue pour son jet d'eau sur le lac Léman. Initialement conçu pour évacuer les surpressions du réseau d'eau de la ville, il est devenu une attraction touristique.

1. Calculer la vitesse du jet d'eau au niveau du sol, en utilisant la relation de Bernoulli.

2. Calculer la puissance fournie par la pompe sur le fluide, initialement au repos dans le lac.

Données

• Hauteur maximale du jet : $h=140$ m
• Débit volumique : $D_{\mathrm{V}}=500$ L·s^-1
• Intensité de pesanteur : $g=9,81$ N·kg^-1

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Crédits : Jmcboi/Wikimedia

30

Balance hydrostatique

Doc. 1

Schéma d'une balance hydrostatique

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Crédits : Nastasic/Getty

Expliquer la méthode proposée dans le doc. 2 en réalisant des schémas des étapes clés. Effectuer un bilan des forces pour justifier la mesure.

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Doc. 2

Extrait de l'Encyclopédie

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Crédits : ENCCRE 2017 Académie des Sciences

• Intensité de la pesanteur terrestre : $g=9,81$ N·kg^-1
• Masse volumique de l'eau : ${\rho }_{eau}=1,0\times 10^3$ kg·m^-3
• Hauteur de la poche : $h=11,5$ cm
• Section de la poche : $S=34$ cm²
• Section du trou : $s=30$ mm²