Le roi Hiéron II de Syracuse n'est pas sûr de l'honnêteté de son joaillier. Il lui a donné deux mines (une unité antique dont la valeur exacte est aujourd'hui inconnue) d'or pour qu'il réalise une couronne, celui‑ci lui a bien fabriqué une couronne de deux mines, mais le roi a un doute. Le joaillier n'aurait‑il pas gardé de l'or pour lui qu'il aurait remplacé par de l'argent, moins cher ? Il demande de l'aide à Archimède. Celui‑ci mesure la masse m_{1} de la couronne et trouve bien une masse correspondant à deux mines. Lorsqu'il plonge la couronne dans l'eau, il doit ajouter du côté de la couronne une masse m_{2}=\frac{m_{1}}{15} pour avoir une balance à l'équilibre. Il fait de même pour un petit morceau d'or de masse m_{1}^{\prime} et trouve m_{2}^{\prime}=\frac{m_{1}^{\prime}}{19}.

1. Réaliser un bilan des forces sur la couronne.

2. Calculer la densité de la couronne.

3. Calculer la densité de l'or.

4. Rechercher la densité de l'argent sur Internet.

5. Conclure sur l'authenticité de la couronne.

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23
Rebond post-glaciaire

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement

Sur Terre, certaines régions ont un sol qui remonte à une vitesse d'environ 5 mm par an. Celles‑ci ont toutes pour point commun d'avoir été recouvertes par une calotte glaciaire durant la dernière glaciation. Cette calotte, d'épaisseur e = 3 km et de densité d = 0{,}9, a depuis disparu. La croûte continentale a une épaisseur supposée homogène de 35 km et une masse volumique \rho_{\text {croûte }}=2{,}699 g·cm^-3 et flotte sur le manteau de masse volumique \rho_{\text {manteau }} = 3\,270 kg·m^-3.

1. Calculer la hauteur de la croûte par rapport à la surface du manteau, en raisonnant sur une surface de 1 km².

2. En ajoutant une épaisseur e de glace au sommet de la croûte continentale, calculer l'enfoncement de la croûte.

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24
Masse volumique du bois

✔ RAI/ANA : Élaborer un protocole

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Crédits : Chris Howey/Shutterstock

On souhaite mesurer la masse volumique d'une statue en genévrier, un bois dont la masse volumique est d'environ 560 kg·m^-3.

1. Justifier que la méthode proposée dans l'exercice corrigé Densités des alliages métalliques ne permet pas de mesurer la densité d'objets moins dense que l'eau.

2. Proposer une méthode pour déterminer la masse volumique d'objets moins denses que l'eau.

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25
Vélocimètre Venturi

✔ APP : Extraire l'information utile

Afin de mesurer la vitesse de l'air le long d'une conduite, un resserrement de section S_{1} \lt S_{0} est couplé à un manomètre à mercure, comme indiqué sur le schéma.

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Crédits : lelivrescolaire.fr

1. À l'aide de la loi fondamentale de l'hydrostatique, relier \Delta h, p_{1}, p_{0} g et \rho_{\mathrm{Hg}}.

2. Exprimer v_{0} en fonction de \Delta h, \frac{S_{0}}{S_{1}}, g, \rho_{\mathrm{Hg}} et \rho_{\text {air}}.

3. Calculer v_{0} pour \Delta h=3 cm, S_{0} = 3 \;S_{1} en recherchant les données manquantes sur Internet.

Détails du barème
TOTAL / 5 pts

1 pt

1. Donner la loi fondamentale de l'hydrostatique.

1 pt

1. Calculer \Delta h.

0,5 pt

2. Utiliser la conservation du débit volumique.

1 pt

2. Écrire la formule de Bernoulli.

1 pt

2. Calculer v_{0}.

0,5 pt

3. Effectuer l'application numérique.

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26
Torrents et fleuves

✔ VAL : Analyser des résultats

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Crédits : Efimova Anna/Shutterstock

Soit une rivière de largeur L uniforme et de hauteur h(x). La vitesse est v(x) et ne dépend que de x. On note v_{0} et h_{0} la vitesse et la hauteur à l'abscisse x = 0 m. La pression à la surface vaut partout p_{0}.

1. Écrire la loi de conservation du débit volumique D_{\mathrm{v}} et relier en tout point v(x), h(x), v_{0} et h_{0}.

2. En appliquant la loi de Bernoulli, montrer que l'on peut écrire :

D_{V}=a \cdot Z \cdot \sqrt{1-Z} avec Z=\dfrac{2 g \cdot h(x)}{v_{0}^{2}+2 g \cdot h_{0}}

3. Déterminer l'expression de a en fonction de L, h_{0} et v_{0}.

4. À l'aide de la représentation graphique de la fonction f(Z)=Z · \sqrt{1-Z}, montrer que pour une valeur de débit donnée, il existe deux valeurs possibles de hauteur d'eau.

5. Ces solutions sont appelées « hauteur fleuve » et « hauteur torrent ». En comparant les valeurs de vitesse et de hauteur d'eau, justifier ces noms.

Doc. 1
Représentation schématique de la rivière

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Crédits : lelivrescolaire.fr

Doc. 2
Courbe représentative de la fonction \boldsymbol{Z} \cdot \sqrt{\bf{1 - \boldsymbol{Z}}}

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Crédits : lelivrescolaire.fr

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27

Copie d'élève à commenter

Proposer une justification pour chaque erreur relevée par le correcteur.

Un château d'eau contient un réservoir d'eau de section S = 100 m², dont la surface est à l'altitude z_{2} = 45 m.
Léa ouvre un robinet à l'altitude z_{1} = 10 m, dont l'ouverture a pour section s = 1 cm².

Données

Masse volumique de l'eau : \rho=0{,}99 g·cm^-3
Intensité de pesanteur : g = 9{,}81 N·kg^-1
Pression atmosphérique : p_{0}=1~013 hPa

1. Réaliser un schéma du château d'eau, du robinet et de la canalisation les reliant.

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2. Calculer la pression p au niveau du robinet en l'absence d'écoulement.

Quand l'eau ne coule pas, on peut appliquer la relation de la statique des fluides : \color{red}\xcancel\color{black}{\Delta p=g · \Delta z}
La pression en haut du château d'eau est la pression atmosphérique :
\begin{array}{l} p=p_{0}+\rho \cdot g \cdot \left(z_{2}-z_{1}\right) \\ p=1~013 \times 10^{2}+\xcancel{0{,}99} \times 9,81 \times(45-10) \\ p=\color{red}\xcancel\color{black}{1~016 \;\mathrm{hPa}} \end{array}

3. Exprimer la vitesse v_{1} de l'eau en sortie du robinet.

La pression à la surface de l'eau du château d'eau et au robinet est la pression atmosphérique p_{0}. La conservation du débit volumique permet d'écrire que D_{v}=S \cdot v_{2}^{2}=s \cdot v_{1}^{2}. D'après la loi de Bernoulli :
\begin{array}{l} \rho \cdot \frac{v_{1}^{2}}{2}+\rho \cdot g \cdot z_{1}+p_{0}=\rho \cdot \frac{v_{2}^{2}}{2}+\rho \cdot g \cdot z_{2}+p_{0} \\ \frac{v_{1}^{2}}{2}+g \cdot z_{1}=\dfrac{v_{2}^{2}}{2}+g \cdot z_{2} \\ \frac{v_{1}^{2}}{2}+g \cdot z_{1}=\dfrac{v_{1}^{2} \cdot s^{2}}{2 S^{2}}+g \cdot z_{2} \\ \frac{v_{1}^{2}}{2} \cdot\left(1-\frac{s^{2}}{S^{2}}\right)= g \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right) \\ \color{red}\xcancel\color{black}{v_{1}=\frac{2 g \cdot\left(z_{2}-z_1 \right) \cdot s^{2}}{S^{2}-s^{2}}} \end{array}

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28
Clepsydre antique

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement

Un cylindre de section S = 1 m², rempli initialement d'eau à une hauteur h_{0} = 1 m, se vide par un petit trou de section s = 1 cm², au centre du fond.

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Crédits : Marsyas/Wikimedia

1. Réaliser un schéma du système et exprimer le débit volumique à travers le trou en fonction de \frac{\mathrm{d} h(\mathrm{t})}{\mathrm{d} t}, en utilisant la définition du débit volumique D_{v}=\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}.

2. Écrire la relation de Bernoulli. On supposera que l'écoulement est stationnaire. En déduire une relation entre \frac{\mathrm{d} h(t)}{\mathrm{d} t}, S, s, h(t) et g.

3. Exprimer la durée nécessaire pour que le cylindre se vide complètement. On admet que h(t) est de la forme h(t)=(a · t+b)^{2}, avec a et b deux constantes.

On souhaite réaliser une clepsydre de forme différente, pour laquelle la variation de hauteur d'eau est constante au cours du temps, c'est‑à‑dire telle que \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=-\alpha, avec \alpha une constante positive.

4. Déterminer la relation entre la surface S et la hauteur h qui vérifie cette condition.

5. Exprimer la durée pour vider cette clepsydre.

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29
Jet d'eau de Genève

✔ REA : Utiliser un modèle

La ville de Genève est connue pour son jet d'eau sur le lac Léman. Initialement conçu pour évacuer les surpressions du réseau d'eau de la ville, il est devenu une attraction touristique.

1. Calculer la vitesse du jet d'eau au niveau du sol, en utilisant la relation de Bernoulli.

2. Calculer la puissance fournie par la pompe sur le fluide, initialement au repos dans le lac.

Données

Hauteur maximale du jet : h = 140 m
Débit volumique : D_{\rm{V}} = 500 L·s^-1
Intensité de pesanteur : g = 9{,}81 N·kg^-1

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Crédits : Jmcboi/Wikimedia

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30
Balance hydrostatique

✔ APP : Extraire l'information utile

L'Encyclopédie de Diderot et d'Alembert (1751) explique comment utiliser une balance hydrostatique pour mesurer la densité d'un fluide.

Doc. 1
Schéma d'une balance hydrostatique

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Crédits : Nastasic/Getty

Expliquer la méthode proposée dans le doc. 2 en réalisant des schémas des étapes clés. Effectuer un bilan des forces pour justifier la mesure.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

Doc. 2
Extrait de l'Encyclopédie

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : ENCCRE 2017 Académie des Sciences

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A
Jeté d'ancre

✔ APP : Faire des prévisions à l'aide d'un modèle

On considère un bateau de masse m_1 flottant sur un lac. Le bateau contient une ancre en acier de masse m_2 et de volume V_2.

1. Exprimer le volume d'eau déplacé V par le bateau.

Ensuite, le bateau jette l'ancre.

2. Exprimer V' le nouveau volume d'eau déplacé par le bateau et V" celui déplacé par l'ancre.

3. Le niveau de l'eau est‑il monté ou a‑t‑il baissé ?

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B
Canette percée

✔ REA : Appliquer une formule

Le fond d'une canette remplie d'eau cylindrique de section S et de hauteur h est percé d'un trou de section s. La pression de l'air dans la canette et à l'extérieur de la canette est supposée égale à la pression atmosphérique.

1. En utilisant la relation de Bernoulli entre deux points à préciser et la conservation du débit volumique, montrer que la vitesse à laquelle l'eau s'écoule vérifie : v = \sqrt{ \dfrac{ 2 \ g \cdot h} {1 - \dfrac{s^2}{S^2} }}

2. Calculer la vitesse de l'écoulement v.

3. Calculer la durée nécessaire pour vider entièrement la canette.

Données

Intensité de la pesanteur terrestre : g = 9{,}81 N·kg^-1
Masse volumique de l'eau : \rho_{eau} = 1{,}0 \times 10^3 kg·m^-3
Hauteur de la poche : h = 11{,}5 cm
Section de la poche : S = 34 cm²
Section du trou : s = 30 mm²

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23Rebond post-glaciaire

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25Vélocimètre Venturi

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26Torrents et fleuves

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28Clepsydre antique

29Jet d'eau de Genève

30Balance hydrostatique

AJeté d'ancre

BCanette percée

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