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Exercices Pour s'entraîner
P.378-380

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Exercices




Pour s'entraîner


22
Couronne de Hiéron

Couronne de Hiéron

Couronne de Hiéron

Le roi Hiéron II de Syracuse n’est pas sûr de l’honnêteté de son joaillier. Il lui a donné deux mines (une unité antique dont la valeur exacte est aujourd’hui inconnue) d’or pour qu’il réalise une couronne, celui‑ci lui a bien fabriqué une couronne de deux mines, mais le roi a un doute. Le joaillier n’aurait‑il pas gardé de l’or pour lui qu’il aurait remplacé par de l’argent, moins cher ? Il demande de l’aide à Archimède. Celui‑ci mesure la masse m1m_{1} de la couronne et trouve bien une masse correspondant à deux mines. Lorsqu’il plonge la couronne dans l’eau, il doit ajouter du côté de la couronne une masse m2=m115m_{2}=\dfrac{m_{1}}{15} pour avoir une balance à l’équilibre. Il fait de même pour un petit morceau d’or de masse m1m_{1}^{\prime} et trouve m2=m119m_{2}^{\prime}=\dfrac{m_{1}^{\prime}}{19}.

1. Réaliser un bilan des forces sur la couronne.


2. Calculer la densité de la couronne.


3. Calculer la densité de l’or.


4. Rechercher la densité de l’argent sur Internet.


5. Conclure sur l’authenticité de la couronne.
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23
Rebond post-glaciaire

RAI/ANA : Construire un raisonnement

Sur Terre, certaines régions ont un sol qui remonte à une vitesse d’environ 55 mm par an. Celles‑ci ont toutes pour point commun d’avoir été recouvertes par une calotte glaciaire durant la dernière glaciation. Cette calotte, d’épaisseur e=3e = 3 km et de densité d=0,9d = 0{,}9, a depuis disparu. La croûte continentale a une épaisseur supposée homogène de 3535 km et une masse volumique ρcrouˆte =2,699\rho_{\text {croûte }}=2{,}699 g·cm-3 et flotte sur le manteau de masse volumique ρmanteau =3270\rho_{\text {manteau }} = 3\,270 kg·m-3.

1. Calculer la hauteur de la croûte par rapport à la surface du manteau, en raisonnant sur une surface de 11 km2.


2. En ajoutant une épaisseur ee de glace au sommet de la croûte continentale, calculer l’enfoncement de la croûte.
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24
Masse volumique du bois

RAI/ANA : Élaborer un protocole

Statue moai

On souhaite mesurer la masse volumique d’une statue en genévrier, un bois dont la masse volumique est d’environ 560560 kg·m-3.

1. Justifier que la méthode proposée dans l’exercice corrigé Densités des alliages métalliques ne permet pas de mesurer la densité d’objets moins dense que l’eau.


2. Proposer une méthode pour déterminer la masse volumique d’objets moins denses que l’eau.
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Comprendre les attendus

25
Vélocimètre Venturi

APP : Extraire l’information utile

Afin de mesurer la vitesse de l’air le long d’une conduite, un resserrement de section S1<S0S_{1} \lt S_{0} est couplé à un manomètre à mercure, comme indiqué sur le schéma.
Vélocimètre Venturi

1. À l’aide de la loi fondamentale de l’hydrostatique, relier Δh\Delta h, p1p_{1}, p0p_{0} gg et ρHg\rho_{\mathrm{Hg}}.


2. Exprimer v0v_{0} en fonction de Δh\Delta h, S0S1\dfrac{S_{0}}{S_{1}}, gg, ρHg\rho_{\mathrm{Hg}} et ρair\rho_{\text {air}}.


3. Calculer v0v_{0} pour Δh=3\Delta h=3 cm, S0=3  S1S_{0} = 3 \;S_{1} en recherchant les données manquantes sur Internet.


Détails du barème

TOTAL / 5 pts
1. Donner la loi fondamentale de l’hydrostatique.
1 pt
Calculer Δh\Delta h.
1 pt
2. Utiliser la conservation du débit volumique.
0,5 pt
Écrire la formule de Bernoulli.
1 pt
Calculer v0v_{0}.
1 pt
3. Effectuer l’application numérique.
0,5 pt
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26
Torrents et fleuves

VAL : Analyser des résultats

fleuve

Soit une rivière de largeur LL uniforme et de hauteur h(x)h(x). La vitesse est v(x)v(x) et ne dépend que de xx. On note v0v_{0} et h0h_{0} la vitesse et la hauteur à l’abscisse x=0x = 0 m. La pression à la surface vaut partout p0p_{0}.

1. Écrire la loi de conservation du débit volumique DvD_{\mathrm{v}} et relier en tout point v(x)v(x), h(x)h(x), v0v_{0} et h0h_{0}.


2. En appliquant la loi de Bernoulli, montrer que l’on peut écrire :
DV=aZ1ZD_{V}=a \cdot Z \cdot \sqrt{1-Z} avec Z=2gh(x)v02+2gh0Z=\dfrac{2 g \cdot h(x)}{v_{0}^{2}+2 g \cdot h_{0}}



3. Déterminer l’expression de a en fonction de LL, h0h_{0} et v0v_{0}.


4. À l’aide de la représentation graphique de la fonction f(Z)=Z1Zf(Z)=Z · \sqrt{1-Z}, montrer que pour une valeur de débit donnée, il existe deux valeurs possibles de hauteur d’eau.


5. Ces solutions sont appelées « hauteur fleuve » et « hauteur torrent ». En comparant les valeurs de vitesse et de hauteur d’eau, justifier ces noms.


Doc. 1
Représentation schématique de la rivière

Représentation schématique de la rivière


Doc. 2
Courbe représentative de la fonction Z1Z\boldsymbol{Z} \cdot \sqrt{\bf{1 - \boldsymbol{Z}}}

Courbe représentative de la fonction
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27
Copie d’élève à commenter

Proposer une justification pour chaque erreur relevée par le correcteur.

Un château d’eau contient un réservoir d’eau de section S=100S = 100 m2, dont la surface est à l’altitude z2=45z_{2} = 45 m.
Léa ouvre un robinet à l’altitude z1=10z_{1} = 10 m, dont l’ouverture a pour section s=1s = 1 cm2.

Données
  • Masse volumique de l’eau : ρ=0,99\rho=0{,}99 g·cm-3
  • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9{,}81 N·kg-1
  • Pression atmosphérique : p0=1 013p_{0}=1~013 hPa

1. Réaliser un schéma du château d’eau, du robinet et de la canalisation les reliant.

schéma du château d’eau


2. Calculer la pression pp au niveau du robinet en l’absence d’écoulement.

Quand l’eau ne coule pas, on peut appliquer la relation de la statique des fluides : Δp=gΔz\xcancel{\Delta p=g · \Delta z}
La pression en haut du château d’eau est la pression atmosphérique :
p=p0+ρg(z2z1)p=1 013×102+0,99×9,81×(4510)p=1 016  hPa\begin{array}{l} p=p_{0}+\rho \cdot g \cdot \left(z_{2}-z_{1}\right) \\ p=1~013 \times 10^{2}+\xcancel{0{,}99} \times 9,81 \times(45-10) \\ p=\xcancel{1~016 \;\mathrm{hPa}} \end{array}



3. Exprimer la vitesse v1v_{1} de l’eau en sortie du robinet.

La pression à la surface de l’eau du château d’eau et au robinet est la pression atmosphérique p0p_{0}. La conservation du débit volumique permet d’écrire que Dv=Sv22=sv12D_{v}=S \cdot v_{2}^{2}=s \cdot v_{1}^{2}. D’après la loi de Bernoulli :
ρv122+ρgz1+p0=ρv222+ρgz2+p0v122+gz1=v222+gz2v122+gz1=v12s22S2+gz2v122(1s2S2)=g(z2z1)v1=2g(z2z1)s2S2s2\begin{array}{l} \rho \cdot \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+\rho \cdot g \cdot z_{1}+p_{0}=\rho \cdot \dfrac{v_{2}^{2}}{2}+\rho \cdot g \cdot z_{2}+p_{0} \\ \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+g \cdot z_{1}=\dfrac{v_{2}^{2}}{2}+g \cdot z_{2} \\ \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+g \cdot z_{1}=\dfrac{v_{1}^{2} \cdot s^{2}}{2 S^{2}}+g \cdot z_{2} \\ \dfrac{v_{1}^{2}}{2} \cdot\left(1-\dfrac{s^{2}}{S^{2}}\right)= g \cdot\left(z_{2}-z_{1}\right) \\ \xcancel{v_{1}=\dfrac{2 g \cdot\left(z_{2}-z_1 \right) \cdot s^{2}}{S^{2}-s^{2}}} \end{array}

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28
Clepsydre antique

RAI/ANA : Construire un raisonnement

Un cylindre de section S=1S = 1 m2, rempli initialement d’eau à une hauteur h0=1h_{0} = 1 m, se vide par un petit trou de section s=1s = 1 cm2, au centre du fond.

Clepsydre antique


1. Réaliser un schéma du système et exprimer le débit volumique à travers le trou en fonction de dh(t)dt\dfrac{\mathrm{d} h(\mathrm{t})}{\mathrm{d} t}, en utilisant la définition du débit volumique Dv=dVdtD_{v}=\dfrac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}.


2. Écrire la relation de Bernoulli. On supposera que l’écoulement est stationnaire. En déduire une relation entre dh(t)dt\dfrac{\mathrm{d} h(t)}{\mathrm{d} t}, SS, ss, h(t)h(t) et gg.


3. Exprimer la durée nécessaire pour que le cylindre se vide complètement. On admet que h(t)h(t) est de la forme h(t)=(at+b)2h(t)=(a · t+b)^{2}, avec aa et bb deux constantes.


On souhaite réaliser une clepsydre de forme différente, pour laquelle la variation de hauteur d’eau est constante au cours du temps, c’est‑à‑dire telle que dhdt=α\dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}=-\alpha, avec α\alpha une constante positive.

4. Déterminer la relation entre la surface SS et la hauteur hh qui vérifie cette condition.


5. Exprimer la durée pour vider cette clepsydre.
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29
Jet d’eau de Genève

REA : Utiliser un modèle

La ville de Genève est connue pour son jet d’eau sur le lac Léman. Initialement conçu pour évacuer les surpressions du réseau d’eau de la ville, il est devenu une attraction touristique.

Jet d’eau sur le lac Léman


1. Calculer la vitesse du jet d’eau au niveau du sol, en utilisant la relation de Bernoulli.


2. Calculer la puissance fournie par la pompe sur le fluide, initialement au repos dans le lac.


Données
  • Hauteur maximale du jet : h=140h = 140 m
  • Débit volumique : DV=500D_{\rm{V}} = 500 L·s-1
  • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9{,}81 N·kg-1
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30
Balance hydrostatique

APP : Extraire l’information utile

L’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert (1751) explique comment utiliser une balance hydrostatique pour mesurer la densité d’un fluide.

Doc. 1
Schéma d’une balance hydrostatique
Schéma d’une balance hydrostatique


Expliquer la méthode proposée dans le doc. 2 en réalisant des schémas des étapes clés. Effectuer un bilan des forces pour justifier la mesure.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

Doc. 2
Extrait de l’Encyclopédie
Extrait de l’Encyclopédie


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