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Couronne de Hiéron
✔ Couronne de Hiéron
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Crédits : lelivrescolaire.fr
Le roi Hiéron II de Syracuse
n'est pas sûr de l'honnêteté
de son joaillier. Il lui
a donné deux mines (une
unité antique dont la valeur
exacte est aujourd'hui
inconnue) d'or pour qu'il
réalise une couronne,
celui‑ci lui a bien fabriqué
une couronne de deux mines, mais le roi a un doute. Le
joaillier n'aurait‑il pas gardé de l'or pour lui qu'il aurait
remplacé par de l'argent, moins cher ? Il demande de
l'aide à Archimède. Celui‑ci mesure la masse m1 de la
couronne et trouve bien une masse correspondant à
deux mines. Lorsqu'il plonge la couronne dans l'eau, il
doit ajouter du côté de la couronne une masse m2=15m1
pour avoir une balance à l'équilibre. Il fait de même pour
un petit morceau d'or de masse m1′ et trouve m2′=19m1′.
1. Réaliser un bilan des forces sur la couronne.
2. Calculer la densité de la couronne.
3. Calculer la densité de l'or.
4. Rechercher la densité de l'argent sur Internet.
5. Conclure sur l'authenticité de la couronne.
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Rebond post-glaciaire
✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement
Sur Terre, certaines régions ont un sol qui remonte à
une vitesse d'environ 5 mm par an. Celles‑ci ont toutes
pour point commun d'avoir été recouvertes par une
calotte glaciaire durant la dernière glaciation. Cette
calotte, d'épaisseur e=3 km et de densité d=0,9, a depuis disparu. La croûte continentale a une épaisseur
supposée homogène de 35 km et une masse volumique
ρcrouˆte =2,699 g·cm-3 et flotte sur le manteau de masse volumique ρmanteau =3270 kg·m-3.
1. Calculer la hauteur de la croûte par rapport à la surface du manteau, en raisonnant sur une surface
de 1 km2.
2. En ajoutant une épaisseur e de glace au sommet de la croûte continentale, calculer l'enfoncement de la croûte.
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Masse volumique du bois
✔ RAI/ANA : Élaborer un protocole
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Crédits : Chris Howey/Shutterstock
On souhaite mesurer la masse volumique
d'une statue en genévrier, un
bois dont la masse volumique est
d'environ 560 kg·m-3.
1. Justifier que la méthode proposée dans l'exercice corrigé Densités des alliages métalliques ne permet pas de mesurer la densité d'objets moins dense que l'eau.
2. Proposer une méthode pour déterminer la masse volumique d'objets moins denses que l'eau.
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Vélocimètre Venturi
✔ APP : Extraire l'information utile
Afin de mesurer la vitesse de l'air le long d'une
conduite, un resserrement de section S1<S0 est couplé
à un manomètre à mercure, comme indiqué sur
le schéma.
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Crédits : lelivrescolaire.fr
1. À l'aide de la loi fondamentale de l'hydrostatique,
relier Δh, p1, p0g et ρHg.
2. Exprimer v0 en fonction de Δh, S1S0, g, ρHg et ρair.
3. Calculer v0 pour Δh=3 cm, S0=3S1 en
recherchant les données manquantes sur Internet.
Détails du barème
TOTAL / 5 pts
1 pt
1. Donner la loi fondamentale de l'hydrostatique.
1 pt
1. Calculer Δh.
0,5 pt
2. Utiliser la conservation du débit volumique.
1 pt
2. Écrire la formule de Bernoulli.
1 pt
2. Calculer v0.
0,5 pt
3. Effectuer l'application numérique.
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Torrents et fleuves
✔ VAL : Analyser des résultats
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Crédits : Efimova Anna/Shutterstock
Soit une rivière de largeur
L uniforme et de hauteur
h(x). La vitesse est v(x) et
ne dépend que de x. On
note v0 et h0 la vitesse et
la hauteur à l'abscisse
x=0 m. La pression à la
surface vaut partout p0.
1. Écrire la loi de
conservation du débit volumique Dv et relier en tout
point v(x), h(x), v0 et h0.
2. En appliquant la loi de Bernoulli, montrer que l'on peut écrire :
DV=a⋅Z⋅1−Z avec Z=v02+2g⋅h02g⋅h(x)
3. Déterminer l'expression de a en fonction de L, h0 et v0.
4. À l'aide de la représentation graphique de la fonction f(Z)=Z⋅1−Z, montrer que pour une valeur de
débit donnée, il existe deux valeurs possibles de
hauteur d'eau.
5. Ces solutions sont appelées « hauteur fleuve » et « hauteur torrent ». En comparant les valeurs de vitesse et de hauteur d'eau, justifier ces noms.
Doc. 1
Représentation schématique de la rivière
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Crédits : lelivrescolaire.fr
Doc. 2
Courbe représentative de la fonction Z⋅1−Z
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Crédits : lelivrescolaire.fr
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Copie d'élève à commenter
Proposer une justification pour chaque erreur relevée par le correcteur.
Un château d'eau contient un réservoir d'eau de
section S=100 m2, dont la surface est à l'altitude
z2=45 m.
Léa ouvre un robinet à l'altitude z1=10 m, dont
l'ouverture a pour section s=1 cm2.
Données
Masse volumique de l'eau :ρ=0,99 g·cm-3
Intensité de pesanteur :g=9,81 N·kg-1
Pression atmosphérique :p0=1013 hPa
1. Réaliser un schéma du château d'eau, du
robinet et de la canalisation les reliant.
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2. Calculer la pression p au niveau du robinet en
l'absence d'écoulement.
Quand l'eau ne coule pas, on peut
appliquer la relation de la statique des
fluides : Δp=g⋅Δz
La pression en haut du château d'eau est
la pression atmosphérique :
p=p0+ρ⋅g⋅(z2−z1)p=1013×102+0,99×9,81×(45−10)p=1016hPa
3. Exprimer la vitesse v1 de l'eau en sortie du robinet.
La pression à la surface de l'eau du château d'eau et au robinet est la pression atmosphérique p0. La
conservation du débit volumique permet
d'écrire que Dv=S⋅v22=s⋅v12. D'après
la loi de Bernoulli :
ρ⋅2v12+ρ⋅g⋅z1+p0=ρ⋅2v22+ρ⋅g⋅z2+p02v12+g⋅z1=2v22+g⋅z22v12+g⋅z1=2S2v12⋅s2+g⋅z22v12⋅(1−S2s2)=g⋅(z2−z1)v1=S2−s22g⋅(z2−z1)⋅s2
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Clepsydre antique
✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement
Un cylindre de section S=1 m2, rempli initialement
d'eau à une hauteur h0=1 m, se vide par un petit trou de section s=1 cm2, au centre du fond.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Marsyas/Wikimedia
1. Réaliser un schéma du système et exprimer le débit volumique à travers le trou en fonction de dtdh(t), en
utilisant la définition du débit volumique Dv=dtdV.
2. Écrire la relation de Bernoulli. On supposera que l'écoulement est stationnaire. En déduire une relation entre dtdh(t), S, s, h(t) et g.
3. Exprimer la durée nécessaire pour que le cylindre se vide complètement. On admet que h(t) est de la
forme h(t)=(a⋅t+b)2, avec a et b deux constantes.
On souhaite réaliser une clepsydre de forme différente,
pour laquelle la variation de hauteur d'eau est constante
au cours du temps, c'est‑à‑dire telle que dtdh=−α, avec α une constante positive.
4. Déterminer la relation entre la surface S et la hauteur h qui vérifie cette condition.
5. Exprimer la durée pour vider cette clepsydre.
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Jet d'eau de Genève
✔ REA : Utiliser un modèle
La ville de Genève est connue pour son jet d'eau sur le lac Léman. Initialement conçu pour évacuer les surpressions du réseau d'eau de la ville, il est devenu une attraction touristique.
1. Calculer la vitesse du jet d'eau au niveau du sol, en utilisant la relation de Bernoulli.
2. Calculer la puissance fournie par la pompe sur le
fluide, initialement au repos dans le lac.
Données
Hauteur maximale du jet :h=140 m
Débit volumique :DV=500 L·s-1
Intensité de pesanteur :g=9,81 N·kg-1
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Jmcboi/Wikimedia
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Balance hydrostatique
✔ APP : Extraire l'information utile
L'Encyclopédie de Diderot et d'Alembert (1751) explique
comment utiliser une balance hydrostatique pour mesurer
la densité d'un fluide.
Doc. 1
Schéma d'une balance hydrostatique
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Crédits : Nastasic/Getty
Expliquer la méthode proposée dans le doc. 2 en réalisant des schémas des étapes clés. Effectuer un bilan des forces pour justifier la mesure.
Dessinez ici
Doc. 2
Extrait de l'Encyclopédie
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : ENCCRE 2017 Académie des Sciences
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A
Jeté d'ancre
✔ APP : Faire des prévisions à l'aide d'un modèle
On considère un bateau de masse m1 flottant sur un lac. Le bateau contient une ancre en acier de masse m2 et de volume V2.
1. Exprimer le volume d'eau déplacé V par le bateau.
Ensuite, le bateau jette l'ancre.
2. Exprimer V′ le nouveau volume d'eau déplacé par le bateau et V" celui déplacé par l'ancre.
3. Le niveau de l'eau est‑il monté ou a‑t‑il baissé ?
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B
Canette percée
✔ REA : Appliquer une formule
Le fond d'une canette remplie d'eau cylindrique de section S et de hauteur h est percé d'un trou de section s. La pression de l'air dans la canette et à l'extérieur de la canette est supposée égale à la pression atmosphérique.
1. En utilisant la relation de Bernoulli entre deux points à préciser et la conservation du débit volumique, montrer que la vitesse à laquelle l'eau s'écoule vérifie :
v=1−S2s22g⋅h
2. Calculer la vitesse de l'écoulement v.
3. Calculer la durée nécessaire pour vider entièrement la canette.
Données
Intensité de la pesanteur terrestre :g=9,81 N·kg-1
Masse volumique de l'eau :ρeau=1,0×103 kg·m-3
Hauteur de la poche :h=11,5 cm
Section de la poche :S=34 cm2
Section du trou :s=30 mm2
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