Les horloges à eau, ou clepsydres, existent depuis au moins 5 000 ans. Leur principe de fonctionnement n'a pourtant été compris qu'à partir du XVII^e siècle grâce aux travaux de Torricelli.

Comment mesurer la vitesse d'un écoulement ?

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Doc. 1
Matériel nécessaire

Caméra ou téléphone portable
Balance
Chronomètre
Règle
Feuille quadrillée
Bouteille (de préférence \text{1,5} L) avec graduations grossières et petit trou percé sur le côté, à \text{3} cm du fond
Éponge

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Doc. 2
Conservation du débit

Le débit volumique D_{\mathrm{v}} s'écrit :

D_{\mathrm{v}}=\dfrac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}=v \cdot S

D_{\mathrm{v}} : débit volumique (m³·s^-1)
V : volume d'eau écoulé (m³)
t : temps (s)
v : vitesse d'écoulement du fluide (m·s^-1)
S : surface traversée par le fluide (m²)

Le débit volumique se conserve dans un écoulement de fluide incompressible. Dès lors, on peut écrire :

v_{1} \cdot S_{1}=v_{2} \cdot S_{2}

v_{1} et v_{2} : vitesses d'écoulement (m·s^-1)
S_{1} et S_{2} : surfaces traversées (m²)

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Doc. 3
Photographie de l'expérience

Photographie de l'expérience - Montage complet

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : lelivrescolaire.fr

Photographie a : Montage complet.

Photographie de l'expérience - Zoom sur le cristallisoir

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : lelivrescolaire.fr

Photographie b : Zoom sur le cristallisoir.

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Supplément numérique

Temps \bm{t} (s)	Masse \bm{m} (g)	Hauteur \bm{h} (m)
0	0	23{,}4
0{,}5	9{,}5	22{,}9
1	16{,}1	22{,}6
1{,}5	22{,}7	22{,}2
2	29{,}3	21{,}9
2{,}5	35{,}8	21{,}5
3	42{,}3	21{,}2
3{,}5	48{,}7	20{,}9
4	55{,}6	20{,}5
4{,}5	63	20{,}1
5	70{,}6	19{,}7
5{,}5	77{,}3	19{,}4
6	86	19
6{,}5	92{,}3	18{,}6
7	98{,}6	18{,}3
7{,}5	104{,}8	18
8	111	17{,}7
8{,}5	117{,}3	17{,}3
9	124{,}1	17
9{,}5	130{,}9	16{,}6
10	137{,}2	16{,}3
10{,}5	143{,}2	16
11	149	15{,}7
11{,}5	154{,}8	15{,}4
12	162{,}4	15
12{,}5	168{,}1	14{,}7
13	173{,}9	14{,}4
13{,}5	180{,}2	14{,}1
14	186{,}5	13{,}8
14{,}5	192{,}2	13{,}5
15	197{,}6	13{,}2
15{,}5	203	12{,}9
16	208{,}4	12{,}6
16{,}5	213{,}7	12{,}3
17	219	12{,}1
17{,}5	224{,}2	11{,}8
18	229{,}7	11{,}5
18{,}5	235{,}4	11{,}2
19	241{,}1	10{,}9
19{,}5	247{,}7	10{,}6
20	252{,}6	10{,}3
20{,}5	259	10
21	263{,}9	9{,}7
21{,}5	268{,}6	9{,}5
22	273{,}3	9{,}3
22{,}5	278{,}4	9
23	283{,}6	8{,}7
23{,}5	288{,}7	8{,}5
24	294{,}7	8{,}2
24{,}5	299{,}1	7{,}9
25	303{,}5	7{,}7
25{,}5	307{,}8	7{,}5
26	312{,}1	7{,}2
26{,}5	316{,}3	7
27	320{,}7	6{,}8
27{,}5	325{,}3	6{,}6
28	329{,}9	6{,}3
28{,}5	337{,}1	6
29	338{,}1	5{,}9
29{,}5	342	5{,}7
30	345{,}9	5{,}5
30{,}5	349{,}7	5{,}3
31	353{,}5	5{,}1
31{,}5	357{,}3	4{,}9
32	361{,}3	4{,}7
32{,}5	365{,}4	4{,}5
33	369{,}5	4{,}3
33{,}5	373	4{,}1
34	377{,}7	3{,}9
34{,}5	381{,}1	3{,}7
35	384{,}5	3{,}5

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Questions

Compétence(s)

REA : Mettre en œuvre un protocole
REA/MATH : Dériver
VAL : Analyser des résultats

1. Déclencher le chronomètre au moment où la bouteille commence à se vider, puis :
a. mesurer en fonction du temps la masse m(t) d'eau écoulée et la hauteur h(t) d'eau dans la bouteille (au moins 30 mesures) ;

b. rassembler les valeurs mesurées dans un tableau ;

c. photographier la trajectoire de l'eau pour 5 dates différentes, régulièrement espacées.

2. Exprimer le volume d'eau dans la bouteille en fonction de sa section S et de la hauteur h d'eau. Justifier à l'aide de la définition du débit que l'on peut écrire \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t}=-\rho \cdot S \cdot \dfrac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t}.

3. En mesurant approximativement le diamètre du trou, utiliser la conservation du débit volumique pour calculer la vitesse v(t) en sortie du trou. Tracer v en fonction de h, puis v^{2} en fonction de h.

4. À l'aide d'un logiciel d'acquisition, déterminer une équation de la forme y=y_{0}+\frac{g}{{v_{0}}^{2}} \cdot x^{2} pour chaque trajectoire photographiée. Vérifier sa validité avec les mesures de la question 2.

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Synthèse de l'activité

Illustrer la conservation du débit volumique en recherchant des applications courantes.

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