Exercice corrigé

L’aluminium est un métal léger, mais très mou. L’alliage le plus courant est le duraluminium, composé d’aluminium et d’environ $4{,}0$ % en masse de cuivre.
Une balance hydrostatique mesure la valeur de la tension $\overrightarrow{T}$ exercée par le fil suspendu et affiche une valeur homogène à une masse, correspondant à $\dfrac{T}{g}$. Un lingot d’aluminium de masse $m_{0} = 251{,}1$ g est ensuite plongé dans de l’eau.

1. Réaliser un bilan des forces sur la masse.

2. Donner le lien entre la tension du fil $T$ et la masse $m$ lue sur la balance et calculer la masse lue sur la balance.

On plonge alors un morceau d’alliage de duraluminium de masse $m_{1} = 621{,}2$ g dans l’eau. La mesure lue est $m_{2} = 393,4$ g.

3. On plonge alors un morceau d’alliage de duraluminium de masse $m_{1} = 621{,}2$ g dans l’eau. La mesure lue est $m_{2} = 393{,}4$ g.

Données

• Masses volumiques : $\rho_{\mathrm{alu}}=2{,}699$ g·cm^-3, $\rho_{\mathrm{cu}}=8{,}961$ g·cm^-3 et $\rho_{\mathrm{eau}}=0{,}998\,4$ g·cm^-3

■ Schéma de la balance

Protocole de réponse

Pour tous les exercices sur la poussée d’Archimède, la méthode est la même. Bien définir le système, puis faire un bilan des forces en exprimant la poussée d’Archimède pour déterminer les inconnues du problème.
Faire attention aux unités lorsque l’on utilise une balance : la mesure lue est toujours donnée en unité de masse, mais la grandeur physique mesurée par les balances est le poids, qui est ensuite converti en masse par la balance.

1. Ne pas oublier que le bilan des forces s’exprime de manière vectorielle.

2. Faire attention au signe lorsque l’on relie une grandeur scalaire (la masse) avec des grandeurs qui sont vectorielles (tension du fil et intensité de pesanteur).
Réaliser le calcul en employant les bonnes unités.

3. Réinvestir la méthode précédente pour déterminer la masse volumique de l’alliage.

1. Le lingot, immobile, est soumis à son poids $\overrightarrow{P}=m_{0} · \overrightarrow{g}$, à la poussée d’Archimède exercée par l’eau $\overrightarrow{\varPi}=-\rho_{\mathrm{eau}} \cdot V \cdot \overrightarrow{g}$ et à la tension du fil $\overrightarrow{T}$ mesurée par la balance.

2. La masse lue sur la balance est $\dfrac{T}{g}$. D’après la 1^re loi de Newton :
$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\varPi}+\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}$
En projetant sur l’axe vertical, on obtient :
$\begin{aligned} T &=P-\varPi \\ T &=m_{0} \cdot g-\rho_{\text {eau }} \cdot V \cdot g \\ \dfrac{T}{g} &=m_{0}-\rho_{\text {eau }} \cdot V \\ \dfrac{T}{g} &=m_{0}-\rho_{\text {eau }} \cdot \dfrac{m_{0}}{\rho_{\text {alu }}} \\ \mathrm{A N}: \dfrac{T}{g} &=251{,}1 \times 10^{-3}-\dfrac{0,9984 \times 251{,}1 \times 10^{-3}}{2{,}699}=0{,}1582 \: \mathrm{kg} \end{aligned}$

3. Comme précédemment, le morceau d’alliage est soumis à son poids $\overrightarrow{P}$, à la poussée d’Archimède $\overrightarrow{\varPi}$ et à la tension du fil $\overrightarrow{T}$.
On peut écrire directement, d’après la 1^re loi de Newton :
$\begin{aligned} m_{2} &=m_{1}-\rho_{\text {eau }} \cdot \dfrac{m_{1}}{\rho_{\text {alliage }}} \\ \rho_{\text {alliage }} &=\rho_{\text {eau }} \cdot \dfrac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}} \\ \text { AN : } \rho_{\text {alliage }} &=0{,}9984 \times \dfrac{621{,}2}{621{,}2-393{,}4}=2{,}723 \: \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-3} \end{aligned}$

Mise en application

Découvrez l'exercice 22, Couronne de Hiéron pour travailler cette notion.