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Siphon
P.377

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Exercice corrigé




Siphon

REA : Appliquer une formule
COM : Rédiger correctement une résolution d’exercice

Énoncé

On veut vider un verre d’eau de section SS avec une paille de section ss comme sur le schéma.
Schéma d'un verre d’eau avec une paille

1. En écrivant la conservation du débit volumique, puis la relation de Bernoulli, exprimer le débit volumique sortant de la paille.

2. Donner une condition sur hCh_\mathrm{C} pour que le verre puisse se vider.

3. Déterminer la condition sur les hauteurs hDh_\mathrm{D} et hCh_\mathrm{C} pour que la pression en D\text{D} soit nulle.

Données

  • Masse volumique de l’eau : ρeau=1,00×103\rho_{\mathrm{eau}}=1{,}00 \times 10^{3} kg·m-3

  • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9{,}81 N·kg-1

  • Pression atmosphérique : p0=1013p_{0}=1\,013 hPa

Siphon

Les siphons sont omniprésents dans les systèmes de gestion des eaux. Ils permettent de faire parcourir à l’eau des chemins complexes qu’un écoulement soumis à la seule gravitation ne pourrait pas suivre. Les égouts de Paris passent par exemple sous la Seine par une conduite forcée.
Des siphons naturels existent dans les rivières souterraines.

Siphon naturel

Protocole de réponse

Pour les liquides ayant une interface libre avec un gaz, la pression au niveau de l’interface est toujours la pression dans le gaz en contact avec l’interface.
Pour tous les exercices sur Bernoulli, la méthode est semblable : on utilise la relation de Bernoulli et la conservation du débit volumique pour éliminer les inconnues.

1. Utiliser la relation de Bernoulli et la conservation du débit volumique pour éliminer les inconnues.

2. Étudier la réponse obtenue à la question précédente.

3. Tenir compte du fait que la section est la même en D\text{D} et en C\text{C}.
Isoler hDhCh_{\mathrm{D}}-h_{\mathrm{C}} pour obtenir la condition.

Solution rédigée

1. On écrit tout d’abord la conservation du débit volumique :
DV=vAS=vCsD_{V}=v_{\mathrm{A}} \cdot S=v_{\mathrm{C}} \cdot s

D’après la relation de Bernoulli :
pA+ρghA+ρvA22=pc+ρghc+ρvc22p_{\mathrm{A}}+\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{A}}+\rho \cdot \dfrac{v_{\mathrm{A}}^{2}}{2}=p_{\mathrm{c}}+\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{c}}+\rho \cdot \dfrac{v_{\mathrm{c}}^{2}}{2}

Comme la surface de l’eau touche l’air en A\text{A} et en C\text{C}, pA=pc=p0p_{\mathrm{A}}=p_{\mathrm{c}}=p_{0} :
ρghA+ρvA22=ρghc+ρvc22\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{A}}+\rho · \dfrac{v_{\mathrm{A}}^{2}}{2}=\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{c}}+\rho \cdot \dfrac{v_{\mathrm{c}}^{2}}{2}, soit ghA+vA22=ghc+vc22g \cdot h_{\mathrm{A}}+\dfrac{v_{\mathrm{A}}^{2}}{2}=g \cdot h_{\mathrm{c}}+\dfrac{v_{\mathrm{c}}^{2}}{2}

En remplaçant vAv_{\mathrm{A}} et vcv_{\mathrm{c}} :
ghA+DV22S2=ghC+ρDV22s2DV2(12S212s2)=g(hChA)\begin{array}{c} g \cdot h_{\mathrm{A}}+\dfrac{D_{V}^{2}}{2 S^{2}}=g \cdot h_{\mathrm{C}}+\rho \cdot \dfrac{D_{V}^{2}}{2 s^{2}} \\ D_{V}^{2} \cdot\left(\dfrac{1}{2 S^{2}}-\dfrac{1}{2 s^{2}}\right)=g \cdot\left(h_{\mathrm{C}}-h_{\mathrm{A}}\right) \end{array}
DV=(2s2S2S2s2)g(hAhC)D_{V}=\sqrt{\left(\dfrac{2 s^{2} \cdot S^{2}}{S^{2}-s^{2}}\right) \cdot g \cdot\left(h_{\mathrm{A}}-h_{\mathrm{C}}\right)}


2. Pour vider le verre en entier, il faut que hC<0h_{\mathrm{C}}\lt0 m et que la paille au point B\text{B} soit placée au fond du verre.

3. En appliquant la loi de Bernoulli aux points C\text{C} et D\text{D}, on a :
p0+ρgh0+ρvD22=pc+ρghc+ρvC22p_{0}+\rho \cdot g \cdot h_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{\mathrm{D}}^{2}}{2}=p_{\mathrm{c}}+\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{c}}+\rho \cdot \dfrac{v_{\mathrm{C}}^{2}}{2}

Ici, vC=vDv_{\mathrm{C}}=v_{\mathrm{D}}, car les surfaces traversées sont égales :
pD=p0+ρg(hChD)p_{\mathrm{D}}=p_{0}+\rho \cdot g \cdot\left(h_{\mathrm{C}}-h_{\mathrm{D}}\right)

On conclut que la pression au point D est nulle si :
0=p0+ρg(hChD)0=p_{0}+\rho \cdot g \cdot \left(h_{\mathrm{C}}-h_{\mathrm{D}}\right), soit hDhC=p0ρgh_{\mathrm{D}}-h_{\mathrm{C}}=\dfrac{p_{0}}{\rho \cdot g}

AN:hDhC=1013×1021,00×103×9,81=10,3m\mathrm{AN}: h_{\mathrm{D}}-h_{\mathrm{C}}=\dfrac{1\:013 \times 10^{2}}{1{,}00 \times 10^{3} \times 9{,}81}=10{,}3 \: \mathrm{m}
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Mise en application

Découvrez l'exercice 27, Copie d’élève à commenter pour travailler cette notion.
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