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Énoncé
REA : Appliquer une formule COM : Rédiger correctement une résolution d'exercice
Compétence(s)
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Crédits : lelivrescolaire.fr
On veut vider un verre d'eau de section S avec une paille de section s comme sur le schéma.
1. En écrivant la conservation du
débit volumique, puis la relation
de Bernoulli, exprimer le débit
volumique sortant de la paille.
2. Donner une condition sur hC pour que le verre puisse se vider.
3. Déterminer la condition sur les hauteurs hD et hC pour que la pression en D soit nulle.
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Données
Masse volumique de l'eau :ρeau=1,00×103 kg·m-3
Intensité de pesanteur :g=9,81 N·kg-1
Pression atmosphérique :p0=1013 hPa
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Protocole de réponse
Pour les liquides ayant une interface libre avec
un gaz, la pression au niveau de l'interface est
toujours la pression dans le gaz en contact avec
l'interface.
Pour tous les exercices sur Bernoulli, la méthode
est semblable : on utilise la relation de Bernoulli
et la conservation du débit volumique pour
éliminer les inconnues.
1. Utiliser la relation de Bernoulli et la
conservation du débit volumique pour éliminer les inconnues.
2. Étudier la réponse obtenue à la question
précédente.
3. Tenir compte du fait que la section est la
même en D et en C.
Isoler hD−hC pour obtenir la condition.
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Solution rédigée
1. On écrit tout d'abord la conservation du débit volumique :
DV=vA⋅S=vC⋅s
D'après la relation de Bernoulli :
pA+ρ⋅g⋅hA+ρ⋅2vA2=pc+ρ⋅g⋅hc+ρ⋅2vc2
Comme la surface de l'eau touche l'air en A et en C, pA=pc=p0 :
ρ⋅g⋅hA+ρ⋅2vA2=ρ⋅g⋅hc+ρ⋅2vc2, soit g⋅hA+2vA2=g⋅hc+2vc2
En remplaçant vA et vc :
g⋅hA+2S2DV2=g⋅hC+ρ⋅2s2DV2DV2⋅(2S21−2s21)=g⋅(hC−hA)
DV=(S2−s22s2⋅S2)⋅g⋅(hA−hC)
2. Pour vider le verre en entier, il faut que hC<0 m et que la paille
au point B soit placée au fond du verre.
3. En appliquant la loi de Bernoulli aux points C et D, on a :
p0+ρ⋅g⋅h0+ρ⋅2vD2=pc+ρ⋅g⋅hc+ρ⋅2vC2
Ici, vC=vD, car les surfaces traversées sont égales :
pD=p0+ρ⋅g⋅(hC−hD)
On conclut que la pression au point D est nulle si :
0=p0+ρ⋅g⋅(hC−hD), soit hD−hC=ρ⋅gp0
AN:hD−hC=1,00×103×9,811013×102=10,3m
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Doc.
Siphon
Les siphons sont omniprésents dans
les systèmes de gestion des eaux. Ils
permettent de faire parcourir à l'eau
des chemins complexes qu'un écoulement
soumis à la seule gravitation
ne pourrait pas suivre. Les égouts de
Paris passent par exemple sous la
Seine par une conduite forcée.
Des siphons naturels existent dans
les rivières souterraines.
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Crédits : A.Savin/Wikimedia
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