On veut vider un verre d'eau de section S avec une paille de section s comme sur le schéma.

1. En écrivant la conservation du débit volumique, puis la relation de Bernoulli, exprimer le débit volumique sortant de la paille.

2. Donner une condition sur h_\mathrm{C} pour que le verre puisse se vider.

3. Déterminer la condition sur les hauteurs h_\mathrm{D} et h_\mathrm{C} pour que la pression en \text{D} soit nulle.

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Données

Masse volumique de l'eau : \rho_{\mathrm{eau}}=1{,}00 \times 10^{3} kg·m^-3
Intensité de pesanteur : g = 9{,}81 N·kg^-1
Pression atmosphérique : p_{0}=1\,013 hPa

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Protocole de réponse

Pour les liquides ayant une interface libre avec un gaz, la pression au niveau de l'interface est toujours la pression dans le gaz en contact avec l'interface.
Pour tous les exercices sur Bernoulli, la méthode est semblable : on utilise la relation de Bernoulli et la conservation du débit volumique pour éliminer les inconnues.

1. Utiliser la relation de Bernoulli et la conservation du débit volumique pour éliminer les inconnues.

2. Étudier la réponse obtenue à la question précédente.

3. Tenir compte du fait que la section est la même en \text{D} et en \text{C}.
Isoler h_{\mathrm{D}}-h_{\mathrm{C}} pour obtenir la condition.

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Solution rédigée

1. On écrit tout d'abord la conservation du débit volumique :

D_{V}=v_{\mathrm{A}} \cdot S=v_{\mathrm{C}} \cdot s

D'après la relation de Bernoulli :

p_{\mathrm{A}}+\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{A}}+\rho \cdot \frac{v_{\mathrm{A}}^{2}}{2}=p_{\mathrm{c}}+\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{c}}+\rho \cdot \frac{v_{\mathrm{c}}^{2}}{2}

Comme la surface de l'eau touche l'air en \text{A} et en \text{C}, p_{\mathrm{A}}=p_{\mathrm{c}}=p_{0} :

\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{A}}+\rho · \frac{v_{\mathrm{A}}^{2}}{2}=\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{c}}+\rho \cdot \frac{v_{\mathrm{c}}^{2}}{2}, soit g \cdot h_{\mathrm{A}}+\frac{v_{\mathrm{A}}^{2}}{2}=g \cdot h_{\mathrm{c}}+\frac{v_{\mathrm{c}}^{2}}{2}

En remplaçant v_{\mathrm{A}} et v_{\mathrm{c}} :
\begin{array}{c} g \cdot h_{\mathrm{A}}+\frac{D_{V}^{2}}{2 S^{2}}=g \cdot h_{\mathrm{C}}+\rho \cdot \frac{D_{V}^{2}}{2 s^{2}} \\ D_{V}^{2} \cdot\left(\frac{1}{2 S^{2}}-\frac{1}{2 s^{2}}\right)=g \cdot\left(h_{\mathrm{C}}-h_{\mathrm{A}}\right) \end{array}

D_{V}=\sqrt{\left(\frac{2 s^{2} \cdot S^{2}}{S^{2}-s^{2}}\right) \cdot g \cdot\left(h_{\mathrm{A}}-h_{\mathrm{C}}\right)}

2. Pour vider le verre en entier, il faut que h_{\mathrm{C}}\lt0 m et que la paille au point \text{B} soit placée au fond du verre.

3. En appliquant la loi de Bernoulli aux points \text{C} et \text{D}, on a :

p_{0}+\rho \cdot g \cdot h_{0}+\rho \cdot \frac{v_{\mathrm{D}}^{2}}{2}=p_{\mathrm{c}}+\rho \cdot g \cdot h_{\mathrm{c}}+\rho \cdot \frac{v_{\mathrm{C}}^{2}}{2}

Ici, v_{\mathrm{C}}=v_{\mathrm{D}}, car les surfaces traversées sont égales :

p_{\mathrm{D}}=p_{0}+\rho \cdot g \cdot\left(h_{\mathrm{C}}-h_{\mathrm{D}}\right)

On conclut que la pression au point D est nulle si :

0=p_{0}+\rho \cdot g \cdot \left(h_{\mathrm{C}}-h_{\mathrm{D}}\right), soit h_{\mathrm{D}}-h_{\mathrm{C}}=\dfrac{p_{0}}{\rho \cdot g}

\mathrm{AN}: h_{\mathrm{D}}-h_{\mathrm{C}}=\dfrac{1\:013 \times 10^{2}}{1{,}00 \times 10^{3} \times 9{,}81}=10{,}3 \: \mathrm{m}

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Doc.
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Les siphons sont omniprésents dans les systèmes de gestion des eaux. Ils permettent de faire parcourir à l'eau des chemins complexes qu'un écoulement soumis à la seule gravitation ne pourrait pas suivre. Les égouts de Paris passent par exemple sous la Seine par une conduite forcée.
Des siphons naturels existent dans les rivières souterraines.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : A.Savin/Wikimedia

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Mise en application

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exercice 27

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