Modélisation de l'écoulement d'un fluide

Doc. 2

Forces sur un iceberg

Attention, la masse volumique de l'eau dépend de la température. Elle vaut 1\,000 kg·m^-3 à 4 °C (son maximum), 997 kg·m^-3 à 25 °C et 958 kg·m^-3 à 100 °C.

La vitesse d'un petit volume de fluide est la vitesse moyenne des entités qui le composent. Une particule fluide compte un nombre important d'entités microscopiques. Les particules fluides sont petites devant les échelles de l'écoulement.

Bien qu'un fluide soit beaucoup plus complexe qu'un solide ou un point matériel, son étude se fait de la même manière : en se plaçant dans un référentiel galiléen et en commençant toujours par définir un système d'étude, ici une particule de fluide.


La ligne de courant correspond aux trajectoires suivies par les particules fluides. Si le mouvement du fluide n'est pas trop compliqué, il reste confiné dans des tubes de courant, c'est‑à‑dire des ensembles de lignes de courant qui se déforment au sein de l'écoulement. L'exemple le plus simple de tube de courant est le contour d'un tuyau, que le fluide ne peut jamais traverser.

Pour caractériser les écoulements, on introduit une nouvelle grandeur, le débit volumique \boldsymbol{D_{\mathrm{V}}} :


Si l'écoulement est aussi permanent, il y a conservation du débit volumique. Le long d'un tube de courant, le débit volumique est constant et uniforme :

Cette loi de conservation est très utile pour calculer des vitesses en différents points d'un écoulement.

Les particules fluides en rouge peuvent être très déformées durant leur passage dans l'écoulement. Les tubes de courant (en vert) se comportent comme des tuyaux qui entourent les particules fluides. Le vecteur vitesse de chaque particule fluide est représenté en noir.

Pour que la formule reliant le débit volumique à la surface traversée soit vraie, il faut que la surface soit orthogonale en tout point au vecteur vitesse.

Il faut que la vitesse soit uniforme sur la surface S.

Attention aussi à la confusion possible entre V le volume et v la vitesse.

En l'absence de forces de frottement et dans l'hypothèse du fluide parfait, l'énergie mécanique d'une particule fluide est constante au cours de son déplacement. En prenant en compte son énergie cinétique, son énergie potentielle de pesanteur et l'énergie potentielle liée aux force de pression, Bernoulli a démontré, pour un écoulement permanent et incompressible :

Lorsqu'un fluide arrive dans une conduite qui se resserre ou lorsque le tube de courant d'un écoulement change de taille, la loi de Bernoulli permet de déterminer les propriétés de l'écoulement. On suppose la conduite horizontale afin de négliger l'effet de la pesanteur. D'après la conservation du débit volumique S_{0} · v_{0}=S_{1} · v_{1} et avec la loi de Bernoulli :

\begin{array}{l} \rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2}+p_{0}=\rho \cdot \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+p_{1} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}-v_{1}^{2}}{2} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2} \cdot\left(1-\left(\dfrac{S_{0}}{S_{1}}\right)^{2}\right) \end{array}

Retrouvez l'effet Venturi expliqué en vidéo

Tous les écoulements étudiés sont permanents, incompressibles, sans tourbillons et sans frottements. Ces écoulements sont les plus simples à étudier.

Pour la plupart des exercices, il est nécessaire d'utiliser la loi de Bernoulli et la conservation du débit volumique.

Le terme \rho \cdot \dfrac{v^{2}}{2} représente l'énergie cinétique du fluide par unité de volume. Le terme \rho \cdot g \cdot h représente l'énergie potentielle de pesanteur par unité de volume. La pression p est également homogène à une énergie par unité de volume.

L'effet Venturi est mis à profit dans de nombreuses applications, pour mesurer des vitesses ou pour réaliser une trompe à vide, utilisée en chimie.
Le résultat principal est surprenant, car on pourrait s'attendre à une augmentation de la pression puisque l'on appuie sur le fluide pour le faire rentrer dans un rétrécissement du tube.

Venturi (1746-1822) est un physicien italien célèbre pour son travail sur la dynamique des fluides. Il a également étudié l'acoustique et l'optique.