Cours

La poussée d’Archimède est la résultante des forces de pression exercées par un fluide au repos sur un corps immergé dans ce fluide. Pour un fluide à l’équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, il n’y a pas de mouvement. En se plaçant dans un référentiel galiléen et en considérant comme système un volume fini $V$ de fluide, pas nécessairement homogène, dont on choisit la forme et la position, les forces s’exerçant sur le volume $V$ sont :

• le poids $\overrightarrow{P}$ ;
• la résultante des forces de pression $\overrightarrow{\varPi}$.

D’après la première loi de Newton : $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\varPi}$
Pour tout objet qui occupe le volume $V$, quelle que soit sa nature, en l’absence de mouvement, la pression dans le fluide est la même que lorsque l’objet est remplacé par un fluide.



Dans le cas où le corps est intégralement immergé dans un fluide de masse volumique uniforme :

$\varPi=-\rho_{\text {fluide }} \cdot V_{\text {immergé }} \cdot \overrightarrow{g}$

On étudie deux situations représentées dans le doc. 2. (⇧) Tout d’abord, un poisson de volume $V = 500$ cm³ immergé dans de l’eau de mer de masse volumique égale à $\rho=1{,}05$ kg·L^-1. Puis un iceberg de volume $V = 1 \times 10^8$ m³, dont la proportion de volume sous la surface de l’eau est égale à $90$ % et la proportion du volume sur la surface de l’eau est égale à $10$ %.
Calculer les valeurs des poussées d’Archimède dans les deux situations. Pour l’iceberg, comparer l’action de l’air et l’action de l’eau.

Corrigé :

Pour le poisson :
$\begin{aligned} \varPi &=\rho \cdot V_{\text {eau }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi &=1{,}05 \times 10^{3} \times 0{,}5 \times 10^{-3} \times 9{,}81=5{,}15 \: \mathrm{N} \end{aligned}$
Pour l’iceberg, les poussées d’Archimède valent :
$\begin{aligned} \varPi_{\text {air }} &=\rho_{\text {air }} \cdot V_{\text {air }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi_{\text {air }} &=1{,}27 \times 0{,}1 \times 10^{8} \times 9{,}81=1 \times 10^{8} \: \mathrm{N} \\ \varPi_{\text {eau }} &=\rho_{\text {eau }} \cdot V_{\text {eau }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi_{\text {eau }} &=1{,}05 \times 10^{3} \times 0{,}9 \times 1 \times 10^{8} \times 9{,}81=9 \times 10^{11} \: \mathrm{N} \end{aligned}$
En comparant les deux valeurs, on constate que la poussée d’Archimède exercée par l’air sur l’iceberg est négligeable par rapport à celle exercée par l’eau.

Mathématicien et physicien grec de Syracuse, il étudie la géométrie et l’algèbre et développe de nombreuses applications en mécanique (levier, poulie, balance). Il développe aussi le calcul intégral et connaît la forme sphérique de la Terre.

➜ Attention, la masse volumique de l’eau dépend de la température. Elle vaut $1\,000$ kg·m^-3 à $4$ °C (son maximum), $997$ kg·m^-3 à $25$ °C et $958$ kg·m^-3 à $100$ °C.

Matthieu Colombel, Laissemoitaider

La vitesse d’un petit volume de fluide est la vitesse moyenne des entités qui le composent. Une particule fluide compte un nombre important d’entités microscopiques. Les particules fluides sont petites devant les échelles de l’écoulement.

Bien qu’un fluide soit beaucoup plus complexe qu’un solide ou un point matériel, son étude se fait de la même manière : en se plaçant dans un référentiel galiléen et en commençant toujours par définir un système d’étude, ici une particule de fluide.


La ligne de courant correspond aux trajectoires suivies par les particules fluides. Si le mouvement du fluide n’est pas trop compliqué, il reste confiné dans des tubes de courant, c’est‑à‑dire des ensembles de lignes de courant qui se déforment au sein de l’écoulement. L’exemple le plus simple de tube de courant est le contour d’un tuyau, que le fluide ne peut jamais traverser.

Pour caractériser les écoulements, on introduit une nouvelle grandeur, le débit volumique $\boldsymbol{D_{\mathrm{V}}}$ :



Si l’écoulement est aussi permanent, il y a conservation du débit volumique. Le long d’un tube de courant, le débit volumique est constant et uniforme :
$D_{\mathrm{V}}=v_{1} \cdot S_{1}=v_{2} \cdot S_{2}$
Cette loi de conservation est très utile pour calculer des vitesses en différents points d’un écoulement.

En l’absence de forces de frottement et dans l’hypothèse du fluide parfait, l’énergie mécanique d’une particule fluide est constante au cours de son déplacement. En prenant en compte son énergie cinétique, son énergie potentielle de pesanteur et l’énergie potentielle liée aux force de pression, Bernoulli a démontré, pour un écoulement permanent et incompressible :

Lorsqu’un fluide arrive dans une conduite qui se resserre ou lorsque le tube de courant d’un écoulement change de taille, la loi de Bernoulli permet de déterminer les propriétés de l’écoulement. On suppose la conduite horizontale afin de négliger l’effet de la pesanteur. D’après la conservation du débit volumique $S_{0} · v_{0}=S_{1} · v_{1}$ et avec la loi de Bernoulli :

$\begin{array}{l} \rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2}+p_{0}=\rho \cdot \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+p_{1} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}-v_{1}^{2}}{2} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2} \cdot\left(1-\left(\dfrac{S_{0}}{S_{1}}\right)^{2}\right) \end{array}$

L’effet Venturi est mis à profit dans de nombreuses applications, pour mesurer des vitesses ou pour réaliser une trompe à vide, utilisée en chimie.
Le résultat principal est surprenant, car on pourrait s’attendre à une augmentation de la pression puisque l’on appuie sur le fluide pour le faire rentrer dans un rétrécissement du tube.

Venturi (1746-1822) est un physicien italien célèbre pour son travail sur la dynamique des fluides. Il a également étudié l’acoustique et l’optique.