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P.368-370

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Chapitre 14


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1
Poussée d’Archimède
(⇧)


La poussée d’Archimède est la résultante des forces de pression exercées par un fluide au repos sur un corps immergé dans ce fluide. Pour un fluide à l’équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, il n’y a pas de mouvement. En se plaçant dans un référentiel galiléen et en considérant comme système un volume fini VV de fluide, pas nécessairement homogène, dont on choisit la forme et la position, les forces s’exerçant sur le volume VV sont :
  • le poids P\overrightarrow{P} ;
  • la résultante des forces de pression Π\overrightarrow{\varPi}.

D’après la première loi de Newton :
0=P+Π\overrightarrow{0}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\varPi}

Pour tout objet qui occupe le volume VV, quelle que soit sa nature, en l’absence de mouvement, la pression dans le fluide est la même que lorsque l’objet est remplacé par un fluide.

La résultante des forces de pression sur un corps dans un fluide s’écrit donc :
Π=Pfluide deˊplaceˊ \overrightarrow{\varPi}=-\overrightarrow{P}_{\text {fluide déplacé }}


Dans le cas où le corps est intégralement immergé dans un fluide de masse volumique uniforme :

Π=ρfluide Vimmergeˊ g\varPi=-\rho_{\text {fluide }} \cdot V_{\text {immergé }} \cdot \overrightarrow{g}

Application

On étudie deux situations représentées dans le doc. 2. (⇧) Tout d’abord, un poisson de volume V=500V = 500 cm3 immergé dans de l’eau de mer de masse volumique égale à ρ=1,05\rho=1{,}05 kg·L-1. Puis un iceberg de volume V=1×108V = 1 \times 10^8 m3, dont la proportion de volume sous la surface de l’eau est égale à 9090 % et la proportion du volume sur la surface de l’eau est égale à 1010 %.
Calculer les valeurs des poussées d’Archimède dans les deux situations. Pour l’iceberg, comparer l’action de l’air et l’action de l’eau.

Corrigé :

Pour le poisson :
Π=ρVeau gAN:Π=1,05×103×0,5×103×9,81=5,15N\begin{aligned} \varPi &=\rho \cdot V_{\text {eau }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi &=1{,}05 \times 10^{3} \times 0{,}5 \times 10^{-3} \times 9{,}81=5{,}15 \: \mathrm{N} \end{aligned}
Pour l’iceberg, les poussées d’Archimède valent :
Πair =ρair Vair gAN:Πair =1,27×0,1×108×9,81=1×108NΠeau =ρeau Veau gAN:Πeau =1,05×103×0,9×1×108×9,81=9×1011N\begin{aligned} \varPi_{\text {air }} &=\rho_{\text {air }} \cdot V_{\text {air }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi_{\text {air }} &=1{,}27 \times 0{,}1 \times 10^{8} \times 9{,}81=1 \times 10^{8} \: \mathrm{N} \\ \varPi_{\text {eau }} &=\rho_{\text {eau }} \cdot V_{\text {eau }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi_{\text {eau }} &=1{,}05 \times 10^{3} \times 0{,}9 \times 1 \times 10^{8} \times 9{,}81=9 \times 10^{11} \: \mathrm{N} \end{aligned}
En comparant les deux valeurs, on constate que la poussée d’Archimède exercée par l’air sur l’iceberg est négligeable par rapport à celle exercée par l’eau.

Doc. 1
Archimède (287-212 av. J.-C.)

Archimède (287-212 av. J.-C.)

Mathématicien et physicien grec de Syracuse, il étudie la géométrie et l’algèbre et développe de nombreuses applications en mécanique (levier, poulie, balance). Il développe aussi le calcul intégral et connaît la forme sphérique de la Terre.

Doc. 2
Forces sur un iceberg

Forces sur un iceberg

Vocabulaire


Densité


Masse volumique



Densité : rapport entre la masse volumique d’un corps et celle d’un corps de référence. Pour l’eau à 4 °C pour les solides et les liquides : d=ρρeaud=\dfrac{\rho}{\rho_{\mathrm{eau}}}
Pour l’air pour les gaz : d=ρρair d=\dfrac{\rho}{\rho_{\text {air }}}

Masse volumique : rapport entre la masse d’un corps et son volume :
ρ=mV\rho=\dfrac{m}{V}

Pas de malentendu

Attention, la masse volumique de l’eau dépend de la température. Elle vaut 10001\,000 kg·m-3 à 44 °C (son maximum), 997997 kg·m-3 à 2525 °C et 958958 kg·m-3 à 100100 °C.

Supplément numérique

Retrouvez une explication de la poussée d'Archimède en vidéo :

Matthieu Colombel, Laissemoitaider

Matthieu Colombel, Laissemoitaider

2
Écoulements de fluides
(⇧)


A
Modèle de la particule fluide

Le fluide est modélisé simplement par un grand nombre de petits volumes appelés particules fluides.
La vitesse d’un petit volume de fluide est la vitesse moyenne des entités qui le composent. Une particule fluide compte un nombre important d’entités microscopiques. Les particules fluides sont petites devant les échelles de l’écoulement.

B
Mouvement du fluide

Bien qu’un fluide soit beaucoup plus complexe qu’un solide ou un point matériel, son étude se fait de la même manière : en se plaçant dans un référentiel galiléen et en commençant toujours par définir un système d’étude, ici une particule de fluide.

Le mouvement du fluide est décrit par un champ de vitesse, qui est l’ensemble des vecteurs vitesse de toutes les particules du fluide.

La ligne de courant correspond aux trajectoires suivies par les particules fluides. Si le mouvement du fluide n’est pas trop compliqué, il reste confiné dans des tubes de courant, c’est‑à‑dire des ensembles de lignes de courant qui se déforment au sein de l’écoulement. L’exemple le plus simple de tube de courant est le contour d’un tuyau, que le fluide ne peut jamais traverser.

C
Conservation du débit volumique

Pour caractériser les écoulements, on introduit une nouvelle grandeur, le débit volumique DV\boldsymbol{D_{\mathrm{V}}} :

DV=dVdtD_{\mathrm{V}}=\dfrac{{\mathrm{d}} V}{{\mathrm{d}} t} DVD_{\mathrm{V}} : débit volumique (m3·s-1)
VV : volume d’eau écoulée (m3)
tt : temps (s)

La masse d’une particule fluide reste constante au cours du temps. Pour un écoulement incompressible, le volume d’une particule fluide reste constant même si elle se déforme. Il existe alors une relation entre le débit volumique DVD_{\mathrm{V}} et la surface SS traversée :
DV=vSD_{\mathrm{V}}=v \cdot S

DVD_{\mathrm{V}} : débit volumique (m3·s-1)
vv : vitesse d’écoulement (m·s-1)
SS : surface traversée par l’écoulement (m2)

Si l’écoulement est aussi permanent, il y a conservation du débit volumique. Le long d’un tube de courant, le débit volumique est constant et uniforme :
DV=v1S1=v2S2D_{\mathrm{V}}=v_{1} \cdot S_{1}=v_{2} \cdot S_{2}

Cette loi de conservation est très utile pour calculer des vitesses en différents points d’un écoulement.

Doc. 3
Écoulement

Écoulement

Les particules fluides en rouge peuvent être très déformées durant leur passage dans l’écoulement. Les tubes de courant (en vert) se comportent comme des tuyaux qui entourent les particules fluides. Le vecteur vitesse de chaque particule fluide est représenté en noir.

Vocabulaire


Écoulement incompressible


Écoulement permanent



Écoulement incompressible : écoulement où la masse volumique ρ\rho est uniforme et constante.

Écoulement permanent : écoulement où le vecteur vitesse v\overrightarrow{v} est indépendant du temps, mais peut varier avec la position. On parle également d’écoulement stationnaire.

Éviter les erreurs

Pour que la formule reliant le débit volumique à la surface traversée soit vraie, il faut que la surface soit orthogonale en tout point au vecteur vitesse.

Il faut que la vitesse soit uniforme sur la surface SS.

Attention aussi à la confusion possible entre VV le volume et vv la vitesse.

Doc. 4
Conservation du débit

Conservation du débit

3
Dynamique des fluides incompressibles
(⇧)


A
Relation de Bernoulli

Relation de Bernoulli

En l’absence de forces de frottement et dans l’hypothèse du fluide parfait, l’énergie mécanique d’une particule fluide est constante au cours de son déplacement. En prenant en compte son énergie cinétique, son énergie potentielle de pesanteur et l’énergie potentielle liée aux force de pression, Bernoulli a démontré, pour un écoulement permanent et incompressible :

ρv022+ρgh0+p0=ρv122+ρgh1+p1\rho \cdot \dfrac{{v_{0}^{2}}}{2}+\rho \cdot g \cdot h_{0}+p_{0}=\rho \cdot \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+\rho \cdot g \cdot h_{1}+p_{1}
ρ\rho : masse volumique du fluide (kg·m-3)
v0v_{0} et v1v_{1} : vitesses d’écoulement (m·s-1)
gg : intensité de pesanteur (N·kg-1)
h0h_{0} et h1h_{1} : hauteurs des points de mesure (m)
p0p_{0} et p1p_{1} : pressions aux points de mesure (Pa)

B
Effet Venturi

Lorsqu’un fluide arrive dans une conduite qui se resserre ou lorsque le tube de courant d’un écoulement change de taille, la loi de Bernoulli permet de déterminer les propriétés de l’écoulement. On suppose la conduite horizontale afin de négliger l’effet de la pesanteur. D’après la conservation du débit volumique S0v0=S1v1S_{0} · v_{0}=S_{1} · v_{1} et avec la loi de Bernoulli :

ρv022+p0=ρv122+p1p1=p0+ρv02v122p1=p0+ρv022(1(S0S1)2)\begin{array}{l} \rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2}+p_{0}=\rho \cdot \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+p_{1} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}-v_{1}^{2}}{2} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2} \cdot\left(1-\left(\dfrac{S_{0}}{S_{1}}\right)^{2}\right) \end{array}

Pour une conduite horizontale, lorsque la section diminue, la vitesse augmente et la pression diminue. C’est l’effet Venturi.

Pas de malentendu

Tous les écoulements étudiés sont permanents, incompressibles, sans tourbillons et sans frottements. Ces écoulements sont les plus simples à étudier.

Éviter les erreurs

Pour la plupart des exercices, il est nécessaire d’utiliser la loi de Bernoulli et la conservation du débit volumique.

Doc. 5
Bernoulli et énergies

Le terme ρv22\rho \cdot \dfrac{v^{2}}{2} représente l’énergie cinétique du fluide par unité de volume. Le terme ρgh\rho \cdot g \cdot h représente l’énergie potentielle de pesanteur par unité de volume. La pression pp est également homogène à une énergie par unité de volume.

Doc. 6
Effet Venturi

Effet Venturi
L’effet Venturi est mis à profit dans de nombreuses applications, pour mesurer des vitesses ou pour réaliser une trompe à vide, utilisée en chimie.
Le résultat principal est surprenant, car on pourrait s’attendre à une augmentation de la pression puisque l’on appuie sur le fluide pour le faire rentrer dans un rétrécissement du tube.

Doc. 7
Giovanni Battista Venturi

Giovanni Battista Venturi

Venturi (1746-1822) est un physicien italien célèbre pour son travail sur la dynamique des fluides. Il a également étudié l’acoustique et l’optique.

Supplément numérique

Retrouvez l’effet Venturi expliqué en vidéo

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