Physique-Chimie Terminale Spécialité
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Préparation aux épreuves du Bac
1. Constitution et transformations de la matière
Ch. 1
Modélisation des transformations acide-base
Ch. 2
Analyse physique d'un système chimique
Ch. 3
Méthode de suivi d'un titrage
Ch. 4
Évolution temporelle d'une transformation chimique
Ch. 5
Évolution temporelle d'une transformation nucléaire
BAC
Thème 1
Ch. 6
Évolution spontanée d'un système chimique
Ch. 7
Équilibres acide-base
Ch. 8
Transformations chimiques forcées
Ch. 9
Structure et optimisation en chimie organique
Ch. 10
Stratégies de synthèse
BAC
Thème 1 bis
2. Mouvement et interactions
Ch. 11
Description d'un mouvement
Ch. 12
Mouvement dans un champ uniforme
Ch. 13
Mouvement dans un champ de gravitation
Ch. 14
Modélisation de l'écoulement d'un fluide
BAC
Thème 2
3. Conversions et transferts d'énergie
Ch. 15
Étude d’un système thermodynamique
Ch. 16
Bilans d'énergie thermique
BAC
Thème 3
4. Ondes et signaux
Ch. 17
Propagation des ondes
Ch. 18
Interférences et diffraction
Ch. 19
Lunette astronomique
Ch. 20
Effet photoélectrique et enjeux énergétiques
Ch. 21
Évolutions temporelles dans un circuit capacitif
BAC
Thème 4
Annexes
Ch. 22
Méthode
Chapitre 14
Cours
Modélisation de l'écoulement d'un fluide
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1Poussée d'Archimède
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La poussée d'Archimède est la résultante des forces de pression exercées
par un fluide au repos sur un corps immergé dans ce fluide. Pour
un fluide à l'équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, il n'y a
pas de mouvement. En se plaçant dans un référentiel galiléen et en
considérant comme système un volume fini V de fluide, pas nécessairement
homogène, dont on choisit la forme et la position, les forces
s'exerçant sur le volume V sont :
D'après la première loi de Newton :
- le poids \overrightarrow{P} ;
- la résultante des forces de pression \overrightarrow{\varPi}.
D'après la première loi de Newton :
\overrightarrow{0}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{\varPi}
Pour tout objet qui occupe le volume V, quelle que soit sa nature, en
l'absence de mouvement, la pression dans le fluide est la même que
lorsque l'objet est remplacé par un fluide.
Dans le cas où le corps est intégralement immergé dans un fluide de masse volumique uniforme :
La résultante des forces de pression sur un corps dans un fluide
s'écrit donc :
\overrightarrow{\varPi}=-\overrightarrow{P}_{\text {fluide déplacé }}
Dans le cas où le corps est intégralement immergé dans un fluide de masse volumique uniforme :
\varPi=-\rho_{\text {fluide }} \cdot V_{\text {immergé }} \cdot \overrightarrow{g}
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Doc. 1 Archimède (287-212 av. J.-C.)
Mathématicien et physicien grec de
Syracuse, il étudie la géométrie et l'algèbre
et développe de nombreuses applications
en mécanique (levier, poulie, balance).
Il développe aussi le calcul intégral et
connaît la forme sphérique de la Terre.
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Doc. 2Forces sur un iceberg
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Application
On étudie deux situations représentées dans le doc. 2. Tout
d'abord, un poisson de volume V = 500 cm3 immergé dans de l'eau
de mer de masse volumique égale à \rho=1{,}05 kg·L-1. Puis un iceberg
de volume V = 1 \times 10^8 m3, dont la proportion de volume sous la
surface de l'eau est égale à 90 % et la proportion du volume sur la
surface de l'eau est égale à 10 %.
Calculer les valeurs des poussées d'Archimède dans les deux situations. Pour l'iceberg, comparer l'action de l'air et l'action de l'eau.
Pour le poisson :
\begin{aligned} \varPi &=\rho \cdot V_{\text {eau }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi &=1{,}05 \times 10^{3} \times 0{,}5 \times 10^{-3} \times 9{,}81=5{,}15 \: \mathrm{N} \end{aligned}
Pour l'iceberg, les poussées d'Archimède valent :
\begin{aligned} \varPi_{\text {air }} &=\rho_{\text {air }} \cdot V_{\text {air }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi_{\text {air }} &=1{,}27 \times 0{,}1 \times 10^{8} \times 9{,}81=1 \times 10^{8} \: \mathrm{N} \\ \varPi_{\text {eau }} &=\rho_{\text {eau }} \cdot V_{\text {eau }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi_{\text {eau }} &=1{,}05 \times 10^{3} \times 0{,}9 \times 1 \times 10^{8} \times 9{,}81=9 \times 10^{11} \: \mathrm{N} \end{aligned}
En comparant les deux valeurs, on constate que la poussée d'Archimède exercée par l'air sur l'iceberg est négligeable par rapport à celle exercée par l'eau.
Calculer les valeurs des poussées d'Archimède dans les deux situations. Pour l'iceberg, comparer l'action de l'air et l'action de l'eau.
Corrigé
Pour le poisson :
\begin{aligned} \varPi &=\rho \cdot V_{\text {eau }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi &=1{,}05 \times 10^{3} \times 0{,}5 \times 10^{-3} \times 9{,}81=5{,}15 \: \mathrm{N} \end{aligned}
Pour l'iceberg, les poussées d'Archimède valent :
\begin{aligned} \varPi_{\text {air }} &=\rho_{\text {air }} \cdot V_{\text {air }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi_{\text {air }} &=1{,}27 \times 0{,}1 \times 10^{8} \times 9{,}81=1 \times 10^{8} \: \mathrm{N} \\ \varPi_{\text {eau }} &=\rho_{\text {eau }} \cdot V_{\text {eau }} \cdot g \\ \mathrm{AN}: \varPi_{\text {eau }} &=1{,}05 \times 10^{3} \times 0{,}9 \times 1 \times 10^{8} \times 9{,}81=9 \times 10^{11} \: \mathrm{N} \end{aligned}
En comparant les deux valeurs, on constate que la poussée d'Archimède exercée par l'air sur l'iceberg est négligeable par rapport à celle exercée par l'eau.
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Densité
Masse volumique
Densité : rapport entre la masse volumique d'un corps et celle d'un corps de référence. Pour l'eau à 4 °C pour les solides et les liquides : d=\frac{\rho}{\rho_{\mathrm{eau}}}
Pour l'air pour les gaz : d=\frac{\rho}{\rho_{\text {air }}}
Masse volumique : rapport entre la masse d'un corps et son volume :
\rho=\dfrac{m}{V}
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Attention, la masse volumique de l'eau dépend de la température. Elle vaut 1\,000 kg·m-3 à 4 °C (son
maximum), 997 kg·m-3 à 25 °C et 958 kg·m-3 à 100 °C.
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2Écoulements de fluides
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AModèle de la particule fluide
Le fluide est modélisé simplement par un grand nombre de petits volumes appelés particules fluides.
La vitesse d'un petit volume de fluide est la vitesse moyenne des entités qui le composent. Une particule fluide compte un nombre important d'entités microscopiques. Les particules fluides sont petites devant les échelles de l'écoulement.
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BMouvement du fluide
Bien qu'un fluide soit beaucoup plus complexe qu'un solide ou un
point matériel, son étude se fait de la même manière : en se plaçant
dans un référentiel galiléen et en commençant toujours par définir un
système d'étude, ici une particule de fluide.
La ligne de courant correspond aux trajectoires suivies par les particules fluides. Si le mouvement du fluide n'est pas trop compliqué, il reste confiné dans des tubes de courant, c'est‑à‑dire des ensembles de lignes de courant qui se déforment au sein de l'écoulement. L'exemple le plus simple de tube de courant est le contour d'un tuyau, que le fluide ne peut jamais traverser.
Le mouvement du fluide est décrit par un champ de vitesse, qui est
l'ensemble des vecteurs vitesse de toutes les particules du fluide.
La ligne de courant correspond aux trajectoires suivies par les particules fluides. Si le mouvement du fluide n'est pas trop compliqué, il reste confiné dans des tubes de courant, c'est‑à‑dire des ensembles de lignes de courant qui se déforment au sein de l'écoulement. L'exemple le plus simple de tube de courant est le contour d'un tuyau, que le fluide ne peut jamais traverser.
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CConservation du débit volumique
Pour caractériser les écoulements, on introduit une nouvelle
grandeur, le débit volumique \boldsymbol{D_{\mathrm{V}}} :
D_{\mathrm{V}} : débit volumique (m3·s-1)
V : volume d'eau écoulée (m3)
t : temps (s)
La masse d'une particule fluide reste constante au cours du temps. Pour un écoulement incompressible, le volume d'une particule fluide reste constant même si elle se déforme. Il existe alors une relation entre le débit volumique D_{\mathrm{V}} et la surface S traversée :
D_{\mathrm{V}} : débit volumique (m3·s-1)
v : vitesse d'écoulement (m·s-1)
S : surface traversée par l'écoulement (m2)
Si l'écoulement est aussi permanent, il y a conservation du débit volumique. Le long d'un tube de courant, le débit volumique est constant et uniforme :
Cette loi de conservation est très utile pour calculer des vitesses en différents points d'un écoulement.
D_{\mathrm{V}}=\frac{{\mathrm{d}} V}{{\mathrm{d}} t}
La masse d'une particule fluide reste constante au cours du temps. Pour un écoulement incompressible, le volume d'une particule fluide reste constant même si elle se déforme. Il existe alors une relation entre le débit volumique D_{\mathrm{V}} et la surface S traversée :
D_{\mathrm{V}}=v \cdot S
Si l'écoulement est aussi permanent, il y a conservation du débit volumique. Le long d'un tube de courant, le débit volumique est constant et uniforme :
D_{\mathrm{V}}=v_{1} \cdot S_{1}=v_{2} \cdot S_{2}
Cette loi de conservation est très utile pour calculer des vitesses en différents points d'un écoulement.
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Doc. 3 Écoulement
Les particules fluides en rouge peuvent être très déformées durant leur passage dans l'écoulement. Les tubes de courant (en vert) se comportent comme des tuyaux qui entourent les particules fluides. Le vecteur vitesse de chaque particule fluide est représenté en noir.
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Écoulement incompressible
Écoulement permanent
Écoulement incompressible : écoulement où la masse volumique \rho est uniforme et constante.
Écoulement permanent : écoulement où le vecteur vitesse \overrightarrow{v} est indépendant du temps, mais peut varier avec la position. On parle également d'écoulement stationnaire.
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Doc. 4 Conservation du débit
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3Dynamique des fluides incompressibles
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ARelation de Bernoulli
En l'absence de forces de frottement et dans l'hypothèse du fluide parfait, l'énergie mécanique d'une particule fluide est constante au cours de son déplacement. En prenant en compte son énergie cinétique, son énergie potentielle de pesanteur et l'énergie potentielle liée aux force de pression, Bernoulli a démontré, pour un écoulement permanent et incompressible :
\rho \cdot \dfrac{{v_{0}^{2}}}{2}+\rho \cdot g \cdot h_{0}+p_{0}=\rho \cdot \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+\rho \cdot g \cdot h_{1}+p_{1}
\rho : masse volumique du fluide (kg·m-3)
v_{0} et v_{1} : vitesses d'écoulement (m·s-1)
g : intensité de pesanteur (N·kg-1)
h_{0} et h_{1} : hauteurs des points de mesure (m)
p_{0} et p_{1} : pressions aux points de mesure (Pa)
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BEffet Venturi
Lorsqu'un fluide arrive dans une conduite qui se resserre ou lorsque
le tube de courant d'un écoulement change de taille, la loi de
Bernoulli permet de déterminer les propriétés de l'écoulement. On
suppose la conduite horizontale afin de négliger l'effet de la pesanteur.
D'après la conservation du débit volumique S_{0} · v_{0}=S_{1} · v_{1} et avec
la loi de Bernoulli :
\begin{array}{l} \rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2}+p_{0}=\rho \cdot \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+p_{1} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}-v_{1}^{2}}{2} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2} \cdot\left(1-\left(\dfrac{S_{0}}{S_{1}}\right)^{2}\right) \end{array}
\begin{array}{l} \rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2}+p_{0}=\rho \cdot \dfrac{v_{1}^{2}}{2}+p_{1} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}-v_{1}^{2}}{2} \\ p_{1}=p_{0}+\rho \cdot \dfrac{v_{0}^{2}}{2} \cdot\left(1-\left(\dfrac{S_{0}}{S_{1}}\right)^{2}\right) \end{array}
Pour une conduite horizontale, lorsque la section diminue, la vitesse augmente et la pression diminue. C'est l'effet Venturi.
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Retrouvez l'effet Venturi expliqué en
vidéo
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Tous les écoulements étudiés sont permanents,
incompressibles, sans tourbillons et sans frottements.
Ces écoulements sont les plus simples à étudier.
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Pour la plupart des exercices, il est nécessaire
d'utiliser la loi de Bernoulli et la conservation du débit
volumique.
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Doc. 5 Bernoulli et énergies
Le terme \rho \cdot \dfrac{v^{2}}{2} représente l'énergie
cinétique du fluide par unité de volume.
Le terme \rho \cdot g \cdot h représente l'énergie
potentielle de pesanteur par unité de
volume. La pression p est également
homogène à une énergie par unité de
volume.
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Doc. 6 Effet Venturi
Le résultat principal est surprenant, car on pourrait s'attendre à une augmentation de la pression puisque l'on appuie sur le fluide pour le faire rentrer dans un rétrécissement du tube.
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Doc. 7 Giovanni Battista Venturi
Venturi (1746-1822) est un physicien italien célèbre pour son travail sur la dynamique des fluides. Il a également étudié l'acoustique et l'optique.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
