Cours

Malgré la révolution copernicienne du XVI^e siècle, lors du passage du référentiel géocentrique au référentiel héliocentrique, le nouveau modèle s’avère insuffisant pour expliquer la trajectoire de la planète Mars. Afin d’expliquer son mouvement rétrograde, J. Kepler établit trois lois qu’il généralise aux autres planètes.

A

Loi des orbites : première loi de Kepler

Cette loi nécessite de rappeler ou d’introduire les termes suivants :

• le référentiel héliocentrique : référentiel associé à un repère spatial dont l’origine est le centre de masse du Soleil et dont les trois axes sont dirigés vers des étoiles lointaines ;
• l’orbite : trajectoire dessinée dans l’espace par le système étudié, assimilé à un point matériel sous l’effet de la gravitation ;
• ellipse : ensemble des points $\text{M}$ dont la somme des distances (${\text{F}}_1\text{M}$, ${\text{F}}_2\text{M}$) à deux points fixes (${\text{F}}_1$, ${\text{F}}_2$) est constante. Si ${\text{F}}_1$ et ${\text{F}}_2$ sont confondus en un point $\text{O}$, l’ellipse est alors un cercle.

Les orbites des planètes sont considérées être dans le plan écliptique, plan géométrique contenant l’orbite de la Terre autour du Soleil.

B

Loi des aires : deuxième loi de Kepler

Cette loi implique alors que la norme du vecteur vitesse d’une planète n’est pas constante au cours de sa révolution. Elle augmente ou diminue selon que la planète se rapproche ou s’éloigne du Soleil.

C

Loi des périodes : troisième loi de Kepler

Soit la relation :
$T^2=k\cdot a^3$
Cliquez ici pour découvrir une animation sur la 3^e loi de Kepler.

Doc. 1

Référentiel héliocentrique

Doc. 2

Propriétés d’une ellipse

Doc. 3

Loi des aires

Pas de malentendu

➜ Ne pas confondre la période de révolution avec la période de rotation (sur elle‑même) d’une planète.

➜ Par exemple, on estime, pour la Terre :

• période rotation : 24 h ;
• période de révolution : 365,25 j.

L’approximation de l’orbite par une trajectoire circulaire simplifie le modèle. Dans ce cas, les deux premières lois de Kepler indiquent que :

• l’orbite est un cercle dont le demi-grand axe correspond au rayon $r$. Les deux foyers sont confondus avec le centre du cercle ;
• la vitesse du satellite est constante durant sa révolution.

A

Position du problème

On considère un satellite $\text{S}$ de masse $m_{\mathrm{s}}$, en orbite autour de la Terre, notée $\text{T}$, de masse $M_{\text{T}}$. Tous deux sont considérés comme ponctuels et associés à leur centre de masse $\text{G}$ et $\text{O}$. Le référentiel est géocentrique, supposé galiléen.
Le satellite n’est alors soumis qu’à la force d’interaction gravitationnelle terrestre dont on rappelle l’expression vectorielle :

On peut exprimer cette force selon le vecteur $\overrightarrow{N}$ du repère de Frenet $(G,\overrightarrow{T},\overrightarrow{N})$ avec les propriétés associées :
$\overrightarrow{F_{\mathrm{T}/\mathrm{S}}}=-\overrightarrow{F_{\mathrm{S}/\mathrm{T}}}=G\cdot \frac{m_{\mathrm{S}}\cdot M_{\mathrm{T}}}{r^2}\cdot \overrightarrow{N}$

B

Vecteurs vitesse et accélération

Le référentiel d’étude géocentrique étant supposé galiléen, la deuxième loi de Newton peut s’appliquer au satellite :
$\overrightarrow{F_{\mathrm{T}/\mathrm{S}}}=m_{\mathrm{S}}\cdot \overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{a}=G\cdot \frac{M_T}{r^2}\cdot \overrightarrow{N}$
En utilisant l’expression de $a$ dans le repère de Frenet, on a :
$\overrightarrow{a}{\left(\begin{array}{c}\frac{\text{d}v}{\text{d}t}\\ \frac{v^2}{r}\end{array}\right)}_{(G,\overrightarrow{T},\overrightarrow{N})}$
On obtient par identification :
$\frac{v^2}{r}=G\cdot \frac{M_T}{r^2}\text{ et }\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=0$
On peut donc en déduire que la vitesse du satellite est constante, car $a_{\mathrm{T}}=0$ m•s^-2 et que l’intensité de la vitesse est égale à :

C

Expression de la troisième loi de Kepler

Dans le cas d’un mouvement circulaire de rayon $r$ et uniforme du satellite de période de révolution $T$ autour de la Terre, on a :
$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$
En identifiant les deux expressions vitesses, on obtient :
$\frac{2\pi \cdot r}{T}=\sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$
$\frac{4{\pi }^2\cdot r^2}{T^2}=\frac{G\cdot M_T}{r}$

Doc. 4

Représentation des vecteurs

Éviter les erreurs

➜ Attention à l’éventuel signe négatif dans l’expression de l’interaction gravitationnelle suivant l’orientation du vecteur unitaire de référence.

➜ Ne pas oublier de représenter graphiquement les forces à l’aide de vecteurs.

➜ Ne pas confondre valeur et expression vectorielle d’une force.

➜ Attention à ne pas confondre le rayon $r$ de l’orbite avec l’altitude $h$.

Doc. 5

Accélération $(\overrightarrow{\mathbf{N}},\overrightarrow{\mathbf{T}})$

Pas de malentendu

➜ Le vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ du satellite est toujours tangent à sa trajectoire.

➜ Le vecteur $\overrightarrow{v}$ n’est pas constant sur la trajectoire, car sa direction change durant la révolution. Mais son intensité v reste constante sur une orbite de rayon $r$ donnée.

➜ Comme le vecteur accélération $\overrightarrow{a}$ est orienté vers le centre de masse de l’objet attracteur, il est centripète et non centrifuge.

Doc. 6

Relation de proportionnalité

Pour des satellites en orbite autour du même astre central :

$\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}=\dots =\frac{T_{\mathrm{n}}^2}{r_{\mathrm{n}}^3}$

Retrouvez une explication de la force gravitationnelle en vidéo :

Matthieu Colombel, Laissemoitaider

Poids et force gravitationnelle en vidéo :

Matthieu Colombel, Laissemoitaider

De nombreux satellites artificiels mis en orbite autour de la Terre sont placés en orbite géostationnaire pour assurer diverses missions.

Déterminer l’altitude des satellites géostationnaires à l’aide de la 3^e loi de Kepler.

Corrigé :

Le rayon de l’orbite est égal à $r=R_{\mathrm{T}}+h$, d’où :
$r^3=G\cdot M_T\cdot \frac{T_s^2}{4{\pi }^2}$

$r=\sqrt[3]{G\cdot M_T\cdot \frac{T_s^2}{4{\pi }^2}}$

En remplaçant $r$ :
$h=\sqrt[3]{G\cdot M_T\cdot \frac{T_s^2}{4{\pi }^2}}-R_T$

AN : $h=\sqrt[3]{6,67\times 10^{-11}\times 5,97\times 10^{24}\times \frac{86140^2}{4\times {\pi }^2}}-6,37\times 10^6$

$h=3,58\times 10^7$ m

Un satellite en orbite géostationnaire évolue :

• suivant une orbite circulaire d’altitude environ égale à 36 000 km ;
• dans le plan équatorial terrestre ;
• en restant sur la même verticale passant par un point de la surface de la Terre.

• Constante de gravitation universelle : $G=6,67\times 10^{-11}$ m³·kg^-1·s^-2
• Rayon de la Terre : $R_{\text{T}}=6370$ km
• Masse de la Terre : $M_{\mathrm{T}}=5,97\times 10^{24}$ kg

Éviter les erreurs

➜ Attention à bien convertir les distances en mètre (m), les durées en seconde (s) et les masses en kilogramme (kg).

Doc. 7

Satellites MTG-S et MTG-I

► Illustration de satellites géostationnaires.