Malgré la révolution copernicienne du XVI^e siècle, lors du passage du référentiel géocentrique au référentiel héliocentrique, le nouveau modèle s'avère insuffisant pour expliquer la trajectoire de la planète Mars. Afin d'expliquer son mouvement rétrograde, J. Kepler établit trois lois qu'il généralise aux autres planètes.

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Doc. 1
Référentiel héliocentrique

Schéma: modèle héliocentrique du système solaire. La Terre tourne autour du Soleil, référencé par rapport à des étoiles.

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A
Loi des orbites : première loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d'une planète est décrite par une orbite elliptique dont le Soleil est l'un des foyers.

Cette loi nécessite de rappeler ou d'introduire les termes suivants :

le référentiel héliocentrique : référentiel associé à un repère spatial dont l'origine est le centre de masse du Soleil et dont les trois axes sont dirigés vers des étoiles lointaines ;
l'orbite : trajectoire dessinée dans l'espace par le système étudié, assimilé à un point matériel sous l'effet de la gravitation ;
ellipse : ensemble des points $M$ dont la somme des distances ( $F_{1} M$ , $F_{2} M$ ) à deux points fixes ( $F_{1}$ , $F_{2}$ ) est constante. Si $F_{1}$ et $F_{2}$ sont confondus en un point $O$ , l'ellipse est alors un cercle.

Les orbites des planètes sont considérées être dans le plan écliptique, plan géométrique contenant l'orbite de la Terre autour du Soleil.

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Doc. 2
Propriétés d'une ellipse

Diagramme illustrant les propriétés d'une ellipse : un point M sur l'ellipse, les foyers F1 et F2, et la somme des distances F1M + F2M constante.

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Doc. 3
Loi des aires

Illustration graphique de la loi des aires de Kepler : une planète bleue orbite autour d'une étoile jaune sur une ellipse rouge. Comparaison de deux aires balayées.

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B
Loi des aires : deuxième loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, le segment reliant le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales

(A_{1} = A_{2})

au cours de durées égales

(Δ t_{1} = Δ t_{2})

Cette loi implique alors que la norme du vecteur vitesse d'une planète n'est pas constante au cours de sa révolution. Elle augmente ou diminue selon que la planète se rapproche ou s'éloigne du Soleil.

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Vocabulaire

Péri ou apo‑astre

Péri ou apo‑astre : point de l'orbite d'un objet céleste où la distance est minimale/maximale entre deux corps.

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C
Loi des périodes : troisième loi de Kepler

Le carré de la durée de la période d'une révolution

T

, d'une planète est proportionnel au cube du demi‑grand axe de l'ellipse

a

(doc. 2).

Soit la relation :

T^{2} = k \cdot a^{3}

T

: période de révolution de l'arbre en orbite (s)

k

: constante dépendant de l'astre attracteur (s²·m^-3)

a

: demi-grand axe (m)

Cliquez
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pour découvrir une animation sur la 3^e loi de Kepler.

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Pas de malentendu

Ne pas confondre la période de révolution avec la période de rotation (sur elle‑même) d'une planète.
Par exemple, on estime, pour la Terre :

période rotation : 24 h ;
période de révolution : 365,25 j.

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2
Mouvement d'un satellite

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L'approximation de l'orbite par une trajectoire circulaire simplifie le modèle. Dans ce cas, les deux premières lois de Kepler indiquent que :

l'orbite est un cercle dont le demi-grand axe correspond au rayon $r$ . Les deux foyers sont confondus avec le centre du cercle ;
la vitesse du satellite est constante durant sa révolution.

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Doc. 4
Représentation des vecteurs

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A
Position du problème

On considère un satellite

S

de masse

m_{s}

, en orbite autour de la Terre, notée

T

, de masse

M_{T}

. Tous deux sont considérés comme ponctuels et associés à leur centre de masse

G

O

. Le référentiel est géocentrique, supposé galiléen.
Le satellite n'est alors soumis qu'à la force d'interaction gravitationnelle terrestre dont on rappelle l'expression vectorielle :

F_{T / s} = - G \cdot \frac{m _{S} \cdot M _{T}}{r ^{2}} \cdot u

F_{T / s}

: force d'interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite (N)

G

: constante de gravitation universelle égale à

G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}

N·m²·kg^-2

m_{S}

M_{T}

: masse du satellite et de la Terre (kg)

r

: distance entre les centres

G

O

(m)

u

: vecteur unitaire dirigé de la Terre vers le satellite

On peut exprimer cette force selon le vecteur

N

du repère de Frenet

(G, T, N)

avec les propriétés associées :

F_{T / S} = - F_{S / T} = G \cdot \frac{m _{S} \cdot M _{T}}{r ^{2}} \cdot N

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Éviter les erreurs

Attention à l'éventuel signe négatif dans l'expression de l'interaction gravitationnelle suivant l'orientation du vecteur unitaire de référence.
Ne pas oublier de représenter graphiquement les forces à l'aide de vecteurs.
Ne pas confondre valeur et expression vectorielle d'une force.
Attention à ne pas confondre le rayon $r$ de l'orbite avec l'altitude $h$ .

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Doc. 5
Accélération $(N, T)$

Chapitre 13 - Cours 2 Mouvement d'un satellite - Doc 5 - Accélération

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B
Vecteurs vitesse et accélération

Le référentiel d'étude géocentrique étant supposé galiléen, la deuxième loi de Newton peut s'appliquer au satellite :

F_{T / S} = m_{S} \cdot a

a = G \cdot \frac{M _{T}}{r ^{2}} \cdot N

En utilisant l'expression de

a

dans le repère de Frenet, on a :

a \frac{d v}{d t} \frac{v ^{2}}{r}_{(G, T, N)}

On obtient par identification :

\frac{v ^{2}}{r} = G \cdot \frac{M _{T}}{r ^{2}} et \frac{d v}{d t} = 0

On peut donc en déduire que la vitesse du satellite est constante, car

a_{T} = 0

m•s^-2 et que l'intensité de la vitesse est égale à :

v = \frac{G \cdot M _{T}}{r}

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Pas de malentendu

Le vecteur vitesse $v$ du satellite est toujours tangent à sa trajectoire.
Le vecteur $v$ n'est pas constant sur la trajectoire, car sa direction change durant la révolution. Mais son intensité v reste constante sur une orbite de rayon $r$ donnée.
Comme le vecteur accélération $a$ est orienté vers le centre de masse de l'objet attracteur, il est centripète et non centrifuge.

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C
Expression de la troisième loi de Kepler

Dans le cas d'un mouvement circulaire de rayon

r

et uniforme du satellite de période de révolution

T

autour de la Terre, on a :

v = \frac{2 π \cdot r}{T}

En identifiant les deux expressions vitesses, on obtient :

\frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{G \cdot M _{T}}{r}

\frac{4 π ^{2} \cdot r ^{2}}{T ^{2}} = \frac{G \cdot M _{T}}{r}

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G \cdot M _{T}}

On retrouve bien la troisième loi de Kepler tel que

T^{2}

est proportionnelle à

r^{3}

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Doc. 6
Relation de proportionnalité

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Pour des satellites en orbite autour du même astre central :

\frac{T _{1}^{2}}{r _{1}^{3}} = \frac{T _{2}^{2}}{r _{2}^{3}} = \dots = \frac{T _{n}^{2}}{r _{n}^{3}}

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Supplément numérique

Retrouvez une explication de la force gravitationnelle en vidéo :

Poids et force gravitationnelle en vidéo :

Matthieu Colombel,

Laissemoitaider

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3
Satellite géostationnaire

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De nombreux satellites artificiels mis en orbite autour de la Terre sont placés en orbite géostationnaire pour assurer diverses missions.

Le satellite géostationnaire semble immobile pour un observateur terrestre. En effet, sa période de révolution

T_{s}

est égale à la période de rotation de la Terre, soit 23 h 56 min 20 s (jour sidéral), soit 86 140 s.

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Vocabulaire

Jour sidéral

Jour solaire moyen

Jour sidéral : durée nécessaire à la Terre pour réaliser une rotation complète sur elle‑même.

Jour solaire moyen : durée qui sépare deux passages successifs du Soleil à la verticale d'un même lieu, soit 24 h = 86 400 s.

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Application

Déterminer l'altitude des satellites géostationnaires à l'aide de la 3^e loi de Kepler.

Corrigé

Le rayon de l'orbite est égal à

r = R_{T} + h

, d'où :

r^{3} = G \cdot M_{T} \cdot \frac{T _{s}^{2}}{4 π ^{2}}

r = 3 G \cdot M_{T} \cdot \frac{T _{s}^{2}}{4 π ^{2}}

En remplaçant

r

h = 3 G \cdot M_{T} \cdot \frac{T _{s}^{2}}{4 π ^{2}} - R_{T}

AN :

h = 3 6, 67 \times 1 0^{- 11} \times 5, 97 \times 1 0^{24} \times \frac{86 14 0 ^{2}}{4 \times π ^{2}} - 6, 37 \times 1 0^{6}

h = 3, 58 \times 1 0^{7}

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Un satellite en orbite géostationnaire évolue :

suivant une orbite circulaire d'altitude environ égale à 36 000 km ;
dans le plan équatorial terrestre ;
en restant sur la même verticale passant par un point de la surface de la Terre.

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Données

Constante de gravitation universelle : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ m³·kg^-1·s^-2
Rayon de la Terre : $R_{T} = 6370$ km
Masse de la Terre : $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24}$ kg

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Éviter les erreurs

Attention à bien convertir les distances en mètre (m), les durées en seconde (s) et les masses en kilogramme (kg).

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Doc. 7
Satellites MTG-S et MTG-I

Illustration des satellites MTG-S et MTG-I en orbite autour de la Terre.

S. Corvaja/European Space Agency/SPL

Illustration de satellites géostationnaires.

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Préparation aux épreuves du Bac

Ch. 1Modélisation des transformations acide-base

Ch. 2Analyse physique d'un système chimique

Ch. 3Méthode de suivi d'un titrage

Ch. 4Évolution temporelle d'une transformation chimique

Ch. 5Évolution temporelle d'une transformation nucléaire

BACThème 1

Ch. 6Évolution spontanée d'un système chimique

Ch. 7Équilibres acide-base

Ch. 8Transformations chimiques forcées

Ch. 9Structure et optimisation en chimie organique

Ch. 10Stratégies de synthèse

BACThème 1 bis

Ch. 11Description d'un mouvement

Ch. 12Mouvement dans un champ uniforme

Ch. 13Mouvement dans un champ de gravitation

Ch. 14Modélisation de l'écoulement d'un fluide

BACThème 2

Ch. 15Étude d’un système thermodynamique

Ch. 16Bilans d'énergie thermique

BACThème 3

Ch. 17Propagation des ondes

Ch. 18Interférences et diffraction

Ch. 19Lunette astronomique

Ch. 20Effet photoélectrique et enjeux énergétiques

Ch. 21Évolutions temporelles dans un circuit capacitif

BACThème 4

Ch. 22Méthode

Mouvement dans un champ de gravitation

1Lois de Kepler

Doc. 1Référentiel héliocentrique

ALoi des orbites : première loi de Kepler

Doc. 2Propriétés d'une ellipse

Doc. 3Loi des aires

BLoi des aires : deuxième loi de Kepler

Vocabulaire

Péri ou apo‑astre

CLoi des périodes : troisième loi de Kepler

Pas de malentendu

2Mouvement d'un satellite

Doc. 4Représentation des vecteurs

APosition du problème

Éviter les erreurs

Doc. 5Accélération (N,T)

BVecteurs vitesse et accélération

Pas de malentendu

CExpression de la troisième loi de Kepler

Doc. 6Relation de proportionnalité

Supplément numérique

3Satellite géostationnaire

Vocabulaire

Jour sidéral

Jour solaire moyen

Données

Éviter les erreurs

Doc. 7Satellites MTG-S et MTG-I

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Ch. 1
Modélisation des transformations acide-base

Ch. 2
Analyse physique d'un système chimique

Ch. 3
Méthode de suivi d'un titrage

Ch. 4
Évolution temporelle d'une transformation chimique

Ch. 5
Évolution temporelle d'une transformation nucléaire

BAC
Thème 1

Ch. 6
Évolution spontanée d'un système chimique

Ch. 7
Équilibres acide-base

Ch. 8
Transformations chimiques forcées

Ch. 9
Structure et optimisation en chimie organique

Ch. 10
Stratégies de synthèse

BAC
Thème 1 bis

Ch. 11
Description d'un mouvement

Ch. 12
Mouvement dans un champ uniforme

Ch. 13
Mouvement dans un champ de gravitation

Ch. 14
Modélisation de l'écoulement d'un fluide

BAC
Thème 2

Ch. 15
Étude d’un système thermodynamique

Ch. 16
Bilans d'énergie thermique

BAC
Thème 3

Ch. 17
Propagation des ondes

Ch. 18
Interférences et diffraction

Ch. 19
Lunette astronomique

Ch. 20
Effet photoélectrique et enjeux énergétiques

Ch. 21
Évolutions temporelles dans un circuit capacitif

BAC
Thème 4

Ch. 22
Méthode

1
Lois de Kepler

Doc. 1
Référentiel héliocentrique

A
Loi des orbites : première loi de Kepler

Doc. 2
Propriétés d'une ellipse

Doc. 3
Loi des aires

B
Loi des aires : deuxième loi de Kepler

C
Loi des périodes : troisième loi de Kepler

2
Mouvement d'un satellite

Doc. 4
Représentation des vecteurs

A
Position du problème

Doc. 5
Accélération $(N, T)$

B
Vecteurs vitesse et accélération

C
Expression de la troisième loi de Kepler

Doc. 6
Relation de proportionnalité

3
Satellite géostationnaire

Doc. 7
Satellites MTG-S et MTG-I