Malgré la révolution copernicienne du XVI^e siècle, lors du passage du référentiel géocentrique au référentiel héliocentrique, le nouveau modèle s'avère insuffisant pour expliquer la trajectoire de la planète Mars. Afin d'expliquer son mouvement rétrograde, J. Kepler établit trois lois qu'il généralise aux autres planètes.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Doc. 1
Référentiel héliocentrique

Schéma: modèle héliocentrique du système solaire. La Terre tourne autour du Soleil, référencé par rapport à des étoiles.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Loi des orbites : première loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d'une planète est décrite par une orbite elliptique dont le Soleil est l'un des foyers.

Cette loi nécessite de rappeler ou d'introduire les termes suivants :

le référentiel héliocentrique : référentiel associé à un repère spatial dont l'origine est le centre de masse du Soleil et dont les trois axes sont dirigés vers des étoiles lointaines ;
l'orbite : trajectoire dessinée dans l'espace par le système étudié, assimilé à un point matériel sous l'effet de la gravitation ;
ellipse : ensemble des points \text{M} dont la somme des distances (\text{F}_1\text{M}, \text{F}_2\text{M}) à deux points fixes (\text{F}_1, \text{F}_2) est constante. Si \text{F}_1 et \text{F}_2 sont confondus en un point \text{O}, l'ellipse est alors un cercle.

Les orbites des planètes sont considérées être dans le plan écliptique, plan géométrique contenant l'orbite de la Terre autour du Soleil.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Doc. 2
Propriétés d'une ellipse

Diagramme illustrant les propriétés d'une ellipse : un point M sur l'ellipse, les foyers F1 et F2, et la somme des distances F1M + F2M constante.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Doc. 3
Loi des aires

Illustration graphique de la loi des aires de Kepler : une planète bleue orbite autour d'une étoile jaune sur une ellipse rouge. Comparaison de deux aires balayées.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Loi des aires : deuxième loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, le segment reliant le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales \left(A_{1}=A_{2}\right) au cours de durées égales \left(\Delta t_{1}=\Delta t_{2}\right).

Cette loi implique alors que la norme du vecteur vitesse d'une planète n'est pas constante au cours de sa révolution. Elle augmente ou diminue selon que la planète se rapproche ou s'éloigne du Soleil.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Vocabulaire

Péri ou apo‑astre

Péri ou apo‑astre : point de l'orbite d'un objet céleste où la distance est minimale/maximale entre deux corps.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

C
Loi des périodes : troisième loi de Kepler

Le carré de la durée de la période d'une révolution T, d'une planète est proportionnel au cube du demi‑grand axe de l'ellipse a (doc. 2).

Soit la relation :
T^{2}=k \cdot a^{3}

T : période de révolution de l'arbre en orbite (s)
k : constante dépendant de l'astre attracteur (s²·m^-3)
a : demi-grand axe (m)

Cliquez
ici
pour découvrir une animation sur la 3^e loi de Kepler.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Pas de malentendu

Ne pas confondre la période de révolution avec la période de rotation (sur elle‑même) d'une planète.
Par exemple, on estime, pour la Terre :

période rotation : 24 h ;
période de révolution : 365,25 j.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

2
Mouvement d'un satellite

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

L'approximation de l'orbite par une trajectoire circulaire simplifie le modèle. Dans ce cas, les deux premières lois de Kepler indiquent que :

l'orbite est un cercle dont le demi-grand axe correspond au rayon r. Les deux foyers sont confondus avec le centre du cercle ;
la vitesse du satellite est constante durant sa révolution.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Doc. 4
Représentation des vecteurs

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Position du problème

On considère un satellite \text{S} de masse m_{\mathrm{s}}, en orbite autour de la Terre, notée \text{T}, de masse M_\text{T}. Tous deux sont considérés comme ponctuels et associés à leur centre de masse \text{G} et \text{O}. Le référentiel est géocentrique, supposé galiléen.
Le satellite n'est alors soumis qu'à la force d'interaction gravitationnelle terrestre dont on rappelle l'expression vectorielle :

\overrightarrow{F_{\mathrm{T} / \mathrm{s}}}=-G \cdot \frac{m_{\mathrm{S}} \cdot M_{\mathrm{T}}}{r^{2}} \cdot \vec{u}

\overrightarrow{F_{\mathrm{T} / \mathrm{s}}} : force d'interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite (N)
G : constante de gravitation universelle égale à G=6{,}67 \times 10^{-11} N·m²·kg^-2
m_\text{S} et M_\text{T} : masse du satellite et de la Terre (kg)
r : distance entre les centres \text{G} et \text{O} (m)
\overrightarrow{u} : vecteur unitaire dirigé de la Terre vers le satellite

On peut exprimer cette force selon le vecteur \vec{N} du repère de Frenet \nobreakspace{(G, \vec{T}, \vec{N})} avec les propriétés associées :

\overrightarrow{F_{\mathrm{T} / \mathrm{S}}}=-\overrightarrow{F_{\mathrm{S} / \mathrm{T}}}=G \cdot \frac{m_{\mathrm{S}} \cdot M_{\mathrm{T}}}{r^{2}} \cdot \vec{N}

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Éviter les erreurs

Attention à l'éventuel signe négatif dans l'expression de l'interaction gravitationnelle suivant l'orientation du vecteur unitaire de référence.
Ne pas oublier de représenter graphiquement les forces à l'aide de vecteurs.
Ne pas confondre valeur et expression vectorielle d'une force.
Attention à ne pas confondre le rayon r de l'orbite avec l'altitude h.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Doc. 5
Accélération \boldsymbol{(\vec{N}, \vec{T})}

Chapitre 13 - Cours 2 Mouvement d'un satellite - Doc 5 - Accélération

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Vecteurs vitesse et accélération

Le référentiel d'étude géocentrique étant supposé galiléen, la deuxième loi de Newton peut s'appliquer au satellite :
\overrightarrow{F_{\mathrm{T} / \mathrm{S}}}=m_{\mathrm{S}} \cdot \vec{a}
\vec{a}=G \cdot \frac{M_{T}}{r^{2}} \cdot \vec{N}
En utilisant l'expression de a dans le repère de Frenet, on a :
\vec{a}\left(\begin{array}{c} \frac{\text{d} v}{\text{d} t} \\ \frac{v^{2}}{r} \end{array}\right)_{(G, \vec{T}, \vec{N})}
On obtient par identification :
\frac{v^{2}}{r}=G \cdot \frac{M_{T}}{r^{2}} \text { et } \frac{\text{d} v}{\text{d} t}=0
On peut donc en déduire que la vitesse du satellite est constante, car a_{\mathrm{T}}=0 m•s^-2 et que l'intensité de la vitesse est égale à :

v=\sqrt{\dfrac{G \cdot M_{T}}{r}}

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Pas de malentendu

Le vecteur vitesse \vec{v} du satellite est toujours tangent à sa trajectoire.
Le vecteur \vec{v} n'est pas constant sur la trajectoire, car sa direction change durant la révolution. Mais son intensité v reste constante sur une orbite de rayon r donnée.
Comme le vecteur accélération \vec{a} est orienté vers le centre de masse de l'objet attracteur, il est centripète et non centrifuge.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

C
Expression de la troisième loi de Kepler

Dans le cas d'un mouvement circulaire de rayon r et uniforme du satellite de période de révolution T autour de la Terre, on a :

v=\frac{2 \pi \cdot r}{T}

En identifiant les deux expressions vitesses, on obtient :
\frac{2 \pi \cdot r}{T}=\sqrt{\frac{G \cdot M_{T}}{r}}
\frac{4 \pi^{2} \cdot r^{2}}{T^{2}}=\frac{G \cdot M_{T}}{r}

\frac{T^{2}}{r^{3}}=\frac{4 \pi^{2}}{G \cdot M_{\mathrm{T}}}

On retrouve bien la troisième loi de Kepler tel que T^2 est proportionnelle à r^3.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Doc. 6
Relation de proportionnalité

Pour des satellites en orbite autour du même astre central :

\frac{T_{1}^{2}}{r_{1}^{3}}=\frac{T_{2}^{2}}{r_{2}^{3}}=\ldots=\frac{T_{\mathrm{n}}^{2}}{r_{\mathrm{n}}^{3}}

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Supplément numérique

Retrouvez une explication de la force gravitationnelle en vidéo :

Poids et force gravitationnelle en vidéo :

Matthieu Colombel,

Laissemoitaider

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

3
Satellite géostationnaire

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

De nombreux satellites artificiels mis en orbite autour de la Terre sont placés en orbite géostationnaire pour assurer diverses missions.

Le satellite géostationnaire semble immobile pour un observateur terrestre. En effet, sa période de révolution T_\text{s} est égale à la période de rotation de la Terre, soit 23 h 56 min 20 s (jour sidéral), soit 86 140 s.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Vocabulaire

Jour sidéral

Jour solaire moyen

Jour sidéral : durée nécessaire à la Terre pour réaliser une rotation complète sur elle‑même.

Jour solaire moyen : durée qui sépare deux passages successifs du Soleil à la verticale d'un même lieu, soit 24 h = 86 400 s.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application

Déterminer l'altitude des satellites géostationnaires à l'aide de la 3^e loi de Kepler.

Corrigé

Le rayon de l'orbite est égal à r=R_{\mathrm{T}}+h, d'où :
r^{3}=G \cdot M_{T} \cdot \frac{T_{s}^{2}}{4 \pi^{2}}

r=\sqrt[3]{G \cdot M_{T} \cdot \frac{T_{s}^{2}}{4 \pi^{2}}}

En remplaçant r :
h=\sqrt[3]{G \cdot M_{T} \cdot \frac{T_{s}^{2}}{4 \pi^{2}}}-R_{T}

AN : h=\sqrt[3]{6,67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} \times \dfrac{86\ 140^{2}}{4 \times \pi^{2}}}-6{,}37 \times 10^{6}

h=3{,}58 \times 10^{7} m

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Un satellite en orbite géostationnaire évolue :

suivant une orbite circulaire d'altitude environ égale à 36 000 km ;
dans le plan équatorial terrestre ;
en restant sur la même verticale passant par un point de la surface de la Terre.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Données

Constante de gravitation universelle : G=6{,}67 \times 10^{-11} m³·kg^-1·s^-2
Rayon de la Terre : R_{\text{T}}=6\, 370 km
Masse de la Terre : M_{\mathrm{T}}=5{,}97 \times 10^{24} kg

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Éviter les erreurs

Attention à bien convertir les distances en mètre (m), les durées en seconde (s) et les masses en kilogramme (kg).

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Doc. 7
Satellites MTG-S et MTG-I

Illustration des satellites MTG-S et MTG-I en orbite autour de la Terre.

Illustration de satellites géostationnaires.

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Utilisation des cookies

Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.

Physique-Chimie Terminale Spécialité

Mouvement dans un champ de gravitation

1Lois de Kepler

Doc. 1Référentiel héliocentrique

ALoi des orbites : première loi de Kepler

Doc. 2Propriétés d'une ellipse

Doc. 3Loi des aires

BLoi des aires : deuxième loi de Kepler

Vocabulaire

Péri ou apo‑astre

CLoi des périodes : troisième loi de Kepler

Pas de malentendu

2Mouvement d'un satellite

Doc. 4Représentation des vecteurs

APosition du problème

Éviter les erreurs

Doc. 5Accélération \boldsymbol{(\vec{N}, \vec{T})}

BVecteurs vitesse et accélération

Pas de malentendu

CExpression de la troisième loi de Kepler

Doc. 6Relation de proportionnalité

Supplément numérique

3Satellite géostationnaire

Vocabulaire

Jour sidéral

Jour solaire moyen

Données

Éviter les erreurs

Doc. 7Satellites MTG-S et MTG-I

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

1
Lois de Kepler

Doc. 1
Référentiel héliocentrique

A
Loi des orbites : première loi de Kepler

Doc. 2
Propriétés d'une ellipse

Doc. 3
Loi des aires

B
Loi des aires : deuxième loi de Kepler

C
Loi des périodes : troisième loi de Kepler

2
Mouvement d'un satellite

Doc. 4
Représentation des vecteurs

A
Position du problème

Doc. 5
Accélération \boldsymbol{(\vec{N}, \vec{T})}

B
Vecteurs vitesse et accélération

C
Expression de la troisième loi de Kepler

Doc. 6
Relation de proportionnalité

3
Satellite géostationnaire

Doc. 7
Satellites MTG-S et MTG-I