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P.347-349

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Chapitre 13


Cours




1
Lois de Kepler
(⇧)


Malgré la révolution copernicienne du XVIe siècle, lors du passage du référentiel géocentrique au référentiel héliocentrique, le nouveau modèle s’avère insuffisant pour expliquer la trajectoire de la planète Mars. Afin d’expliquer son mouvement rétrograde, J. Kepler établit trois lois qu’il généralise aux autres planètes.

A
Loi des orbites : première loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d’une planète est décrite par une orbite elliptique dont le Soleil est l’un des foyers.
Cette loi nécessite de rappeler ou d’introduire les termes suivants :
  • le référentiel héliocentrique : référentiel associé à un repère spatial dont l’origine est le centre de masse du Soleil et dont les trois axes sont dirigés vers des étoiles lointaines ;
  • l’orbite : trajectoire dessinée dans l’espace par le système étudié, assimilé à un point matériel sous l’effet de la gravitation ;
  • ellipse : ensemble des points M\text{M} dont la somme des distances (F1M\text{F}_1\text{M}, F2M\text{F}_2\text{M}) à deux points fixes (F1\text{F}_1, F2\text{F}_2) est constante. Si F1\text{F}_1 et F2\text{F}_2 sont confondus en un point O\text{O}, l’ellipse est alors un cercle.

Les orbites des planètes sont considérées être dans le plan écliptique, plan géométrique contenant l’orbite de la Terre autour du Soleil.

B
Loi des aires : deuxième loi de Kepler

Dans le référentiel héliocentrique, le segment reliant le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales (A1=A2)\left(A_{1}=A_{2}\right) au cours de durées égales (Δt1=Δt2)\left(\Delta t_{1}=\Delta t_{2}\right).

Cette loi implique alors que la norme du vecteur vitesse d’une planète n’est pas constante au cours de sa révolution. Elle augmente ou diminue selon que la planète se rapproche ou s’éloigne du Soleil.

C
Loi des périodes : troisième loi de Kepler

Le carré de la durée de la période d’une révolution TT, d’une planète est proportionnel au cube du demi‑grand axe de l’ellipse aa (doc. 2).

Soit la relation :
T2=ka3T^{2}=k \cdot a^{3}
TT : période de révolution de l’arbre en orbite (s)
kk : constante dépendant de l’astre attracteur (s2·m-3)
aa : demi-grand axe (m)

Cliquez ici pour découvrir une animation sur la 3e loi de Kepler.

Doc. 1
Référentiel héliocentrique

Chapitre 13 - Cours - Doc 1 - Référentiel héliocentrique

Doc. 2
Propriétés d’une ellipse

Chapitre 13 - Cours - Doc 2 - Propriétés d’une ellipse

Doc. 3
Loi des aires

Chapitre 13 - Cours - Doc 3 - Loi des aires

Vocabulaire


Péri ou apo‑astre



Péri ou apo‑astre : point de l’orbite d’un objet céleste où la distance est minimale/maximale entre deux corps.

Pas de malentendu

Ne pas confondre la période de révolution avec la période de rotation (sur elle‑même) d’une planète.

Par exemple, on estime, pour la Terre :
  • période rotation : 24 h ;
  • période de révolution : 365,25 j.

2
Mouvement d’un satellite
(⇧)


L’approximation de l’orbite par une trajectoire circulaire simplifie le modèle. Dans ce cas, les deux premières lois de Kepler indiquent que :
  • l’orbite est un cercle dont le demi-grand axe correspond au rayon rr. Les deux foyers sont confondus avec le centre du cercle ;
  • la vitesse du satellite est constante durant sa révolution.

A
Position du problème

On considère un satellite S\text{S} de masse msm_{\mathrm{s}}, en orbite autour de la Terre, notée T\text{T}, de masse MTM_\text{T}. Tous deux sont considérés comme ponctuels et associés à leur centre de masse G\text{G} et O\text{O}. Le référentiel est géocentrique, supposé galiléen.
Le satellite n’est alors soumis qu’à la force d’interaction gravitationnelle terrestre dont on rappelle l’expression vectorielle :

FT/s=GmSMTr2u\overrightarrow{F_{\mathrm{T} / \mathrm{s}}}=-G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{S}} \cdot M_{\mathrm{T}}}{r^{2}} \cdot \overrightarrow{u}
FT/s\overrightarrow{F_{\mathrm{T} / \mathrm{s}}} : force d’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite (N)
GG : constante de gravitation universelle égale à G=6,67×1011G=6{,}67 \times 10^{-11} N·m2·kg-2
mSm_\text{S} et MTM_\text{T} : masse du satellite et de la Terre (kg)
rr : distance entre les centres G\text{G} et O\text{O} (m)
u\overrightarrow{u} : vecteur unitaire dirigé de la Terre vers le satellite
On peut exprimer cette force selon le vecteur N\overrightarrow{N} du repère de Frenet  (G,N,T)\nobreakspace{(G, \overrightarrow{N}, \overrightarrow{T})} avec les propriétés associées :
FT/S=FS/T=GmSMTr2N\overrightarrow{F_{\mathrm{T} / \mathrm{S}}}=-\overrightarrow{F_{\mathrm{S} / \mathrm{T}}}=G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{S}} \cdot M_{\mathrm{T}}}{r^{2}} \cdot \overrightarrow{N}

B
Vecteurs vitesse et accélération

Le référentiel d’étude géocentrique étant supposé galiléen, la deuxième loi de Newton peut s’appliquer au satellite :
FT/S=mSa\overrightarrow{F_{\mathrm{T} / \mathrm{S}}}=m_{\mathrm{S}} \cdot \overrightarrow{a}
a=GMTr2N\overrightarrow{a}=G \cdot \dfrac{M_{T}}{r^{2}} \cdot \overrightarrow{N}
En utilisant l’expression de aa dans le repère de Frenet, on a :
a(v2rdvdt)(G,N,T)\overrightarrow{a}\left(\begin{array}{c} \dfrac{v^{2}}{r} \\ \dfrac{\text{d} v}{\text{d} t} \end{array}\right)_{(G, \overrightarrow{N}, \overrightarrow{T})}
On obtient par identification :
v2r=GMTr2 et dvdt=0\dfrac{v^{2}}{r}=G \cdot \dfrac{M_{T}}{r^{2}} \text { et } \dfrac{\text{d} v}{\text{d} t}=0
On peut donc en déduire que la vitesse du satellite est constante, car aT=0a_{\mathrm{T}}=0 m•s-2 et que l’intensité de la vitesse est égale à :

v=GMTrv=\sqrt{\dfrac{G \cdot M_{T}}{r}}

C
Expression de la troisième loi de Kepler

Dans le cas d’un mouvement circulaire de rayon rr et uniforme du satellite de période de révolution TT autour de la Terre, on a :
v=2πrTv=\dfrac{2 \pi \cdot r}{T}

En identifiant les deux expressions vitesses, on obtient :
2πrT=GMTr\dfrac{2 \pi \cdot r}{T}=\sqrt{\dfrac{G \cdot M_{T}}{r}}
4π2r2T2=GMTr\dfrac{4 \pi^{2} \cdot r^{2}}{T^{2}}=\dfrac{G \cdot M_{T}}{r}

T2r3=4π2GMT\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4 \pi^{2}}{G \cdot M_{\mathrm{T}}}

On retrouve bien la troisième loi de Kepler tel que T2T^2 est proportionnelle à r3r^3.

Doc. 4
Représentation des vecteurs

Chapitre 13 - Cours 2 Mouvement d'un satellite - Doc 4 - Représentation des vecteurs

Éviter les erreurs

Attention à l’éventuel signe négatif dans l’expression de l’interaction gravitationnelle suivant l’orientation du vecteur unitaire de référence.

Ne pas oublier de représenter graphiquement les forces à l’aide de vecteurs.

Ne pas confondre valeur et expression vectorielle d’une force.

Attention à ne pas confondre le rayon rr de l’orbite avec l’altitude hh.

Doc. 5
Accélération (N,T)\boldsymbol{(\overrightarrow{N}, \overrightarrow{T})}

Chapitre 13 - Cours 2 Mouvement d'un satellite - Doc 5 - Accélération

Pas de malentendu

Le vecteur vitesse v\overrightarrow{v} du satellite est toujours tangent à sa trajectoire.

Le vecteur v\overrightarrow{v} n’est pas constant sur la trajectoire, car sa direction change durant la révolution. Mais son intensité v reste constante sur une orbite de rayon rr donnée.

Comme le vecteur accélération a\overrightarrow{a} est orienté vers le centre de masse de l’objet attracteur, il est centripète et non centrifuge.

Doc. 6
Relation de proportionnalité

Chapitre 13 - Cours 2 Mouvement d'un satellite - Doc 6 - Relation de proportionnalité

Pour des satellites en orbite autour du même astre central :

T12r13=T22r23==Tn2rn3\dfrac{T_{1}^{2}}{r_{1}^{3}}=\dfrac{T_{2}^{2}}{r_{2}^{3}}=\ldots=\dfrac{T_{\mathrm{n}}^{2}}{r_{\mathrm{n}}^{3}}

Supplément numérique

Retrouvez une explication de la force gravitationnelle en vidéo :

Matthieu Colombel, Laissemoitaider


Poids et force gravitationnelle en vidéo :

Matthieu Colombel, Laissemoitaider

Matthieu Colombel, Laissemoitaider

3
Satellite géostationnaire
(⇧)


De nombreux satellites artificiels mis en orbite autour de la Terre sont placés en orbite géostationnaire pour assurer diverses missions.

Le satellite géostationnaire semble immobile pour un observateur terrestre. En effet, sa période de révolution TsT_\text{s} est égale à la période de rotation de la Terre, soit 23 h 56 min 20 s (jour sidéral), soit 86 140 s.

Application

Déterminer l’altitude des satellites géostationnaires à l’aide de la 3e loi de Kepler.

Corrigé :

Le rayon de l’orbite est égal à r=RT+hr=R_{\mathrm{T}}+h, d’où :
r3=GMTTs24π2r^{3}=G \cdot M_{T} \cdot \dfrac{T_{s}^{2}}{4 \pi^{2}}

r=GMTTs24π23r=\sqrt[3]{G \cdot M_{T} \cdot \dfrac{T_{s}^{2}}{4 \pi^{2}}}

En remplaçant rr :
h=GMTTs24π23RTh=\sqrt[3]{G \cdot M_{T} \cdot \dfrac{T_{s}^{2}}{4 \pi^{2}}}-R_{T}

AN : h=6,67×1011×5,97×1024×86 14024×π236,37×106h=\sqrt[3]{6,67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} \times \dfrac{86\ 140^{2}}{4 \times \pi^{2}}}-6{,}37 \times 10^{6}

h=3,58×107h=3{,}58 \times 10^{7} m

Un satellite en orbite géostationnaire évolue :
  • suivant une orbite circulaire d’altitude environ égale à 36 000 km ;
  • dans le plan équatorial terrestre ;
  • en restant sur la même verticale passant par un point de la surface de la Terre.

Vocabulaire


Jour sidéral

Jour solaire moyen



Jour sidéral : durée nécessaire à la Terre pour réaliser une rotation complète sur elle‑même.

Jour solaire moyen : durée qui sépare deux passages successifs du Soleil à la verticale d’un même lieu, soit 24 h = 86 400 s.

Données

  • Constante de gravitation universelle : G=6,67×1011G=6{,}67 \times 10^{-11} m3·kg-1·s-2
  • Rayon de la Terre : RT=6370R_{\text{T}}=6\, 370 km
  • Masse de la Terre : MT=5,97×1024M_{\mathrm{T}}=5{,}97 \times 10^{24} kg

Éviter les erreurs

Attention à bien convertir les distances en mètre (m), les durées en seconde (s) et les masses en kilogramme (kg).

Doc. 7
Satellites MTG-S et MTG-I

Chapitre 13 - Cours 3 Mouvement d'un satellite - Doc 7 - Satellites MTG-S et MTG-I

Illustration de satellites géostationnaires.
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