Malgré la révolution copernicienne du XVIe siècle, lors du passage du référentiel géocentrique au référentiel héliocentrique, le nouveau modèle s'avère insuffisant pour expliquer la trajectoire de la planète Mars. Afin d'expliquer son mouvement rétrograde, J. Kepler établit trois lois qu'il généralise aux autres planètes.
Doc. 1
Référentiel héliocentrique
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A
Loi des orbites : première loi de Kepler
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d'une planète est décrite par une orbite elliptique dont le Soleil est l'un des foyers.
Cette loi nécessite de rappeler ou d'introduire les termes suivants :
le référentiel héliocentrique : référentiel associé à un repère spatial dont l'origine est le centre de masse du Soleil et dont les trois axes sont dirigés vers des étoiles lointaines ;
l'orbite : trajectoire dessinée dans l'espace par le système étudié, assimilé à un point matériel sous l'effet de la gravitation ;
ellipse : ensemble des points M dont la somme des distances (F1M, F2M) à deux points fixes (F1, F2) est constante. Si F1 et F2 sont confondus en un point O, l'ellipse est alors un cercle.
Les orbites des planètes sont considérées être dans le plan écliptique,
plan géométrique contenant l'orbite de la Terre autour du Soleil.
Doc. 2
Propriétés d'une ellipse
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Doc. 3
Loi des aires
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B
Loi des aires : deuxième loi de Kepler
Dans le référentiel héliocentrique, le segment reliant le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales (A1=A2) au cours de durées égales (Δt1=Δt2).
Cette loi implique alors que la norme du vecteur vitesse d'une planète n'est pas constante au cours de sa révolution. Elle augmente ou diminue selon que la planète se rapproche ou s'éloigne du Soleil.
Vocabulaire
Péri ou apo‑astre
Péri ou apo‑astre : point de l'orbite d'un objet céleste où la distance est minimale/maximale entre deux corps.
C
Loi des périodes : troisième loi de Kepler
Le carré de la durée de la période d'une révolution T, d'une planète est proportionnel au cube du demi‑grand axe de l'ellipse a(doc. 2).
Soit la relation : T2=k⋅a3
T : période de révolution de l'arbre en orbite (s) k : constante dépendant de l'astre attracteur (s2·m-3) a : demi-grand axe (m)
pour découvrir une animation sur la 3e loi de Kepler.
Pas de malentendu
Ne pas confondre la période de révolution avec la période de rotation (sur elle‑même) d'une planète.
Par exemple, on estime, pour la Terre :
période rotation : 24 h ;
période de révolution : 365,25 j.
2
Mouvement d'un satellite
L'approximation de l'orbite par une trajectoire circulaire simplifie le
modèle. Dans ce cas, les deux premières lois de Kepler indiquent que :
l'orbite est un cercle dont le demi-grand axe correspond au rayon r. Les deux foyers sont confondus avec le centre du cercle ;
la vitesse du satellite est constante durant sa révolution.
Doc. 4
Représentation des vecteurs
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A
Position du problème
On considère un satellite S de masse ms, en orbite autour de la Terre, notée T, de masse MT. Tous deux sont considérés comme ponctuels et associés à leur centre de masse G et O. Le référentiel est géocentrique, supposé galiléen.
Le satellite n'est alors soumis qu'à la force d'interaction gravitationnelle terrestre dont on rappelle l'expression vectorielle :
FT/s=−G⋅r2mS⋅MT⋅u
FT/s : force d'interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite (N) G : constante de gravitation universelle égale à G=6,67×10−11 N·m2·kg-2 mS et MT : masse du satellite et de la Terre (kg) r : distance entre les centres G et O (m) u : vecteur unitaire dirigé de la Terre vers le satellite
On peut exprimer cette force selon le vecteur N du repère de Frenet (G,T,N) avec les propriétés associées :
FT/S=−FS/T=G⋅r2mS⋅MT⋅N
Éviter les erreurs
Attention à l'éventuel signe négatif dans l'expression de l'interaction gravitationnelle suivant l'orientation du vecteur unitaire de référence.
Ne pas oublier de représenter graphiquement les forces à l'aide de vecteurs.
Ne pas confondre valeur et expression vectorielle d'une force.
Attention à ne pas confondre le rayon r de l'orbite avec l'altitude h.
Doc. 5
Accélération (N,T)
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B
Vecteurs vitesse et accélération
Le référentiel d'étude géocentrique étant supposé galiléen, la deuxième loi de Newton peut s'appliquer au satellite : FT/S=mS⋅a a=G⋅r2MT⋅N
En utilisant l'expression de a dans le repère de Frenet, on a : a⎝⎜⎜⎛dtdvrv2⎠⎟⎟⎞(G,T,N)
On obtient par identification : rv2=G⋅r2MT et dtdv=0
On peut donc en déduire que la vitesse du satellite est constante, car aT=0 m•s-2 et que l'intensité de la vitesse est égale à :
v=rG⋅MT
Pas de malentendu
Le vecteur vitesse v du satellite est toujours tangent à sa trajectoire.
Le vecteur v n'est pas constant sur la trajectoire, car sa direction change durant la révolution. Mais son intensité v reste constante sur une orbite de rayon r donnée.
Comme le vecteur accélération a est orienté vers le centre de masse de l'objet attracteur, il est centripète et non centrifuge.
C
Expression de la troisième loi de Kepler
Dans le cas d'un mouvement circulaire de rayon r et uniforme du
satellite de période de révolution T autour de la Terre, on a :
v=T2π⋅r
En identifiant les deux expressions vitesses, on obtient : T2π⋅r=rG⋅MT T24π2⋅r2=rG⋅MT
r3T2=G⋅MT4π2
On retrouve bien la troisième loi de Kepler tel que T2 est proportionnelle à r3.
Doc. 6
Relation de proportionnalité
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Pour des satellites en orbite autour du même astre central :
r13T12=r23T22=…=rn3Tn2
Supplément numérique
Retrouvez une explication de la force gravitationnelle en vidéo :
De nombreux satellites artificiels mis en orbite autour de la Terre sont placés en orbite géostationnaire pour assurer diverses missions.
Le satellite géostationnaire semble immobile pour un observateur terrestre. En effet, sa période de révolution Ts est égale à la période de rotation de la Terre, soit 23 h 56 min 20 s (jour sidéral), soit 86 140 s.
Vocabulaire
Jour sidéral
Jour solaire moyen
Jour sidéral : durée nécessaire à la Terre pour réaliser une rotation complète sur elle‑même.
Jour solaire moyen : durée qui sépare deux passages successifs du Soleil à la verticale d'un même lieu, soit 24 h = 86 400 s.
Application
Déterminer l'altitude des satellites géostationnaires à l'aide de la 3e loi de Kepler.
Corrigé
Le rayon de l'orbite est égal à r=RT+h, d'où : r3=G⋅MT⋅4π2Ts2
r=3G⋅MT⋅4π2Ts2
En remplaçant r :
h=3G⋅MT⋅4π2Ts2−RT
AN : h=36,67×10−11×5,97×1024×4×π2861402−6,37×106
h=3,58×107 m
Un satellite en orbite géostationnaire évolue :
suivant une orbite circulaire d'altitude environ égale à 36 000 km ;
dans le plan équatorial terrestre ;
en restant sur la même verticale passant par un point de la surface de la Terre.
Données
Constante de gravitation universelle :G=6,67×10−11 m3·kg-1·s-2
Rayon de la Terre :RT=6370 km
Masse de la Terre :MT=5,97×1024 kg
Éviter les erreurs
Attention à bien convertir les distances en mètre (m), les durées en seconde (s) et les masses en kilogramme (kg).
Doc. 7
Satellites MTG-S et MTG-I
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Crédits : S. Corvaja/European Space Agency/SPL
Illustration de satellites géostationnaires.
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