À partir des relevés d'observations de l'époque, Johannes Kepler (1571-1630) énonça trois lois mathématiques empiriques qui permirent dès lors de décrire le mouvement de révolution des planètes autour du Soleil.

Est-il possible, comme Kepler, de modéliser le mouvement des planètes ?

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Doc. 1
Lois de Kepler (1571 - 1630)

1^re loi : loi des orbites (1609)
Chaque planète décrit une ellipse dont le centre du Soleil est l'un des foyers.

2^e loi : loi des aires (1609)
Le segment reliant le centre de masse du Soleil à celui de la planète balaye des surfaces égales pendant des durées égales.

3^e loi : loi des périodes (1618)
Le carré de la période de révolution T d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a de sa trajectoire elliptique.

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Doc. 2
Trajectoire elliptique

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Doc. 3
Éphéméride Mercure

Positions de Mercure dans le repère héliocentrique (plan de l'écliptique)
Date	\bm{x} (u.a.)	\bm{y} (u.a.)
2019/02/06	0{,}349	-0{,}162
2019/02/07	0{,}354	-0{,}135
2019/02/08	0{,}358	-0{,}107
2019/02/09	0{,}359	-0{,}079
2019/02/10	0{,}359	-0{,}050
2019/02/11	0{,}356	-0{,}021
2019/02/12	0{,}351	0{,}009
2019/02/13	0{,}344	0{,}038
2019/02/14	0{,}334	0{,}067
2019/02/15	0{,}322	0{,}095
2019/02/16	0{,}307	0{,}123
2019/02/17	0{,}290	0{,}150
2019/02/18	0{,}271	0{,}175
2019/02/19	0{,}249	0{,}199
2019/02/20	0{,}225	0{,}221
2019/02/21	0{,}199	0{,}241
2019/02/22	0{,}170	0{,}259
2019/02/23	0{,}141	0{,}274
2019/02/24	0{,}109	0{,}287
2019/02/25	0{,}077	0{,}296
2019/02/26	0{,}044	0{,}303
2019/02/27	0{,}010	0{,}306
2019/02/28	-0{,}023	0{,}307
2019/03/01	-0{,}057	0{,}304
2019/03/02	-0{,}090	0{,}299
2019/03/03	-0{,}122	0{,}290
2019/03/04	-0{,}153	0{,}279
2019/03/05	-0{,}182	0{,}265
2019/03/06	-0{,}210	0{,}249
2019/03/07	-0{,}236	0{,}231
2019/03/08	-0{,}261	0{,}212
2019/03/09	-0{,}283	0{,}190
2019/03/10	-0{,}304	0{,}167
2019/03/11	-0{,}322	0{,}143
2019/03/12	-0{,}338	0{,}118
2019/03/13	-0{,}352	0{,}093
2019/03/14	-0{,}364	0{,}067
2019/03/15	-0{,}374	0{,}040
2019/03/16	-0{,}382	0{,}013
2019/03/17	-0{,}387	-0{,}014
2019/03/18	-0{,}391	-0{,}040
2019/03/19	-0{,}393	-0{,}067
2019/03/20	-0{,}394	-0{,}093
2019/03/21	-0{,}392	-0{,}119
2019/03/22	-0{,}389	-0{,}145
2019/03/23	-0{,}384	-0{,}170
2019/03/24	-0{,}378	-0{,}194
2019/03/25	-0{,}370	-0{,}217
2019/03/26	-0{,}361	-0{,}240
2019/03/27	-0{,}351	-0{,}261
2019/03/28	-0{,}339	-0{,}282
2019/03/29	-0{,}326	-0{,}302
2019/03/30	-0{,}312	-0{,}321
2019/03/31	-0{,}298	-0{,}339
2019/04/01	-0{,}282	-0{,}355
2019/04/02	-0{,}265	-0{,}371
2019/04/03	-0{,}247	-0{,}385
2019/04/04	-0{,}229	-0{,}399
2019/04/05	-0{,}210	-0{,}411
2019/04/06	-0{,}190	-0{,}422

On précise que 1 u.a. = 1{,}5 \times 10^8 km.

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Questions

Compétence(s)

REA : Mettre en œuvre un protocole
RAI/ANA : Elaborer un protocole

1. À partir de l'éphéméride de Mercure, compléter les positions manquantes de la trajectoire de Mercure imprimée sur une feuille de papier simple, canson ou cartonnée.

2. Décrire la nature de la trajectoire de Mercure autour du Soleil.

3. En déduire la loi de Kepler ainsi illustrée. Préciser alors la position occupée par le Soleil.

4. Identifier et placer l'aphélie \text{A} et le périhélie \text{P} de la planète. Tracer le grand axe, et déterminer son milieu \text{C}, centre de l'ellipse ainsi que le second foyer.

5. Proposer un protocole utilisant une ficelle pour vérifier que la trajectoire est une ellipse.

6. Sachant que la masse m d'une feuille est proportionnelle à sa surface S, proposer alors un protocole qui permette de vérifier la 2^e loi de Kepler à partir de la masse des aires A_{13}, A_\text{ij} et A_\text{kl}. Réaliser le protocole.

7. Exprimer la relation mathématique qui traduit la troisième loi de Kepler.

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Synthèse de l'activité

Proposer une carte mentale illustrant les points essentiels des trois lois de Kepler.

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