Lors d'une nuit d'observation du système solaire, un moniteur de club d'astronomie affirme qu'il est possible de mesurer la masse du Soleil à partir de l'observation du mouvement des planètes.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = []
x = []
y = []
plt.xlabel('Coordonnees x')
plt.ylabel('Coordonnees y')
plt.title('Trajectoire de la Terre')
plt.scatter(x, y, marker = '+')
i = 1
while i < len(t)-1 :
	alpha = np.arctan2(y[i], x[i]) - np.arctan2(y[i-1], x[i-1])
	r0 = np.sqrt(x[i]**2 + y[i]**2)
	r1 = np.sqrt(x[i-1]**2 + y[i-1]**2)
	A = r0*r1*np.sin(alpha)/2
	plt.fill([x[i], x[i-1], 0], [y[i], y[i-1], 0], label='A = ' + "%.2e"%A + ' u.a.**2')
	i += 2
plt.legend(loc='center right')
plt.show()

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https://assets.lls.fr/pages/15974969/programme.py

pour télécharger le code python.

• Conversion d'unités : $1\mathrm{u}.\mathrm{a}.=1,5\times 10^8$ km

1. Préciser quel est le référentiel choisi pour étudier le mouvement des planètes.

En utilisant les éphémérides, on peut vérifier la 2^e loi de Kepler à l'aide d'un programme Python qui calcule la surface balayée par une planète pendant des durées identiques.

2. Dans l'extrait du code Python proposé, expliquer comment se réalise le calcul d'une surface entre deux positions.

3. Tracer dans un tableur ou avec le langage Python la courbe $T^2=f\left(a^3\right)$.

4. Justifier que le tracé $T^2=f\left(a^3\right)$ est conforme à la relation suivante :
$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{G\cdot M_{\mathrm{s}}}$

5. En déduire l'expression de la masse du Soleil $M_{\text{S}}$.

6. Proposer alors un protocole pour déterminer la masse du Soleil $M_{\text{S}}$ à partir de la courbe $T^2=f\left(a^3\right)$. Le faire valider par le professeur avant de le réaliser.

Créer une fiche de synthèse résumant les différentes méthodes pour déterminer la masse d'un astre attracteur à partir des données orbitales de ses satellites.