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Détermination de la masse du Soleil
P.345

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ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE
90 minutes

2
Détermination de la masse du Soleil




Lors d’une nuit d’observation du système solaire, un moniteur de club d’astronomie affirme qu’il est possible de mesurer la masse du Soleil à partir de l’observation du mouvement des planètes.

➜ Comment déterminer la masse du Soleil à partir d’observations ?


Objectifs

  • Établir et exploiter la 3e loi de Kepler pour un mouvement circulaire.
  • Tester, à l’aide d’un langage de programmation, les 2e et 3e lois de Kepler.


Doc. 1
Code Python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = []
x = []
y = []
plt.xlabel('Coordonnees x')
plt.ylabel('Coordonnees y')
plt.title('Trajectoire de la Terre')
plt.scatter(x, y, marker = '+')
i = 1
while i < len(t)-1 :
	alpha = np.arctan2(y[i], x[i]) - np.arctan2(y[i-1], x[i-1])
	r0 = np.sqrt(x[i]**2 + y[i]**2)
	r1 = np.sqrt(x[i-1]**2 + y[i-1]**2)
	A = r0*r1*np.sin(alpha)/2
	plt.fill([x[i], x[i-1], 0], [y[i], y[i-1], 0], label='A = ' + "%.2e"%A + ' u.a.**2')
	i += 2
plt.legend(loc='center right')
plt.show()

Cliquez ici pour télécharger le code python.
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Doc. 2
Éphémérides de la Terre

Date t(j)\boldsymbol{t}\bold{(j)} depuis le 01/01/2020 Abscisse x(u.a.)\boldsymbol{x} \bold{(u.a.)} Ordonnée y(u.a.)\boldsymbol{y} \bold{(u.a.)}
00 0,017 50{,}017~5 0,999 80{,}999~8
22 0,017 0-0{,}017~0 0,999 90{,}999~9
44 0,051 3-0{,}051~3 0,998 70{,}998~7
66 0,085 7-0{,}085~7 0,996 30{,}996~3
88 0,119 9-0{,}119~9 0,992 80{,}992~8
10 0,154 0-0{,}154~0 0,988 10{,}988~1
1212 0,187 9-0{,}187~9 0,982 20{,}982~2

Les éphémérides recensent des données astronomiques.

Doc. 3
Caractéristiques planétaires

Planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne
Demi-grand axe a\bm a (u.a) 0,390{,}39 0,720{,}72 1,001{,}00 1,521{,}52 5,205{,}20 9,529{,}52
Période de révolution T\boldsymbol{T} (j) 87,987{,}9 224,7224{,}7 365,25365{,}25 687687 4 3314~331 10 75110~751

Données

  • Conversion d’unités : 1 u.a.=1,5×1081~\mathrm{u.a.} =1{,}5 \times 10^8 km

Compétences

APP : Formuler des hypothèses

REA : Mettre en œuvre un protocole

REA/MATH : Utiliser un langage de programmation

Questions

1. Préciser quel est le référentiel choisi pour étudier le mouvement des planètes.


En utilisant les éphémérides, on peut vérifier la 2e loi de Kepler à l’aide d’un programme Python qui calcule la surface balayée par une planète pendant des durées identiques.

2. Dans l’extrait du code Python proposé, expliquer comment se réalise le calcul d’une surface entre deux positions.


3. Tracer dans un tableur ou avec le langage Python la courbe T2=f(a3)T^{2}=f\left(a^{3}\right).


4. Justifier que le tracé T2=f(a3)T^{2}=f\left(a^{3}\right) est conforme à la relation suivante :
T2a3=4π2GMs\dfrac{T^{2}}{a^{3}}=\dfrac{4 \pi^{2}}{G \cdot M_{\mathrm{s}}}


5. En déduire l’expression de la masse du Soleil MSM_\text{S}.


6. Proposer alors un protocole pour déterminer la masse du Soleil MSM_\text{S} à partir de la courbe T2=f(a3)T^{2}=f\left(a^{3}\right). Le faire valider par le professeur avant de le réaliser.
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Synthèse de l'activité

Créer une fiche de synthèse résumant les différentes méthodes pour déterminer la masse d’un astre attracteur à partir des données orbitales de ses satellites.
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