La planète Pluton était considérée comme la 9^e planète de notre système solaire. Cependant, la découverte de nouveaux corps, dont Eris (2005), gravitant autour du Soleil a provoqué son déclassement en planète naine.

Découvrez pourquoi Pluton n'est plus une planète en

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Eris parcourt une orbite elliptique autour du Soleil avec une période de révolution $T_{\text{E}}=557$  a.
Dysnomie est un satellite naturel d'Eris dont le rayon de l'orbite circulaire est égal à $r_{\text{D}}=3,60\times 10^7$  m dont la période de révolution vaut $T_{\mathrm{D}}=15,0\mathrm{j}=1,30\times 10^6$  s.

1. Énoncer la 3^e loi de Kepler.

2. En déduire la position de l'orbite d'Eris par rapport à celle de Pluton sachant que la période de révolution de Pluton est $T_{\text{P}}=248$  a.

3. Établir l'expression vectorielle du vecteur accélération ${\overrightarrow{a}}_{\text{D}}$ du centre d'inertie de Dysnomie.

4. Représenter le vecteur accélération ${\overrightarrow{a}}_{\text{D}}$ sur un schéma en précisant sa direction et son sens.

1. Identifier et énoncer correctement une loi.
2. Exploiter une relation de proportionnalité.
3. Appliquer la 2^e loi de Newton.
4. Schématiser le problème.

5. Rédiger la démarche.
6. Isoler la masse $M_{\text{E}}$ et la calculer.
Calculer le rapport.
Interpréter le résultat obtenu et conclure.

II. Meteosat 8 – Satellite géostationnaire

Situé à une altitude $H$ voisine de $36000$ km, il fournit de façon continue des informations.

1. Donner deux autres conditions à remplir par Meteosat 8 pour qu'il soit géostationnaire.

2. Énoncer la 3^e loi de Kepler.

3. En utilisant les réponses aux questions 1. et 2., établir l'expression de la constante $K$ de la loi précédente en fonction de $G$ et $M_{{\text{Terre }}^{\prime }}$, pour les satellites étudiés.

4. Calculer $K$.

• Constante de gravitation universelle : $G=6,67\times 10^{-11}$m³$\cdot$ kg^-1$\cdot$s^-2
• Masse de ENVISAT : $m=8200$ kg
• Altitude moyenne de ENVISAT : $h=800$ km
• Masse de la Terre : $M_{\text{Terre }}=5,97\times 10^{24}$ kg
• Rayon de la Terre : $R_{\text{Terre }}=6,38\times 10^3$ km
• Période de rotation propre : $T_{\text{Terre }}=1436$ 
• Altitude de l'orbite basse de Soyouz : $h_{\text{S}}=220$ km
• Période orbitale de Soyouz l'orbite basse : $T_{\mathrm{S}}=88,66$ min
• Altitude de l'orbite haute de Soyouz : $h_{\text{S}}=320$ km
• Altitude de la station spatiale : $h_{\text{ISS}}=400$  km
• Masse de la station spatiale : $m_{\text{ISS}}=400\times 10^3$ kg

Les systèmes de lanceurs Soyouz mettent des modules habités et des satellites en orbite. Au bout d'environ dix minutes de vol, à une altitude de près de 220  km, le module Soyouz est mis en orbite basse autour de la Terre. Puis après des corrections orbitales, il rejoint l'orbite de la Station spatiale internationale (ISS).

1. Indiquer quel référentiel est le plus adéquat pour réaliser l'étude de la trajectoire du module Soyouz.

2. Préciser quelle hypothèse on peut faire sur la nature des trajectoires du module et de l'ISS.