Exercices

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Famille transneptunienne en QCM

✔ VAL  : Faire preuve d’esprit critique

Au-delà de l’orbite de Neptune, deux planètes naines, Hauméa ($\text{H}$) et Makémaké ($\text{M}$), ont été découvertes dans la ceinture de Kuiper entre 2004 et 2005. Choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).

1. La planète $\text{H}$ est plus éloignée que $\text{M}$ du Soleil, en supposant leur trajectoire circulaire  :
a. la vitesse de $\text{H}$ est inférieure à celle de $\text{M}$.
b. la vitesse de $\text{M}$ est inférieure à celle de $\text{H}$.
c. les vitesses de $\text{M}$ et de $\text{H}$ peuvent être égales.
d. leur vitesse dépend de leur masse.

2. Si une des planètes a une trajectoire elliptique, alors  :
a. la norme du vecteur vitesse est constante.
b. la norme du vecteur accélération est constante.
c. la norme du vecteur accélération ne dépend pas de la masse de la planète.
d. la direction, le sens et la norme du vecteur vitesse restent constants au cours du temps.

3. En ne considérant que l’action exercée par le Soleil, la norme du vecteur vitesse de chaque planète  :

a. est indépendante de leur propre masse.

b. est proportionnelle à la masse du Soleil.

c. dépend de leur propre masse et de celle du Soleil.

d. est d’autant plus petite que la planète est éloignée du Soleil.

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Galileo

✔ REA : Utiliser un modèle

Similaire au système américain GPS, Galileo est un système de positionnement. Il permet d’obtenir sa position à l’aide d’une trentaine de satellites. En utilisant la 2^e loi de Kepler dans le repère de Frenet, on montre que la vitesse du satellite d’altitude $h$ est égale à :

1. Rappeler la définition de la période de révolution.


2. Donner la relation qui lie la vitesse d’un satellite à sa période de révolution $T$.


3. En déduire l’expression de la période T en fonction de $G$, $M_{\text{T}}$, $R_{\text{T}}$ et $h$.




Découvrez le fonctionnement de Galileo en vidéo en cliquant ici.

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Trajectoire d’une comète

✔ APP : Faire un schéma

La trajectoire d’une comète est tracée ci-dessous dans le référentiel héliocentrique. On suppose que les durées de parcours entre les points ${\text{M}}_1$ et ${\text{M}}_1^{\prime }$ puis entre ${\text{M}}_2$ et ${\text{M}}_2^{\prime }$ sont égales. La comète est soumise à l’attraction gravitationnelle du Soleil. Toute autre action est négligée.


1. Après avoir identifié la forme de la trajectoire, préciser ce que représentent les points ${\text{F}}_1$, ${\text{F}}_2$ et $\text{O}$.


2. Déterminer sur quel parcours entre ${\text{M}}_1{\text{M}}_1^{\prime }$ ou ${\text{M}}_2{\text{M}}_2^{\prime }$ la vitesse de la comète est la plus importante.
Expliquer.


3. Représenter la force d’interaction gravitationnelle exercée sur la comète sur un point de la trajectoire.

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VOSTOK 1, premier vol spatial

✔ REA : Appliquer une formule

Le premier vol habité de l’histoire a été effectué le 12 avril 1961 depuis le cosmodrome de Baïkonour avec à son bord le cosmonaute Youri Gagarine.
La trajectoire du module est modélisée suivant une orbite circulaire d’altitude moyenne $h=225$ km.


1. Préciser la condition pour qu’un mouvement soit uniforme.


2. Établir le bilan des forces exercées sur le module.


3. Montrer que l’expression de la vitesse orbitale du module est égale à :




4. Calculer la valeur de la vitesse du module.


5. En déduire la période de révolution du module.

Données

• Constante de gravitation universelle : $G=6,67\times 10^{-11}$ m³·kg^-1·s^-2
• Rayon de la Terre : $R_{\text{T}}=6370$ km
• Masse de la Terre : $M_{\text{T}}=5,97\times 10^{24}$ kg

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Télescope spatial Hubble

✔ APP : Faire un schéma

Nommé en l’honneur d’Edwin Hubble (1889-1953), le télescope spatial Hubble (HST) décrit une orbite circulaire de 42 000 km de circonférence. Cette position dans l’espace permet au télescope d’effectuer des observations sans les contraintes dues à l’atmosphère terrestre.

1. Indiquer dans quel référentiel est décrite la trajectoire du télescope.


2. Nommer les forces qui s’exercent sur le HST. Indiquer celles que l’on peut négliger en justifiant la réponse.


■ Télescope Hubble

► Fruit d’une coopération entre la NASA et l’agence spatiale européenne, le télescope spatial Hubble (HST) est opérationnel depuis 1990.

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Altimétrie satellitaire

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement

Le niveau moyen global des océans est un indicateur majeur du réchauffement climatique. L’altimétrie satellitaire est une méthode de mesure importante, car elle permet d’assurer un suivi mondial précis et continu depuis 1993. Depuis son lancement en 2013, le satellite franco‑indien SARAL assure toujours cette mission.

1. Préciser le nom du référentiel galiléen dans lequel le mouvement du satellite peut être étudié.


2. En supposant une orbite circulaire, schématiser la trajectoire sans souci d’échelle.

3. En déduire la nature du mouvement d’après la deuxième loi de Kepler.


4. Dans le cas de SARAL, préciser la direction prise par son vecteur accélération. Représenter le vecteur ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{S}}$ sur le schéma.

5. Montrer que le vecteur vitesse de SARAL a pour valeur :




6. Calculer l’altitude $h$ du satellite SARAL à l’aide des données.


7. Préciser en le justifiant si SARAL est géostationnaire.

Données

• Constante de gravitation universelle : $G=6,67\times 10^{-11}$ m³·kg^-1·s^-2
• Masse du satellite SARAL : $m_{\text{S}}=400$ kg
• Vitesse orbitale de SARAL : $v_{\text{S}}=7,47$ km·s^-1
• Période de rotation de la Terre : $T_{\text{T}}=23,93$ h
• Rayon de la Terre : $R_{\text{T}}=6370$ km
• Masse de la Terre : $M_{\text{T}}=5,97\times 10^{24}$ kg
• Expression du vecteur accélération dans le cas d’un mouvement circulaire :
  
  
  $\overrightarrow{a}{\left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\ \frac{v^2}{r}\end{array}\right)}_{(G,\overrightarrow{T},\overrightarrow{N})}$

■ Cartographie du niveau d’élévation des océans ► Les zones rouges correspondent aux zones géographiques où le niveau moyen d’élévation est le plus important.

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Température de surface de la mer

✔ RAI/ANA : Utiliser et interpréter des documents

Le suivi de la mesure de la température de l’océan est important, car la température influe sur le transport océanique et le climat mondial. En plus des mesures in-situ (bouées, bateaux), les satellites à défilement comme MetOp et NOAA ou géostationnaires comme GOES et Meteosat permettent de réaliser des mesures sur une grande surface terrestre dans l’infrarouge.

On considère les satellites comme ponctuels et soumis à la seule interaction gravitationnelle terrestre. Leur mouvement est décrit dans le référentiel géocentrique suivant une orbite supposée circulaire de rayon r.

1. Expliquer la différence possible entre un satellite géostationnaire et un satellite à défilement.


2. Représenter sans souci d’échelle la Terre, un satellite et sa trajectoire.

3. Préciser l’hypothèse adoptée si on représente la Terre par un point O correspondant à son centre de masse.


4. Donner l’expression de la 3^e loi de Kepler. Montrer qu’elle est cohérente avec la formule :




Le tableau ci-dessous regroupe les périodes $T$ de révolution et les rayons $r$ de la trajectoire des différents satellites utilisés pour créer les cartes de températures.

5. Expliquer en quoi ces mesures permettent de confirmer la 3^e de Kepler.



■ Cartographie de la température de surface des mers et de l’océan Atlantique

A

Distance Terre‑Lune

✔ REA : Utiliser un modèle

On fait l’approximation, pour les calculs, que l’orbite de la Lune autour de la Terre peut être considérée comme circulaire.

Données

• Période de révolution de la Lune : $T=656$ h
• Masse de la Terre : $M_T=5,97\times 10^{24}$ kg
• Constante de gravitation universelle : $G=6,67\times 10^{-11}$ m3·kg^-1·s^-2
• Distance maximale entre la Terre et la Lune (apogée) : $a=406300$ km
• Distance minimale entre la Terre et la Lune (périgée) : $b=356700$ km

1. En utilisant la deuxième loi de Newton, démontrer que la période de révolution de la Lune $T$ et la distance Terre‑Lune $D$ sont reliées par la formule : $\frac{T^2}{D^3}=\frac{4{\pi }^2}{G\cdot M_T}$


2. En déduire la distance Terre‑Lune $D$.


3. Calculer l’écart relatif $ϵ$ entre les valeurs d’apogée et de périgée et conclure quant à l’approximation de l’orbite circulaire.