Sommaire

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4
Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 5

Activité

Limites de fonctions

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A
Notion de limite en l'infini

Objectif : Introduire la notion de limite en l'infini et d'asymptote horizontale.

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On considère les sept fonctions suivantes chacune définie sur son ensemble de définition :

f : x \mapsto x^{2}

;

g : x \mapsto \frac{x + 2}{7 - x}

;

h : x \mapsto x + sin (x)

;

i : x \mapsto x

;

j : x \mapsto cos (\frac{1}{x})

;

k : x \mapsto \frac{4}{( 2 - x ) ^{2}}

;

m : x \mapsto \frac{sin ( x )}{x} .

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Déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces fonctions.

On s'intéresse au comportement de ces fonctions pour de très grandes valeurs de

x

, c'est-à-dire lorsque

x

tend vers

+ \infty

a) À l'aide de

GeoGebra

ou de la calculatrice, tracer une représentation graphique de chaque fonction.

GeoGebra

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b) En justifiant le choix effectué, regrouper ces fonctions en deux catégories en s'appuyant sur leur comportement pour de très grandes valeurs de

x

On considère les fonctions

f

i .

a) Comment choisir

x

pour que le nombre

x^{2}

soit supérieur à

25

? Supérieur à

1 0^{2}

? Supérieur à

1 0^{8}

b) Mêmes questions pour

x

c) On dit que les fonctions

f

i

ont pour limite

+ \infty

lorsque

x

tend vers

+ \infty

.
En s'inspirant de l'étude locale précédente, trouver un critère permettant de caractériser cette notion.

On considère à présent les fonctions

g

k

.
a) Comment choisir

x

pour que

- 1 - g (x)

soit inférieur à

1

? Inférieur à

0, 1

? Inférieur à

0, 01

b) Comment choisir

x

pour que

k (x)

soit inférieur à

1

? Inférieur à

0, 1

? Inférieur à

0, 01

c) Caractériser le fait qu'une fonction a pour limite un réel

ℓ

, lorsque

x

tend vers

+ \infty

d) Comment pourrait-on bien visualiser graphiquement cette limite ?

Que peut-on dire des trois autres fonctions ?

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Bilan

Comment formuler le fait que certaines fonctions prennent des valeurs « infiniment grandes » ou des valeurs qui deviennent aussi proches que l'on veut d'un nombre $ℓ$ quand $x$ devient de plus en plus grand ?

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B
Notion de limite infinie en un réel

Objectif : Introduire la notion d'asymptote verticale.

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On considère la fonction

f

définie sur un ensemble

D_{f}

par

f (x) = \frac{1}{x - 1}

. On note

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

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Déterminer l'ensemble de définition

D_{f}

Graphiquement, comment peut-on visualiser la présence d'une valeur interdite ? Décrire notamment le comportement de la courbe représentative de

f

autour de cette valeur interdite.

a) Donner l'image par

f

des nombres suivants :

2

;

1, 1

;

1, 01

1, 001

. Que remarque-t-on ?

b) Donner l'image par

f

des nombres suivants :

0

;

0, 9

;

0, 99

0, 999

. Que remarque-t-on ?

On considère la droite

d

d'équation

x = 1.

Cette droite coupe-t-elle

C_{f}

? Justifier.

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Bilan

On dit que la droite d'équation $x = 1$ est une asymptote verticale à $C_{f}$ .
Quel lien existe-t-il entre cette représentation graphique et les limites de $f$ lorsque $x$ tend vers $1$ ?

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C
Croissance comparée

Objectif : Comparer les croissances de la fonction exponentielle et des fonctions

x \mapsto x^{n}

pour tout

n \in N^{*} .

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Dans la première partie du cours, on a vu que, pour tout

n \in N^{*}

x \to + \infty lim x^{n} = + \infty.

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a) À l'aide de GeoGebra ou de la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction

x \mapsto \frac{e ^{x}}{x}

.
b) Quelle semble être la limite de cette fonction en

+ \infty

Faire de même avec la fonction

x \mapsto \frac{e ^{x}}{x ^{2}}

On donne ci-dessous les représentations graphiques

C_{f}

C_{g}

des fonctions

f

g

définies, pour tout

x \neq = 0

, par

f (x) = \frac{e ^{x}}{x ^{10}}

g (x) = \frac{e ^{x}}{x ^{50}}

. Quelle semble être la limite de ces fonctions en

+ \infty

Étude de la fonction

f

.
a) Dans un tableur, remplir la colonne A avec les nombres 1 à 50.
b) Écrire une formule dans la cellule B1 donnant l'image de A1 par la fonction

f

pour pouvoir ensuite remplir la colonne B par copier-glisser. Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de

f

+ \infty

Étude de la fonction

g

.
a) Refaire la même procédure pour la fonction

g

en utilisant la colonne C.
Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de

g

+ \infty

b) Remplir la colonne D avec les nombres de

10

400

avec un pas de

10

.
c) Écrire une formule dans la cellule E1 donnant l'image de D1 par la fonction

g

, pour pouvoir ensuite remplir la colonne E par copier-glisser. Que constate-t-on ? Cela remet-il en cause l'hypothèse de la question

a) ?

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Bilan

Lorsque $n \in N^{*}$ , quelle semble être la limite de la fonction $x \mapsto \frac{e ^{x}}{x ^{n}}$ en $+ \infty$ ?

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Remarque

Cette limite est démontrée dans l'exercice

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Informations

Dans le langage courant, on utilise parfois l'expression « croissance exponentielle » pour désigner une croissance très rapide. Cette expression vient du fait que —comme on vient de le voir— toute fonction polynôme devient négligeable devant la fonction exponentielle pour des valeurs suffisamment grandes.

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Rappels de première

Ch. 1Combinatoire et dénombrement

Ch. 2 Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3 Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4 Suites

Ch. 5Limites de fonctions

Ch. 6Continuité

Ch. 7Compléments sur la dérivation

Ch. 8Logarithme népérien

Ch. 9Fonctions trigonométriques

Ch. 10Primitives - Équations différentielles

Ch. 11Calcul intégral

Ch. 12Loi binomiale

Ch. 13Sommes de variables aléatoires

Ch. 14Loi des grands nombres

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Limites de fonctions

ANotion de limite en l'infini

GeoGebra

Comment formuler le fait que certaines fonctions prennent des valeurs « infiniment grandes » ou des valeurs qui deviennent aussi proches que l'on veut d'un nombre ℓ quand x devient de plus en plus grand ?

BNotion de limite infinie en un réel

CCroissance comparée

Remarque

Informations

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4
Suites

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

A
Notion de limite en l'infini

Comment formuler le fait que certaines fonctions prennent des valeurs « infiniment grandes » ou des valeurs qui deviennent aussi proches que l'on veut d'un nombre $ℓ$ quand $x$ devient de plus en plus grand ?

B
Notion de limite infinie en un réel

C
Croissance comparée