Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Activité
Limites de fonctions
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ANotion de limite en l'infini
Objectif : Introduire la notion de limite en l'infini et d'asymptote horizontale.
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On considère les sept fonctions suivantes chacune définie sur son ensemble de définition :
f: x\mapsto x^{2} ; \quad g:\,x\mapsto \dfrac{x+2}{7-x} ; \quad h:\,x\mapsto x+\sin (x) ; \quad i:\,x\mapsto \sqrt{x} ; \quad j:\,x\mapsto \cos \left(\dfrac{1}{x}\right) ; \quad k:\,x\mapsto \dfrac{4}{(2-x)^{2}} ; \quad m:\,x\mapsto\dfrac{\sin (x)}{x}.
f: x\mapsto x^{2} ; \quad g:\,x\mapsto \dfrac{x+2}{7-x} ; \quad h:\,x\mapsto x+\sin (x) ; \quad i:\,x\mapsto \sqrt{x} ; \quad j:\,x\mapsto \cos \left(\dfrac{1}{x}\right) ; \quad k:\,x\mapsto \dfrac{4}{(2-x)^{2}} ; \quad m:\,x\mapsto\dfrac{\sin (x)}{x}.
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Déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces fonctions.
On s'intéresse au comportement de ces fonctions pour de très grandes valeurs de x, c'est-à-dire lorsque x tend vers +\infty.
2
a) À l'aide de ou de la calculatrice, tracer une représentation graphique de chaque fonction.
GeoGebra
b) En justifiant le choix effectué, regrouper ces fonctions en deux catégories en s'appuyant sur leur comportement pour de très grandes valeurs de x.
3
On considère les fonctions f et i.
a) Comment choisir x pour que le nombre x^2 soit supérieur à 25 ? Supérieur à 10^2 ? Supérieur à 10^8 ?
b) Mêmes questions pour \sqrt{x}.
c) On dit que les fonctions f et i ont pour limite +\infty lorsque x tend vers +\infty.
En s'inspirant de l'étude locale précédente, trouver un critère permettant de caractériser cette notion.
a) Comment choisir x pour que -1-g(x) soit inférieur à 1 ? Inférieur à 0{,}1 ? Inférieur à 0{,}01 ?
b) Comment choisir x pour que k(x) soit inférieur à 1 ? Inférieur à 0{,}1 ? Inférieur à 0{,}01 ?
c) Caractériser le fait qu'une fonction a pour limite un réel \ell, lorsque x tend vers +\infty.
d) Comment pourrait-on bien visualiser graphiquement cette limite ?
c) On dit que les fonctions f et i ont pour limite +\infty lorsque x tend vers +\infty.
En s'inspirant de l'étude locale précédente, trouver un critère permettant de caractériser cette notion.
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On considère à présent les fonctions g et k.
a) Comment choisir x pour que -1-g(x) soit inférieur à 1 ? Inférieur à 0{,}1 ? Inférieur à 0{,}01 ?
b) Comment choisir x pour que k(x) soit inférieur à 1 ? Inférieur à 0{,}1 ? Inférieur à 0{,}01 ?
c) Caractériser le fait qu'une fonction a pour limite un réel \ell, lorsque x tend vers +\infty.
d) Comment pourrait-on bien visualiser graphiquement cette limite ?
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Que peut-on dire des trois autres fonctions ?
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Bilan
Comment formuler le fait que certaines fonctions prennent des valeurs « infiniment grandes » ou des valeurs qui deviennent aussi proches que l'on veut d'un nombre \ell quand x devient de plus en plus grand ?
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BNotion de limite infinie en un réel
Objectif : Introduire la notion d'asymptote verticale.
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On considère la fonction f définie sur un ensemble \mathcal{D}_{f} par f(x)=\dfrac{1}{x-1}. On note \mathcal{C}_{f} sa courbe représentative dans
un repère orthogonal.
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1
Déterminer l'ensemble de définition \mathcal{D}_{f}.
2
Graphiquement, comment peut-on visualiser la présence d'une valeur interdite ? Décrire notamment le comportement de la courbe représentative de f autour de cette valeur interdite.
3
a) Donner l'image par f des nombres suivants : 2 ; 1{,}1 ; 1{,}01 et 1{,}001. Que remarque-t-on ?
b) Donner l'image par f des nombres suivants : 0 ; 0{,}9 ; 0{,}99 et 0{,}999. Que remarque-t-on ?
4
On considère la droite d d'équation x = 1. Cette droite coupe-t-elle \mathcal{C}_{f} ? Justifier.
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Bilan
On dit que la droite d'équation x = 1 est une asymptote verticale à \mathcal{C}_{f}.
Quel lien existe-t-il entre cette représentation graphique et les limites de f lorsque x tend vers 1 ?
Quel lien existe-t-il entre cette représentation graphique et les limites de f lorsque x tend vers 1 ?
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CCroissance comparée
Objectif : Comparer les croissances de la fonction exponentielle et des fonctions x \mapsto x^{n} pour tout n \in \mathbb{N}^{*}.
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Dans la première partie du cours, on a vu que, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x^{n}=+\infty.
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1
a) À l'aide de GeoGebra ou de la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}.
b) Quelle semble être la limite de cette fonction en +\infty ?
2
Faire de même avec la fonction x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}.
3
On donne ci-dessous les représentations graphiques \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g} des fonctions f et g définies, pour tout x \neq 0, par f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{10}} et g(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{50}}. Quelle semble être la limite de ces fonctions en +\infty ?
4
Étude de la fonction f. a) Dans un tableur, remplir la colonne A avec les nombres 1 à 50.
b) Écrire une formule dans la cellule B1 donnant l'image de A1 par la fonction f pour pouvoir ensuite remplir la colonne B par copier-glisser. Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de f en +\infty ?
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Étude de la fonction g. a) Refaire la même procédure pour la fonction g en utilisant la colonne C.
Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de g en +\infty ?
b) Remplir la colonne D avec les nombres de 10 à 400 avec un pas de 10.
c) Écrire une formule dans la cellule E1 donnant l'image de D1 par la fonction g, pour pouvoir ensuite remplir la colonne E par copier-glisser. Que constate-t-on ? Cela remet-il en cause l'hypothèse de la question
c) Écrire une formule dans la cellule E1 donnant l'image de D1 par la fonction g, pour pouvoir ensuite remplir la colonne E par copier-glisser. Que constate-t-on ? Cela remet-il en cause l'hypothèse de la question
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a) ?
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Bilan
Lorsque \boldsymbol{n} \in \mathbb{N}^{*}, quelle semble être la limite de la fonction x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}en +\infty ?
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Cette limite est démontrée dans l'exercice .
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Dans le langage courant, on utilise parfois l'expression « croissance exponentielle » pour désigner une
croissance très rapide. Cette expression vient du fait que —comme on vient de le voir— toute fonction
polynôme devient négligeable devant la fonction exponentielle pour des valeurs suffisamment grandes.
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