Activités

On considère les sept fonctions suivantes chacune définie sur son ensemble de définition :
$f:x\mapsto x^2$ ; $g:x\mapsto \frac{x+2}{7-x}$ ; $h:x\mapsto x+\sin (x)$ ; $i:x\mapsto \sqrt{x}$ ; $j:x\mapsto \cos \left(\frac{1}{x}\right)$ ; $k:x\mapsto \frac{4}{(2-x{)}^2}$ ; $m:x\mapsto \frac{\sin (x)}{x}.$
Déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces fonctions.

On s’intéresse au comportement de ces fonctions pour de très grandes valeurs de $x$, c’est-à-dire lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

a) À l’aide de GeoGebra ou de la calculatrice, tracer une représentation graphique de chaque fonction.

b) En justifiant le choix effectué, regrouper ces fonctions en deux catégories en s’appuyant sur leur comportement pour de très grandes valeurs de $x$.


On considère les fonctions $f$ et $i.$
a) Comment choisir $x$ pour que le nombre $x^2$ soit supérieur à $25$ ? Supérieur à $10^2$ ? Supérieur à $10^8$ ?


b) Mêmes questions pour $\sqrt{x}$.


c) On dit que les fonctions $f$ et $i$ ont pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
En s’inspirant de l’étude locale précédente, trouver un critère permettant de caractériser cette notion.


On considère à présent les fonctions $g$ et $k$.
a) Comment choisir $x$ pour que $-1-g(x)$ soit inférieur à $1$ ? Inférieur à $0,1$ ? Inférieur à $0,01$ ?


b) Comment choisir $x$ pour que $k(x)$ soit inférieur à $1$ ? Inférieur à $0,1$ ? Inférieur à $0,01$ ?


c) Caractériser le fait qu’une fonction a pour limite un réel $\ell$, lorsque $x$ tend vers $+\infty$.


d) Comment pourrait-on bien visualiser graphiquement cette limite ?


Que peut-on dire des trois autres fonctions ?

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On considère la fonction $f$ définie sur un ensemble ${\mathcal{D}}_f$ par $f(x)=\frac{1}{x-1}$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Déterminer l’ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$.


Graphiquement, comment peut-on visualiser la présence d’une valeur interdite ? Décrire notamment le comportement de la courbe représentative de $f$ autour de cette valeur interdite.


a) Donner l’image par $f$ des nombres suivants : $2$ ; $1,1$ ; $1,01$ et $1,001$. Que remarque-t-on ?


b) Donner l’image par $f$ des nombres suivants : $0$ ; $0,9$ ; $0,99$ et $0,999$. Que remarque-t-on ?


On considère la droite $d$ d’équation $x=1.$ Cette droite coupe-t-elle ${\mathcal{C}}_f$ ? Justifier.

Dans la première partie du cours, on a vu que, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }{x}^n=+\infty .$
a) À l’aide de GeoGebra ou de la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}$.
b) Quelle semble être la limite de cette fonction en $+\infty$ ?


Faire de même avec la fonction $x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^2}$.


On donne ci-dessous les représentations graphiques ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies, pour tout $x\ne 0$, par $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^{10}}$ et $g(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^{50}}$. Quelle semble être la limite de ces fonctions en $+\infty$ ?

  

Étude de la fonction $f$.
a) Dans un tableur, remplir la colonne A avec les nombres 1 à 50.
b) Écrire une formule dans la cellule B1 donnant l’image de A1 par la fonction $f$ pour pouvoir ensuite remplir la colonne B par copier-glisser. Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de $f$ en $+\infty$ ?


Étude de la fonction $g$.
a) Refaire la même procédure pour la fonction $g$ en utilisant la colonne C.
Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de $g$ en $+\infty$ ?


b) Remplir la colonne D avec les nombres de $10$ à $400$ avec un pas de $10$.
c) Écrire une formule dans la cellule E1 donnant l’image de D1 par la fonction $g$, pour pouvoir ensuite remplir la colonne E par copier-glisser. Que constate-t-on ? Cela remet-il en cause l’hypothèse de la question a) ?

Cette limite est démontrée dans l’exercice

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