Classiquement, les questions de l'exercice demandent de déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition. Pour calculer une limite, il faut toujours commencer, au brouillon, par utiliser les théorèmes d'opérations sur les limites.

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104

question 1.

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2
Impossible de conclure le calcul d'une limite.

Si l'expression dont il faut déterminer la limite contient une forme indéterminée, il faut alors se tourner vers les autres méthodes : factorisation par le terme dominant, théorèmes de comparaison, théorèmes des croissances comparées, etc.

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104

question 1.

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3
Encadrement et limite.

Si l'énoncé demande de démontrer une inégalité ou un encadrement juste avant de demander un calcul de limite, il faut penser à utiliser les théorèmes de comparaison.

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106

question 2. d.

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4
Fonction trigonométrique.

Si l'expression dont il faut déterminer la limite contient la fonction sinus ou la fonction cosinus, il faut penser que, pour tout réel x, -1 \leqslant \sin (x) \leqslant 1 et -1 \leqslant \cos (x) \leqslant 1. On pourra alors réaliser un encadrement ou une inégalité avec l'expression de départ et tenter d'utiliser un théorème de comparaison.

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100

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5
Interprétation graphique.

Lorsque l'énoncé demande une interprétation graphique juste après un calcul de limite, il faut alors parler de l'existence ou non d'asymptote à la courbe représentative de la fonction. Il faut alors bien donner, le cas échéant, une équation de la ou des asymptotes.
Dans le cas d'asymptote horizontale, il faut préciser si la droite est asymptote au voisinage de +\infty, de -\infty ou des deux.

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107

question 2.

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Exercice guidé

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104
[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2014]
On considère la fonction f définie et dérivable sur l'ensemble \R des nombres réels par f(x)=x+1+\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}. On note \mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Soit g la fonction définie et dérivable sur l'ensemble \R par g(x)=1-x+\mathrm{e}^{x}.
a. Donner les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.

Aide

On utilise d'abord les théorèmes d'opérations. S'il y a une forme indéterminée, on essaye de factoriser. Comme il y a la fonction exponentielle, il faut penser aux théorèmes de croissance comparée.

b. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction g sur \R.

Aide

On pense à dériver la fonction g.

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En déduire le signe de g(x).

Aide

On regarde dans le tableau de variations si g possède un extremum, si g change de signe ou non. On retient cette information qui sera utile plus loin.

2. Déterminer la limite de f en -\infty puis la limite de f en +\infty.

Aide

Même chose que pour la question 1. a.

3. On appelle f' la dérivée de la fonction f sur \R.
Démontrer que, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x} g(x).

Aide

On applique les opérations sur les dérivées et on factorise pour faire apparaître g(x).

4. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur \R.

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Aide

La fin de la question 1. b. est utile.

5. a. Démontrer que la droite \text{T} d'équation y=2 x+1 est tangente à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0.

Aide

On pense à la formule, vue en classe de première, donnant une équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction.

b. Étudier la position relative de \mathcal{C} et de \text{T}.

Aide

On étudiera le signe d'une différence bien choisie.

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Exercices

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105
[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2013.]
Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit f la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels \R telle que f(x)=(x+1) \mathrm{e}^{x}. 1. Calculer la limite de f en +\infty et -\infty.

2. On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur \R.
Démontrer que pour tout réel x, f^{\prime}(x)=(x+2) \mathrm{e}^{x}.

3. Dresser le tableau de variations de f sur \R.

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Partie B

On définit la fonction g_{m} sur \R par g_{m}(x)=x+1-m \mathrm{e}^{-x} et on note \mathcal{C}_{m} la courbe de la fonction g_{m} dans un repère (\mathrm{O}\:; \vec{i}, \vec{j}) du plan. 1. a. Démontrer que g_{m}(x)=0 si, et seulement si, f(x)=m.

b. Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe \mathcal{C}_{m} avec l'axe des abscisses en fonction du réel m.

2. On a représenté ci-dessous les courbes \mathcal{C}_{0}, \mathcal{C}_{\mathrm{e}}, et \mathcal{C}_{-\mathrm{e}} (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs 0, \mathrm{e} et -\mathrm{e}).

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Identifier chacune de ces courbes sur la figure en justifiant.

3. Étudier la position de la courbe \mathcal{C}_{m} par rapport à la droite \mathcal{D} d'équation y=x+1 suivant les valeurs du réel m.

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106
[D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, février 2018.]
Soit f la fonction définie et dérivable sur \R telle que, pour tout réel x, f(x)=\left(1+x+x^{2}+x^{3}\right) \mathrm{e}^{-2 x+1}. 1. Démontrer que \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=-\infty.

Aide

On pourra utiliser le fait que \mathrm{e}^{-2 x+1}=\frac{\mathrm{e}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}.

2. a. Démontrer que, pour tout x > 1 :

1\lt x \lt x^{2} \lt x^{3}.

b. En déduire que, pour x > 1 :

0 \lt f(x) \lt 4 x^{3} \times \mathrm{e}^{-2 x+1}.

c. Vérifier que, pour tout réel x, 4 x^{3} \mathrm{e}^{-2 x+1}=4 \times \frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{x}} \times \frac{x^{3}}{\mathrm{e}^{x}}
puis montrer que \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}4 x^{3} \times \mathrm{e}^{-2 x+1}=0.

d. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. En utilisant la question précédente, déterminer la limite de f en +\infty et en donner une interprétation graphique.

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107
[D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2015.]
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (\text{O}\:; \vec{i}, \vec{j}), on désigne par \mathcal{C}_u la courbe représentative de la fonction u définie sur l'intervalle ] 0\:;+\infty[ par u(x)=a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}, où a, b et c sont des réels fixés.
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe \mathcal{C}_u et la droite \mathcal{D} d'équation y = 1.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

On précise que la courbe \mathcal{C}_u passe par les points \mathrm{A}(1\:; 0) et \mathrm{B}(4\:; 0) et que l'axe des ordonnées et la droite \mathcal{D} sont asymptotes à la courbe \mathcal{C}_u. 1. Donner les valeurs de u(1) et u(4).

2. Donner \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}u(x). En déduire la valeur de a.

3. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, u(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{x^{2}}.

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