En 1910, le physicien Johannes Diderik Van der Waals a reçu le prix Nobel de physique pour ses travaux concernant l'étude du comportement des gaz. Il a notamment proposé une extension à l'équation d'état des gaz parfaits.

Quelles limites les hypothèses du modèle du gaz parfait impliquent-elles ?

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Doc. 1
Volume dans une enceinte

Sans perturbation extérieure, les molécules ou les atomes constitutifs d'un gaz tendent à se répartir de manière homogène à l'intérieur d'un volume pour en occuper tout l'espace. Pour autant, les entités chimiques prennent de la place : cela signifie que, parmi toutes les positions pouvant être occupées à l'intérieur de l'enceinte, une entité chimique ne peut pas se superposer avec l'une de ses paires.
La réduction du volume accessible est donc égale au volume total occupé par l'ensemble des entités chimiques constitutives.

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Doc. 2
Interactions entre entités

Les interactions de Van der Waals jouent un rôle fondamental dans la cohésion de la matière à l'état solide et liquide. Pour autant, elles ne sont pas toujours négligeables dans le cas des gaz. Cette dépendance conduit donc à adapter le terme lié à la pression de l'équation d'état des gaz parfaits par :

p + \dfrac{(a \cdot n^2)} {V^2}

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Doc. 3
Équation d'état des gaz parfaits

Dans le cadre du modèle du gaz parfait, l'équation d'état s'écrit :

p ⋅ V = n ⋅ R ⋅ T

p : pression du gaz parfait (Pa)
V : volume du gaz parfait (m³)
n : quantité de gaz parfait (mol)
R : constante des gaz parfaits égale à R = 8{,}314 J⋅K^-1⋅mol^-1
T : température du gaz parfait (K)

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Doc. 4
Quelques gaz

On présente ci-dessous un tableau recensant, pour diverses espèces chimiques, quelques paramètres estimés de leur comportement en tant que gaz réel :

	Eau	Butane
Paramètre \alpha (m²⋅Pa⋅mol^-1)	0{,}554	1{,}47
Volume v de la molécule (m³)	5{,}06 \times 10^{-29}	2{,}04 \times 10^{-28}

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Donnée

Constante d'Avogadro : N_A = 6{,}022 \times 10^{23} mol^-1

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Questions

Compétence(s)

REA/MATH : Utiliser un langage de programmation
VAL : Évaluer et connaître des ordres de grandeur
VAL : Analyser des résultats

1. Montrer que pour un gaz réel l'équation d'état devient p + \dfrac{a \cdot n^2}{V^2} \cdot (V - n \cdot b) = n \cdot R \cdot T, avec b un paramètre à exprimer en fonction de N_A et de v.

2. Calculer les valeurs de b pour l'eau et le butane.

3. À l'aide de l'équation d'état des gaz réels, exprimer la pression p.

4. Compléter le programme Python, ci-dessous , avec les valeurs de a, de b et les expressions permettant de calculer les pressions et le lancer.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parametres du gaz considéré&
a = # A remplir
b = # A remplir
# Parametres de la modelisation
V = 1
n = 1000
# Constante
R = 8.314
# Trace du modele
T = np.arange(0, 10000, 1)
 # A completer
 # A completer
plt.xlabel('Temperature T (K)')
plt.ylabel('Pression p (Pa)')
plt.title('Ecart entre les modeles du gaz parfait et du gaz reel')
plt.grid()
plt.plot(T,  p_parfait, color = 'red', label='Gaz parfait')
plt.plot(T, p_reel, color = 'blue', label='Gaz reel')
plt.legend()
plt.show()

5. Pour les deux gaz étudiés, préciser celui pour lequel le modèle du gaz parfait est le plus en accord avec l'équation d'état des gaz réels.

6. En modifiant les valeurs de V et de n, conclure quant à l'influence de ces paramètres sur l'écart entre les deux modèles.

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Synthèse de l'activité

Dégager une ou plusieurs conditions permettant d'appliquer le modèle du gaz parfait.

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Comparaison avec les gaz réels

Doc. 1Volume dans une enceinte

Doc. 2Interactions entre entités

Doc. 3Équation d'état des gaz parfaits

Doc. 4Quelques gaz

Donnée

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Volume dans une enceinte

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Interactions entre entités

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Équation d'état des gaz parfaits

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