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Physique-Chimie 2de

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MÉTHODE



4
Les angles




A. Exprimer un angle

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Mesure et unités

Un angle (noté θ\theta) s’exprime souvent en degrés (°) ou en radians (rad).
On utilise un rapporteur pour le mesurer.

Un rapporteur

Conversions d’unités

Un tour de cercle complet représente 360° ou 2πrad.2 \pi \mathrm{rad}. On se sert de cette relation de proportionnalité pour convertir les mesures.

Exemple : L’angle mesuré ci-contre est de 35°.
Convertir cette mesure en radians : θ(rad)=35×2π360=0,61rad\theta(\mathrm{rad})=\dfrac{35 \times 2 \pi}{360}=0\text{,}61\, \mathrm{rad}

Convertir une mesure en radians

B. Longueur d’un arc de cercle

Angle quelconque

Le périmètre PP du cercle mesure 2πR2 \pi R et correspond à un angle θ=\theta = 360°.
On se sert de la proportionnalité entre la longueur de l’arc et l’angle.

Exemple : Pour calculer la distance LL parcourue par la Terre en 3 mois (¼ de tour de Soleil, donc un angle de 90°) : R=dTerre-Soleil =150×106R=d_{\text {Terre-Soleil }}=150 \times 10^{6} km

Longueur d'un arc de cercle

l=l = longueur du segment [AB]\text{[AB]}
L=L = longueur de l’arc
θ=\theta = angle au centre délimitant l’arc AB^\widehat{\mathrm{AB}}

Calcul de la distance L parcourue par la Terre en 3 mois


Si l’angle θ\theta est petit

LL est alors très proche de ll : on peut alors considérer que L=l.L = l.
Mesurer directement ll à la règle par exemple.

C. Relations de trigonométrie

Définitions

cos(θ)=adjhyp=ACAB \cos (\theta)=\dfrac{\operatorname{adj}}{\operatorname{hyp}}=\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}

sin(θ)= opp  hyp =BCAB\sin (\theta)=\dfrac{\text { opp }}{\text { hyp }}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}

tan(θ)=sin(θ)cos(θ)=oppadj=BCAC\tan (\theta)=\dfrac{\sin (\theta)}{\cos (\theta)}=\dfrac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}

Faire l’unité d’angle sur la calculatrice.
Relations de trigonométrie

Calculer l’angle à partir de la valeur du cosinus, du sinus ou de la tangente

Utiliser les fonction arccos (aussi écrit cos-1), arcsin (sin-1) ou arctan (tan-1) de la calculatrice (en couleur au dessus des touches cos, sin ou tan.

Accessibles avec la touche
SHIFT
ou
2nde
.

Ex : Si BC=4\text{BC} = 4 cm et AB=6\text{AB} = 6 cm

sin(θ)=BCAB=46=0,67\sin (\theta)=\dfrac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\dfrac{4}{6}=0\text{,}67

θ=sin1(0,67)=42=0,73\theta=\sin ^{-1}(0\text{,}67)=42^{\circ}=0\text{,}73 rad
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