Mathématiques 2de Bac Pro

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Automatismes
Ch. 1
Statistiques à une variable
Ch. 2
Fluctuations d'une fréquence et probabilités
Ch. 3
Résolution d'un problème du premier degré
Ch. 5
Fonctions affines, fonction carré
Ch. 6
Calculs commerciaux et financiers
Ch. 7
Géométrie
Fiches méthodes
Chapitre 4
L'essentiel

Représentation et variations d'une fonction

11 professeurs ont participé à cette page
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1
Différents modes de représentation d'une fonction

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représentation d'un fonction
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Exemple

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [-3 ; 1] ci-dessous. On détermine l'image de -1 et les antécédents de 5 par cette fonction à l'aide de :

  • Son expression algébrique

    f(x)=x^3+3 x^2+1
    f({\color{red}{-1}})=({\color{red}{-1}})^3+3 \times({\color{red}{-1}})^2+1={\color{green}{3}}
    f{\color{red}{(-2)}}=({\color{red}{-2}})^3+3 \times({\color{red}{-2}})^2+1={\color{green}{5}}
    f({\color{red}{1}})=({\color{red}{1}})^3+3 \times({\color{red}{1}})^2+1={\color{green}{5}}

  • Son tableau de valeurs

    x-3-2-101
    f(x)15315

  • Sa courbe représentative

    courbe représentative
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L'image de -1 par la fonction f est 3 car f(-1)=3.
-2 et 1 sont deux antécédents de 5 par la fonction f car f(-2) et f(1)=5.
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2
Variations d'une fonction

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Une fonction f est croissante sur un intervalle [a ; b] si f(x) augmente quand x augmente.

courbe représentative d'une fonction
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Une fonction f est décroissante sur un intervalle [a ; b] si f(x) diminue quand x augmente.

courbe représentative d'une fonction
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Une fonction f est constante sur un intervalle [a ; b] si f(x) ne varie pas quand x augmente.

courbe représentative d'une fonction
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On représente l'allure de la courbe représentative d'une fonction f sur un intervalle \mathrm{I} à l'aide d'un tableau de variations.
  • On appelle minimum de la fonction f sur un intervalle \mathrm{I} la plus petite valeur de f(x) sur cet intervalle.
  • On appelle maximum de la fonction f sur un intervalle \mathrm{I} la plus grande valeur de f(x) sur cet intervalle.
  • On dit qu'une valeur est un extremum de la fonction f sur un intervalle \mathrm{I} si c'est un maximum ou un minimum sur cet intervalle.
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Exemple

On considère une fonction f définie sur l'intervalle [-2 ; 2].

tableau de variations
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intervalle
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  • L'intervalle de définition de la fonction f est [-2 ; 2].
  • La fonction f est croissante sur l'intervalle [-2 ; -1] et sur l'intervalle [1 ; 2].
  • La fonction f est décroissante sur l'intervalle [-1 ; 1].
  • Le maximum de la fonction f sur l'intervalle [-2 ; 2] est 4 : il est atteint lorsque x=-1.
  • Le minimum de la fonction f sur l'intervalle [-2 ; 2] est -2 : il est atteint lorsque x=1.
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3
Situation de proportionnalité et fonction linéaire

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Une situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire, dont l'expression est de la forme f(x)=a xa est le coefficient de proportionnalité. Graphiquement, cette fonction est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.
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Exemples

La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=3 x est une fonction linéaire.
Cette fonction traduit une situation de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est 3.
Fonction
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La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=-2 x est une fonction linéaire.
Cette fonction traduit une situation de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est -2.
Fonction
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Méthode

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Exercice résolu
# Méthode

L'arche d'un pont a la forme d'une parabole s'appuyant sur deux points au sol distants de 100 mètres qui peut être modélisée par la fonction h définie sur l'intervalle [0 ; 100] par h(x)=-0,03 x^2+3 x.
Problématique
Le bateau l'Hermione dont la hauteur est de 56,5 m, peut-il passer sous le pont ?
1. Tracer la courbe représentative de la fonction h, à l'aide des outils numériques et en déduire son tableau de variations sur l'intervalle [0 ; 100].

tableau de variation
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courbe
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2. Répondre à la problématique, en justifiant.

Le bateau « L'Hermione » dont la hauteur est de 56,5 m peut passer sous le pont car la hauteur maximale de l'arche est de 75 m.

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