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A. Nombres relatifs et repérage

1. Définitions

Repérage
Sur une droite graduée orientée, on représente les nombres positifs à droite de zéro et négatifs à gauche de zéro.

Remarques :
  • Le nombre zéro est à la fois de signe positif et négatif.
  • Chaque point sur la droite graduée est associé à un nombre appelé « abscisse » de ce point.

Exemple :

  • L'abscisse du point M est 4,5-4\text{,}5, il est à gauche de 00 donc 4,5<0-4\text{,}5 < 0.
  • Le point N d'abscisse 2-2 est à droite de M donc 2>4,5-2 > -4\text{,}5.

  Définition
On écrit un nombre relatif avec un signe (+ : signe positif ; – : signe négatif) et un nombre appelé « distance à zéro ». Quand le signe nʼest pas mentionné, il sʼagit du signe « + ».

Exemple :
7,8-7\text{,}8 est un nombre relatif :
  • il est négatif (signe « − ») ;
  • sa distance à zéro est 7,87\text{,}8.
  • 13-\dfrac{1}{3} est également un nombre négatif ; sa distance à zéro est 13\dfrac{1}{3}.

Définition
Lʼopposé
dʼun nombre est le nombre de signe contraire qui est à la même distance de zéro.
Exemple :
3,2-3\text{,}2 est lʼopposé de 3,23\text{,}2.
3,23\text{,}2 est lʼopposé de 3,2-3\text{,}2.

Remarques : 
  • Lʼopposé de zéro est zéro.
  • Sur une droite graduée, deux points dʼabscisses opposées sont symétriques par rapport à lʼorigine du repère.

2. Se repérer avec les nombres relatifs 

  Repérage
Pour construire un repère orthonormé du plan :
  • On trace deux axes perpendiculaires :
    • Un axe (Ox), souvent horizontal, orienté vers la droite. Cʼest lʼaxe des abscisses.
    • Un axe (Oy), souvent vertical, orienté vers le haut. Cʼest lʼaxe des ordonnées.
    • Lʼintersection de ces deux axes est lʼorigine du repère, quʼon appelle généralement O.

  • On définit une unité. On place un point I sur lʼaxe des abscisses et un point J sur lʼaxe des ordonnées afin de définir lʼunité de longueur OI = OJ = 1. Ce repère est noté le repère (O, I, J).
Pour placer un point dans un repère, on utilise 22 nombres : lʼabscisse et lʼordonnée. Si un point A a pour abscisse le nombre aa et pour ordonnée le nombre bb, on le note A(a;b)(a ; b).

Exemple :

Le point A(3;2)(3 ; -2) a pour abscisse 3 et pour ordonnée -2.

3. Comparer des nombres relatifs

  Définition
Comparer deux nombres, cʼest dire si lʼun est strictement inférieur ou supérieur à lʼautre, ou sʼils sont égaux.

  Méthode
Ces règles de comparaison sont toujours vraies :
  • Les nombres positifs sont plus grands que les nombres négatifs.
  • Parmi les nombres positifs, le plus grand est celui qui est à la plus grande distance de zéro.
  • Parmi les nombres négatifs, le plus grand est celui qui est à la plus petite distance de zéro.
  • De manière générale, sur une droite graduée orientée vers la droite, le nombre le plus petit est toujours celui qui est le plus à gauche, et le plus grand le plus à droite.

Exemple :
Pour comparer ces nombres, on lit de gauche à droite sur la droite orientée.
On a donc 2,5<1<0<1<3,2-2\text{,}5 < -1 < 0 < 1 < 3\text{,}2.

B. Addition et soustraction

1. Addition

  Méthode
Pour additionner deux nombres relatifs, on procède ainsi :
  • si les deux nombres sont de même signe, alors on conserve le signe commun et on additionne les distances à zéro ;
  • si les deux nombres sont de signes opposés, alors on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.
  J'applique :
Consigne :
Additionnez (3)(-3) et (8)(-8).
Correction :
  • Le signe commun est « - », donc la somme sera un nombre négatif.
  • 3+8=113 + 8 = 11, donc la distance à zéro sera égale à 11.
  • On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
    Donc (8)+(3)=(11)(-8) + (-3) = (-11).

Consigne :
Effectuez lʼaddition de 33 et (7)(-7).
Correction :
  • Les deux distances à zéro sont 3 et 7.
    Le nombre qui est à la plus grande distance à zéro est −7, dont le signe est « − ».
    La somme obtenue sera donc un nombre négatif.
  • 73=47 - 3 = 4, donc la distance à zéro sera égale à 4.
  • On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
    Donc 3+(7)=43 + (-7) = -4.

Remarque : Lʼaddition dʼun nombre et de son opposé donne toujours 00

2. Soustraction

  Méthode
Soustraire un nombre relatif, cʼest additionner son opposé.
a(b)=a+(+b)=a+ba - (-b) = a + (+b) = a + b et ab=a(+b)=a+(b)a - b = a - (+b) = a + (-b).

  J'applique :
Consigne :
Faites la soustraction de (2)(-2) par (7)(-7).
Correction :
  • On veut calculer 2(7)-2 - (-7).
  • Lʼopposé de (7)(-7) est +7+7.
    Donc 2(7)=2+(+7)-2 - (-7) = -2 + (+7)
        =2+7= -2 + 7
        =72= 7 - 2
        =5= 5

Remarques :
  • Lʼaddition est commutative, cʼest-à-dire que lʼon peut additionner dans lʼordre que lʼon veut : a+b=b+aa + b = b + a.
    (3)+5=5+(3)(-3) + 5 = 5 + (-3)
  • La soustraction nʼest pas commutative : abbaa - b \neq b - a.
    73=47 - 3 = 4
    37=43 - 7 = -4
    73377 - 3 \neq 3 - 7
  • Enlever les signes « − », « + », et les parenthèses inutiles dʼune expression, cʼest simplifier son écriture.

C. Multiplication et division

Propriété

La règle des signes : le signe dʼun produit de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs.
  • Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.
  • Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.
Pour obtenir le signe du résultat dʼune division, on applique la même règle que pour la multiplication.

  J'applique :

Consigne :
Quel est le résultat de la multiplication suivante ?
(1)×(4)×2×(0,5)×(7)(-1) \times (-4) \times 2 \times (-0 \text{,} 5) \times (-7)
Correction :
Il y a quatre signes « − ». Puisquʼil y a un nombre pair de nombres négatifs, le résultat est donc positif :
(1)×(4)×2×(0,5)×(7)=1×4×2×0,5×7(-1) \times (-4) \times 2 \times (-0 \text{,} 5) \times (-7) = 1 \times 4 \times 2 \times 0 \text{,} 5 \times 7
                      =28= 28

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
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