Problèmes résolus

Exercice 51 : Quel est le résultat de lʼexpression 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 … + 99 - 100 ?

Seule la méthode du corrigé 2 est utilisable en contrôle. Lʼautre est beaucoup trop longue !

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Quel est le résultat de lʼexpression 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 … + 99 - 100 ? Justifier votre réponse.

Face à un calcul très long, la méthode la plus simple, mais la moins rapide, est de faire le calcul.

On fait le calcul nombre par nombre en faisant attention à ne pas en oublier.
$1-2+3-4+5-6...+99-100=-50$

Face à un calcul très long, on peut également changer lʼexpression numérique pour la rendre plus facile à calculer, notamment en utilisant des astuces ou des éléments du cours, comme la commutativité.

Seule la méthode du corrigé 2 est utilisable en contrôle. Lʼautre est beaucoup trop longue !

• On cherche une particularité de lʼexpression numérique.
  Au début du calcul, on sʼaperçoit que tous les deux chiffres, on se contente de soustraire $1$ :
• $1-2=-1$
• $3-4=-1$
• $5-6=-1$
• ...
• On réécrit l'expression numérique pour utiliser la particularité observée.
  Il y a 100 nombres, donc 50 couples de nombres. La somme de chaque couple vaut $-1$. On peut donc écrire : 
  $(1-2)+(3-4)+...+(99-100)=(-1)\times 50$
• On conclut : 
  $1-2+3-4+5-6+...+99-100=(-1)\times 50$
  $1-2+3-4+5-6+...+99-100=-50$

Exercice 52 : Quel est le résultat de la division ?

Justifiez votre réponse.

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$\frac{(-1)\times (-1)+(-2)\times (-2)+...+(-10)\times (-10)}{1\times 1+2\times 2+...+10\times 10}$