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Problèmes résolus
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Mathématiques - Problèmes résolus


Problèmes résolus




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Exercice 51 : Quel est le résultat de lʼexpression 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 … + 99 - 100 ?

Seule la méthode du corrigé 2 est utilisable en contrôle. Lʼautre est beaucoup trop longue !

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Quel est le résultat de lʼexpression 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 … + 99 - 100 ? Justifier votre réponse.



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Méthode 1

Face à un calcul très long, la méthode la plus simple, mais la moins rapide, est de faire le calcul.

Corrigé 1

On fait le calcul nombre par nombre en faisant attention à ne pas en oublier.
12+34+56...+99100=501 -2 + 3 - 4 + 5 - 6 ... + 99 - 100 = -50

Méthode 2

Face à un calcul très long, on peut également changer lʼexpression numérique pour la rendre plus facile à calculer, notamment en utilisant des astuces ou des éléments du cours, comme la commutativité.

Seule la méthode du corrigé 2 est utilisable en contrôle. Lʼautre est beaucoup trop longue !

Corrigé 2

  • On cherche une particularité de lʼexpression numérique.
    Au début du calcul, on sʼaperçoit que tous les deux chiffres, on se contente de soustraire 11 :
    • 12=11 - 2 = -1
    • 34=13 - 4 = -1
    • 56=15 - 6 = -1
    • ...
  • On réécrit l'expression numérique pour utiliser la particularité observée.
    Il y a 100 nombres, donc 50 couples de nombres. La somme de chaque couple vaut 1-1. On peut donc écrire : 
    (12)+(34)+...+(99100)=(1)×50(1 - 2) + (3 - 4) + ... + (99 - 100) = (-1) \times 50
  • On conclut : 
    12+34+56+...+99100=(1)×501 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 = (-1) \times 50
    12+34+56+...+99100=50 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100 = -50
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Exercice 52 : Quel est le résultat de la division ?

Justifiez votre réponse.

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(1)×(1)+(2)×(2)+...+(10)×(10)1×1+2×2+...+10×10\dfrac{(-1) \times (-1) +(-2) \times (-2) + ... + (-10) \times (-10)}{1 \times 1 + 2 \times 2 + ... + 10 \times 10}



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