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Problèmes résolus

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Foot au parc ou au stade ?

Julia organise un foot avec des amis. Elle hésite entre :
  • Aller au parc. Il faut alors compter 1,50 € de tickets de métro par personne et 14 € pour faire entrer tout le groupe dans le parc.
  • Aller au stade. Il faut alors payer 3 € de tickets de bus par personne, mais une aide de 10 € est apportée par le club.
Méthode 1

Le plus rapide est de modéliser la situation avec une inéquation, puis de résoudre lʼinéquation.
Méthode 2

À lʼaide dʼun tableur, il est très facile de calculer le cout de chaque solution, puis de les comparer à lʼaide dʼun graphique.
Corrigé 1

xx correspond au nombre de participants. Les expressions suivantes donnent le prix de la sortie pour chaque solution :
  • Aller dans un parc coute 14 € en plus des 1,50 € de tickets de métro par personne. Le cout total est donc donné par lʼexpression 1,5x+141\text{,}5x + 14.
  • Aller dans un stade coute 3 € de tickets de bus par personne, mais 10 € seront offerts par le club. Le cout total est donc donné par lʼexpression 3x103x - 10.
Posons lʼinéquation. Nous cherchons à savoir dans quel cas aller au parc coute moins cher que dʼaller au stade. On pose donc lʼinéquation :
1,5x+14<3x101\text{,}5x + 14 < 3x - 10
1,5x1,5x+14+10<3x1,5x10+101\text{,}5x - 1\text{,}5x + 14 + 10 < 3x -1\text{,}5x - 10 + 10
14+10<3x1,5x14 + 10 <3x - 1\text{,}5x
24<1,5x24 < 1\text{,}5x
16<x16 < x
Nous avons donc la relation 1,5x+14<3x101\text{,}5x + 14 < 3x - 10 si 16<x16 < x. Cela signifie quʼaller au parc (1,5x+14)(1\text{,}5x + 14) est moins cher quʼaller au stade (3x10)(3x - 10) sʼil y a strictement plus de 16 participants.
Corrigé 2

Nous avons vu dans le corrigé 1 que le cout de chaque solution peut être modélisé de la façon suivante, avec xx le nombre de participants :
  • Cout dʼaller au parc : 1,5x+141\text{,}5x + 14.
  • Cout dʼaller au stade : 3x103x - 10.
On peut à présent modéliser le problème grâce à un tableur :
Créons un graphique avec toutes les valeurs obtenues.
La courbe bleue croise la rouge au point dʼabscisse 16, puis passe en dessous. Il est donc moins cher dʼaller au parc dès que plus de 16 participants sont présents.
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