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Problèmes résolus

41

Triangles opposés par le sommet.

Dans ces triangles rectangles, DA = 5 cm, DE = 7 cm et AC = 4 cm.
Méthode 1

Pour calculer des longueurs dans deux triangles opposés par le sommet, on peut utiliser la trigonométrie. Il faut avant cela justifier lʼégalité des deux angles qui ont le même sommet A et qui sont formés par deux droites.
Méthode 2

Pour calculer des longueurs dans deux triangles opposés par le sommet, on peut appliquer le théorème de Thalès après avoir justifié le parallélisme des droites qui forment leurs bases respectives.
Corrigé 1
  • On sait que les droites (DE) et (BC) sont perpendiculaires à une même droite, (BD). Elles sont donc parallèles entre elles.
  • Dans le triangle ADE rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
    AE2 = DA2 + DE2
    AE2 = 52 + 72
    AE2 = 25 + 49
    AE2 = 74
Donc AE = 74\sqrt{74}
  • On sait que les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A et que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Dʼaprès le théorème de Thalès :
    ABAD=ACAE=BCDE\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}}
    AB5=474=BC7\dfrac{\text{AB}}{5} = \dfrac{4}{\sqrt{74}} = \dfrac{\text{BC}}{7}
Calcul de AB : AB=2074AB2,3\text{AB} = \dfrac{20}{\sqrt{74}} \text{AB} \approx 2\text{,}3
AB mesure environ 2,3 cm.
Calcul de BC : BC=2874BC3,3\text{BC} = \dfrac{28}{\sqrt{74}} \text{BC} \approx 3\text{,}3
BC mesure environ 3,3 cm.
Corrigé 2
  • On sait que les droites (DE) et (BC) sont perpendiculaires à une même droite, (BD). Elles sont donc parallèles entre elles.
  • Dans le triangle ADE rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
    AE2 = DA2 + DE2
    AE2 = 52 + 72
    AE2 = 25 + 49
    AE2 = 74
Donc AE = 74\sqrt{74}
  • On sait que les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A et que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Dʼaprès le théorème de Thalès :
    ABAD=ACAE=BCDE\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}}
    AB5=474=BC7\dfrac{\text{AB}}{5} = \dfrac{4}{\sqrt{74}} = \dfrac{\text{BC}}{7}
Calcul de AB : AB=2074AB2,3\text{AB} = \dfrac{20}{\sqrt{74}} \text{AB} \approx 2\text{,}3
AB mesure environ 2,3 cm.
Calcul de BC : BC=2874BC3,3\text{BC} = \dfrac{28}{\sqrt{74}} \text{BC} \approx 3\text{,}3
BC mesure environ 3,3 cm.
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