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Exercices Pour s'entraîner
P.308-310

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Exercices




Pour s'entraîner


20
À vélo

RAI/ANA : Construire un raisonnement

Cycliste

Une valve de vélo, située à 55 cm du centre de la roue, tourne à une vitesse de 200 tr·min-1. La vitesse de déplacement du vélo est supposée constante.

1. Déterminer la vitesse de la valve en (m·s-1) dans le référentiel lié au cadre du vélo.


2. En déduire son accélération en (m·s-2).


Donnée
  • Expression du périmètre pp d’un cercle de rayon rr : p=2 πrp = 2 \ \pi \cdot r
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21
Mouvement circulaire uniforme

APP : Maîtriser le vocabulaire du cours

Une voiture roule à une vitesse constante de 72 km·h-1 sur une piste circulaire de 100 m de rayon.

1. Déterminer l’accélération de la voiture.


2. Réaliser un schéma sur lequel on représentera pour un point M\text{M} quelconque :
  • sa position à l’échelle 1,0 cm ↔ 50 m ;
  • son vecteur vitesse à l’échelle 1,0 cm ↔ 10 m·s‑1 ;
  • son vecteur accélération à l’échelle 1,0 cm ↔ 2,0 m·s‑2.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. Déterminer la période T du mouvement.
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22
Position d'arrêt

APP : Maîtriser le vocabulaire du cours

Le mouvement d’un mobile se déplaçant en ligne droite est représenté ci-dessous.

Représentation graphique du mouvement d'un mobile

1. Déterminer l’équation horaire x(t)x(t).


2. Déterminer l’équation horaire vx(t)v_x(t).


3. Qualifier le mouvement du mobile à l’aide du vocabulaire adéquat.


4. Déterminer la position du mobile au bout de 10,0 s.
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Comprendre les attendus

23
Saut à l'élastique

RAI/ANA : Construire un raisonnement

Le mouvement d’un sauteur à l’élastique équipé de son harnais de sécurité est étudié dans le référentiel terrestre. L’évolution de l’altitude z(t)z(t) en fonction du temps est représentée ci-dessous.

Représentation de l'évolution de l'altitude z(t)

1. Par lecture graphique, déterminer :
  • la hauteur du pont z0z_0 ;
  • la hauteur de chute minimale hmin ;
  • la hauteur finale atteinte hf.


2. En s’appuyant sur le graphique, expliquer la méthode pour déterminer la vitesse verticale initiale de chute notée v0v_0. Déterminer v0v_0.


3. L’accélération a(t)a(t) est constante lors de la première phase et sa composante vaut a=10a = -10 m·s-2. Montrer que la vitesse v(t)v(t) peut alors se mettre sous la forme :
v(t)=at+v0v(t) = a \cdot t + v_0


4. Montrer que l’équation horaire z(t)z(t) prend la forme :
z(t)=a2t2+v0t+z0z(t) = \dfrac{a}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot t + z_0


5. Déterminer la nature de cette première phase du mouvement. En déduire les points parmi S0, S1, S2, S3 et S4 appartenant à cette première phase.


Détails du barème

TOTAL / 5 pts
1. Lire les valeurs sur un graphique.
0,5 pt
2. Déterminer graphiquement la vitesse v0v_0.
1 pt
3. Déterminer v(t)v(t) à partir de aa.
1,5 pt
4. Déterminer z(t)z(t).
1 pt
Vérifier l’expression de z(t)z(t).
0,5 pt
5. Caractériser un mouvement.
0,5 pt
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24
Course poursuite en QCM

REA/MATH : Intégrer

Voiture de gendarmerie sur l'autoroute

Une voiture roule en ligne droite sur l’autoroute à la vitesse constante v1=144v_1 = 144 km·h-1, alors que la vitesse est limitée à vlimite=130v_\text{limite} = 130 km·h-1.
Une voiture de gendarmerie démarre au moment où la voiture en excès de vitesse la dépasse, avec une accélération constante telle qu’elle atteint v2=180v_2 = 180 km·h-1 en 15,0 s. Une fois à 180180 km·h-1, le gendarme maintient cette vitesse jusqu’à rattraper la voiture en excès de vitesse.
On choisit comme origine de l’axe (Ox)(\text{O}_x) la position de la voiture de gendarmerie à l’arrêt.

1. L’équation horaire de la voiture en excès de vitesse correspond à :




2. La vitesse initiale de la voiture de gendarmerie est :




3. L’accélération de la voiture de la gendarmerie est égale à :




4. Pendant la phase d’accélération, l’équation horaire de la voiture de gendarmerie correspond à :







5. Au bout de 15,0 s de poursuite, la voiture en excès de vitesse est :




6. Entre le moment où la voiture de gendarmerie démarre et celui où elle arrive au niveau du contrevenant, il s’est écoulé :




7. Au moment où la voiture en excès de vitesse est rattrapée, les deux voitures ont parcouru :


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25
Copie d’élève à commenter

VAL : Faire preuve d’esprit critique

Proposer une justification pour chaque erreur relevée par le correcteur.

Un objet, assimilé à un point matériel noté M, est suivi par l’intermédiaire de ses coordonnées cartésiennes et d’un repère orthonormé (O,i,j)(\text{O}\:,\overrightarrow{i}\:,\overrightarrow{j}) selon les équations horaires :

OM  (x(t)=a2t2+v0xty(t)=v0yt+h)(O, i, j)\overrightarrow{\text{OM}} \; \bigg(\begin{array}{l} x(t) = - \dfrac{a}{2} \cdot t^2 + v_{0x} \cdot t \\ y(t) = v_{0y} \cdot t + h \end{array}\bigg)_{(\text{O},\ \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j})}

avec a=10,0a = 10{,}0 m·s-2, v0x=8,0v_{0x} = 8{,}0 m·s-1, v0y=5,0v_{0y} = 5{,}0 m·s-1 et h=2,0h = -2{,}0 m.

1. Préciser la position initiale du point M.

À t0=0t_0 = 0 s, x(t0)=0x(t_0) = 0 m et y(t0)=0\xcancel{y(t_0) = 0} m.



2. Établir les coordonnées du vecteur vitesse.

Il faut dériver x(t)x(t) et y(t)y(t) par rapport au temps pour trouver les coordonnées du vecteur vitesse :

vx(t)=dxdtv_x(t) = \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}

vx(t)=a2t+v0x\xcancel{v_x(t) = - \dfrac{a}{2} \cdot t + v_{0x}}

vy(t)=dydtv_y(t) = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}t}

vy(t)=h\xcancel{v_y(t) = h}



3. Déterminer la valeur initiale de la vitesse.

La vitesse initiale s’obtient en exprimant les coordonnées du vecteur vitesse en t0=0t_0 = 0 s :

vx(t0)=0+v0xv_x(t_0) = 0 + v_{0x}
AN : vx(t0)=8,0v_x(t_0) = 8{,}0 m·s-1

vy(t0)=h\xcancel{v_y(t_0) = h}
AN : vy(t0)=2,0\xcancel{v_y(t_0) = 2{,}0} m·s-1

v0=vx(t0)+vy(t0)\xcancel{v_0 = v_x(t_0) + v_y(t_0)}
AN : v0=8,0+2,0=10,0\xcancel{v_0 = 8{,}0 + 2{,}0 = 10{,}0} m·s-1



4. Établir les coordonnées du vecteur accélération.

L’accélération s’obtient en dérivant la vitesse :

ax=dvx(t)dta_x = \dfrac{\text{d}v_x(t)}{\text{d}t}

ax(t)=a2\xcancel{a_x(t) = - \dfrac{a}{2}}

ay=dvy(t)dta_y = \dfrac{\text{d}v_y(t)}{\text{d}t}

ay(t)=0\xcancel{a_y(t) = 0} m·s-1

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26
Interprétations graphiques (1)

REA/MATH : Intégrer

Le suivi temporel de la vitesse d’un point mobile M\text{M} est représenté ci-dessous. Le point M\text{M} est animé d’un mouvement rectiligne sur l’axe (Ox)(\text{O}x). À t=0t = 0 s, M\text{M} est à l’arrêt au point d’abscisse x0=0x_0 = 0 m.

Représentation du suivi temporel de la vitesse d’un point mobile

1. Caractériser le mouvement en le découpant en trois phases :
  • phase 1 : de 0 à 2 s.
  • phase 2 : de 2 s à 5 s.
  • phase 3 : de 5 s à 9 s.


2. Pour chaque phase, déterminer :

a. l’équation horaire v(t)v(t) ;

b. l’équation horaire de position x(t)x(t) ;

c. la distance parcourue lors de cette phase ;

d. l’aire sous la courbe de la vitesse.


3. Déduire des réponses précédentes la distance totale parcourue par le point M\text{M} entre 0 s et 9 s. Comparer cette valeur avec l’aire sous la courbe.
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27
Interprétations graphiques (2)

APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

Deux automobiles A1A_1 et A2A_2 se croisent sur une autoroute parfaitement rectiligne. Leurs coordonnées de position, notées respectivement x1(t)x_1(t) et x2(t)x_2(t) et exprimées en (km), sont représentées ci‑dessous :

Représentation des positions des automobilistes

Préciser, en le justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

a. A1A_1 roule dans le sens des xx croissants.


b. A2A_2 roule dans le sens des xx décroissants.


c. À l’instant initial, A1A_1 et A2A_2 sont distantes de 10 m.


d. À l’instant initial, A1A_1 et A2A_2 sont à l’arrêt.


e. x2(t)=at+bx_2(t) = -a \cdot t + b avec a=25a = 25 m·s-1 et b=10b = 10 km.


f. A1A_1 et A2A_2 ont des mouvements uniformes.


g. A1A_1 et A2A_2 se croisent environ trois minutes après le lancement du chronomètre de A1A_1.


h. A1A_1 roule à 108 km·h-1.


Photographie de véhicules sur l'autoroute
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28
Ballon-sonde

REA/MATH : Intégrer

Définition
Un ballon-sonde est un ballon à gaz utilisé dans les domaines de la météorologie et de l’astronautique. Il s’agit d’un ballon libre non habité, utilisé pour faire des mesures locales dans l’atmosphère grâce à un certain nombre d’instruments à bord, dans une nacelle appelée radiosonde [...]. Le ballon-sonde a été inventé par Gustave Hermite en 1892.
Son principal intérêt est de pouvoir atteindre des altitudes d’au moins 35 km, le record étant de 53 km, difficile à obtenir avec des moyens plus conventionnels tels que les avions, et à un coût bien inférieur à une fusée‑sonde ou un satellite.

« Ballon-sonde », wikipedia.org.

Ballon-sonde



Lors d’un lâcher, un ballon-sonde a une vitesse verticale constante v0v_0 tout au long de son ascension. Le vent emporte le ballon-sonde à la vitesse horizontale vx(t)=kz(t)v_x(t) = k \cdot z(t), proportionnelle à l’altitude du ballon.
L’étude du mouvement du centre du ballon-sonde s’effectue dans le repère galiléen (O,i,j)(\text{O}\:,\overrightarrow{i}\:,\overrightarrow{j}).

1. Déterminer l’équation horaire z(t)z(t).


2. À l’aide de vx(t)v_x(t), déterminer x(t)x(t).


3. Déterminer les composantes du vecteur accélération a(t)\overrightarrow{a}(t).
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Supplément numérique
A
Mouvement circulaire

REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

Un point mobile M décrit une trajectoire circulaire, de centre C\text{C} (3 m ; -1 m), dont les coordonnées cartésiennes respectent les équations horaires suivantes :

OM(x(t)=xC+Rcos(ωt)y(t)=yC+Rsin(ωt))(O, i, j)\overrightarrow{\text{OM}} \begin{pmatrix} x(t) = x_\text{C} + R \cdot \cos(\omega \cdot t) \\ y(t) = y_\text{C} + R \cdot \sin(\omega \cdot t) \end{pmatrix}_{(\text{O}, \ \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j})}

Préciser, en le justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
    a. Les conditions initiales de position sont (3 m ; -1 m).

    b. La composante vx(t)v_x(t) de la vitesse s’exprime selon vx(t)=Rωcos(ωt)v_x(t) = R \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t).

    c. Le mouvement est uniforme.

    d. La valeur de l’accélération est constante et égale à a=Rωa = R \cdot \omega.

    e. Le vecteur a(t)\overrightarrow{a}(t) pointe vers l’origine O\text{O} du repère.

    f. Si le rayon de la trajectoire circulaire est R=2,0R = 2{,}0 cm et ω=0,35\omega = 0{,}35 rad·s-1, la valeur de la vitesse est alors égale à v=0,70v = 0{,}70 m·s-1.

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