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Exercices Objectif Bac
P.311-312

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Objectif
Pictogramme de Bac





Comprendre les attendus
Pictogramme calculatrice non autorisée

29
Lancement d’un satellite météorologique

REA/MATH : Intégrer
APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

D’après le sujet Bac S, Métropole, 2008.

Pour ce lancement, la fusée Ariane 5 a une masse totale mm. Sa propulsion est assurée par un ensemble de dispositifs fournissant une force de poussée verticale constante. On étudie le mouvement du système {fusée} dans le référentiel terrestre et on choisit un repère (O,i)(\text{O}\:,\overrightarrow{i}) dans lequel j\overrightarrow{j} est un vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut et porté par l’axe (Oy)(\text{O}y).
À l’instant t0=0t_0 = 0 s, Ariane 5 est immobile. On assimile son étude à celle d’un point M, confondu avec l’origine O\text{O} au moment du décollage. La valeur de l’accélération aa est donnée par la formule :
Ma=FMgM \cdot a = F - M \cdot g

Pendant le lancement, on suppose que la valeur de l’accélération reste constante. La trajectoire ascensionnelle de la fusée reste verticale jusqu’à la date t1=6,0t_1 = 6,0 s.

1. Montrer que a=6,0a = 6{,}0 m·s-2 et donner le sens du vecteur a\overrightarrow{a}.


2. Déterminer l’équation horaire de la valeur v(t)v(t) de la vitesse.


3. En déduire l’équation horaire de la valeur y(t)y(t) de la position.


4. Déterminer la distance parcourue par la fusée depuis son décollage.


Données

    • Rapport entre l’intensité de la poussée et la masse totale de la fusée  : Fm=15,8\dfrac{F}{m} = 15{,}8 N·kg-1
    • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9{,}81 N·kg-1



Détails du barème

TOTAL / 5 pts
1. Calculer aa sans utiliser la calculatrice.
1 pt
Préciser le sens de aa.
0,5 pt
2. Exprimer v(t)v(t).
1,5 pt
3. Exprimer y(t)y(t).
1,5 pt
4. Calculer l’ascension de la fusée.
0,5 pt
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30
Lancer de poids

APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle
COM : Rédiger correctement une résolution d’exercice
D’après le sujet Bac S, Nouvelle-Calédonie, 2004.

Lors des Championnats du monde d’athlétisme qui ont eu lieu à Paris en août 2003, le vainqueur de l’épreuve du lancer du poids, Andrei Mikhnevich, a réussi un jet à une distance d=21,69d = 21{,}69 m.
L’entraîneur de l’un de ses concurrents souhaite étudier ce lancer. Pour cela, il dispose pour le centre d’inertie du boulet, en plus de la valeur 21,69 m du record, de la vitesse initiale v0v_0 mesurée à l’aide d’un cinémomètre et de l’altitude hh.

Représentation d'un lancer de poids

L’entraîneur a étudié le mouvement du boulet et a obtenu trois graphes :
  • le graphe de la trajectoire y=f(x)y = f(x) du boulet ;
Graphe de la trajectoire y = f(x) du boulet
  • les graphes de vx(t)v_x(t) et de vy(t)v_y(t) en fonction du temps ttvx(t)v_x(t) et vy(t)v_y(t) sont les coordonnées horizontale et verticale du vecteur vitesse v(t)\overrightarrow{v}(t).

Données

  • Vitesse initiale du boulet : v0=13,8v_0 = 13{,}8 m⋅s-1
  • Hauteur initiale du lancer : h=2,62h = 2{,}62 m
  • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9{,}81 N⋅kg-1

Graphes de vx(t) et vy(t)

I. Étude de la projection horizontale du mouvement du boulet

1. Déterminer la composante v0xv_{0x} du vecteur vitesse du boulet à l’instant de date t0=0t_0 = 0 s


2. Caractériser la nature du mouvement de la projection sur l’axe (Ox)(\text{O}x) en justifiant la réponse.


3. Déterminer la composante vSxv_{\text{S}x} du vecteur vitesse lorsque le boulet est au sommet S de sa trajectoire.


II. Étude des conditions initiales du lancer

1. En utilisant la figure 2, déterminer la composante v0yv_{0y} du vecteur vitesse à l’instant t0=0t_0 = 0 s.


2. À partir des résultats précédents, vérifier que la valeur de la vitesse initiale et celle de l’angle de tir soient compatibles avec les valeurs respectives v0=13,8v_0 = 13{,}8 m·s–1 et α=43\alpha = 43°.


III. Étude du vecteur vitesse du boulet

1. Déterminer toutes les caractéristiques du vecteur vitesse du boulet au sommet de la trajectoire.


2. Reproduire, à main levée et sans souci d’échelle, le graphe y=f(x)y = f(x), puis représenter :
  • le vecteur vitesse du boulet à l’instant du lancer ;
  • le vecteur vitesse du boulet au sommet de la trajectoire.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

IV. Étude théorique du mouvement

L’accélération du boulet admet comme coordonnées en fonction du temps :

a(t)(ax(t)=0ay(t)=g)(O, i, j)\overrightarrow{a}(t) \bigg(\begin{array}{l} a_x(t) = 0 \\ a_y(t) = -g \end{array}\bigg)_{(\text{O}, \ \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j})}

1. Dans le repère d’espace défini en introduction, montrer que les équations horaires de la vitesse s’expriment sous la forme :

v(t)(vx(t)=v0cos(α)vy(t)=gt+v0sin(α))(O, i, j)\overrightarrow{v}(t) \bigg(\begin{array}{l} v_x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \\ v_y(t) = -g \cdot t + v_0 \cdot \sin(\alpha) \end{array}\bigg)_{(\text{O}, \ \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j})}
v0v_0 : vitesse initiale du jet (m·s-1)
α\alpha : l'angle de tir (°)



2. Dans le repère d’espace défini en introduction, montrer que les équations horaires du mouvement s’expriment sous la forme :

x(t)=v0cos(α)tx(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t
y(t)=12gt2+v0sin(α)t+hy(t) = - \dfrac{1}{2}g \cdot t^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t + h


L’équation de la trajectoire y(x)y(x) s’obtient en isolant tt dans l’équation horaire x(t)x(t), puis en remplaçant tt par sa nouvelle forme dans l’équation horaire y(t)y(t).

3. Vérifier ainsi que l’équation de la trajectoire est de la forme :
y(x)=gx22 v02cos(α)2+tan(α)x+hy(x) = - \dfrac{g \cdot x^2}{2\ v_0^2 \cdot \cos(\alpha)^2} + \tan(\alpha) \cdot x + h


4. En déduire la position théorique atteinte par le boulet lorsqu’il touche le sol avec les conditions initiales précédemment évoquées : v0=13,8v_0 = 13{,}8 m·s–1, h=2,62h = 2{,}62 m et α=43\alpha = 43°.


V. Amélioration des performances du lancer

L’entraîneur veut ensuite savoir sur quel(s) paramètre(s) il peut travailler pour améliorer la performance de l’athlète. L’entraîneur décide donc d’étudier l’influence de la valeur v0v_0 de la vitesse initiale du lancer et de l’angle de tir α\alpha. Il réalise des séries de simulations rassemblées dans les réseaux de courbes correspondants aux graphiques suivants :

Graphique pour v0

L’angle de tir est maintenu constant, soit α=41\alpha = 41 °.

Graphique pour α

La vitesse est maintenue constante, soit v0=13,8v_0 = 13{,}8 m·s–1

Confronter les graphiques précédents pour en déduire si, parmi les combinaisons proposées, il en existe une satisfaisante pour battre le record du monde. Justifier la réponse.
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