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Problème
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Problème





31
Optique au secours de la cinématique

RAI/ANA : Construire un raisonnement
COM : Rédiger correctement une résolution d’exercice

Un sauveteur en mer, assimilé à un point A\text{A}, aperçoit un touriste, assimilé à un point B\text{B}, qui se noie. Il se met alors à courir dans sa direction sur la plage à la vitesse constante vv, puis nage à la vitesse αv\alpha \cdot v avec α<1\alpha \lt 1, ce qui confère au sauveteur une vitesse de nage en mer plus faible. Le sauveteur doit optimiser le trajet emprunté pour secourir le plus rapidement possible le touriste en train de se noyer.

Questions préliminaires

1. Exprimer la durée de course sur le sable, notée Δtsable\Delta t_{\text{sable}}, en fonction de yA, xy_\text{A},\ x et vv.


2. Exprimer la durée de nage en mer, notée Δtmer\Delta t_{\text{mer}}, en fonction de xB, yB, xx_\text{B},\ y_\text{B}, \ x et αv\alpha \cdot v.


Problème

3. Établir la relation entre les angles i1i_1 et i2i_2 pour que la durée du trajet du sauveteur soit minimale.
Voir les réponses

Doc. 1
Principe de Fermat pour sauveteur en mer

Le principe de Fermat est un principe physique qui sert de fondement à l’optique géométrique. Il décrit la forme du chemin optique d’un rayon lumineux. Il s’énonce ainsi :
« La lumière se propage d’un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit minimale. »
Pour faire simple : la nature est fainéante et emprunte les voies les plus rapides pour rallier un point A\text{A} à un point B\text{B}.
Dans notre situation, le sauveteur doit se comporter comme la lumière et avoir une durée de parcours minimale pour rallier A\text{A} à B\text{B}.

Doc. 2
Schématisation de la situation

Schématisation de la situation

Doc. 3
Formulaire mathématique

Une fonction admet un extremum (maximum ou minimum) lorsque sa dérivée s’annule.

La fonction f(x)=ag(x)f(x) = a \cdot \sqrt{g(x)} admet comme dérivée :

f(x)=ag(x)2g(x)f'(x) = a \cdot \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}

Supplément numérique

Retrouvez un autre problème sur la plage en cliquant ici.

Retour sur la problématique du chapitre


32
Accélération en rotation

RAI/ANA : Construire un raisonnement

En novembre 2016, Thomas Pesquet confiait avant son départ : « À la Cité des étoiles, la centrifugeuse est utilisée pour reproduire les accélérations que nous subirons dans le Soyouz [...]. Le but est de vérifier que nous restons en possession de nos moyens, sous des accélérations de plus en plus grandes. Jusqu’à 9 gg (on pèse alors 9 fois notre poids) ! À ces accélérations, on a le visage déformé, et il faut bloquer sa cage thoracique pour ne pas qu’elle s’écrase. »

Propos recueillis par David Fossé, Ciel & Espace.

1. Calculer la vitesse de Thomas Pesquet lorsqu’il subit l’accélération maximale.


2. Lors d’un mouvement rectiligne, avec un départ arrêté, déterminer la vitesse atteinte par un spationaute à l’entraînement subissant une accélération de 9 gg en 1,0 s.


3. Expliquer quel est l’intérêt d’un entraînement en mouvement circulaire.
Voir les réponses

Données

  • Accélération correspondant à 1 gg : a1 g=9,81a_{\text{1 g}} = 9{,}81 m·s-2
  • Longueur du bras de la centrifugeuse : R=18R = 18 m

Photographie de Thomas Pesquet

Supplément numérique

Retrouvez une vidéo de l'astronaute Chris Hadfield dans une centrifugeuse en cliquant ici.
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