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P.298-301

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Chapitre 11


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1
Référentiel et nature du mouvement
(⇧)


Pour simplifier l’étude du mouvement d’un système, on s’intéresse uniquement aux coordonnées d’un point matériel, noté M\text{M}.

Un référentiel est un objet pris comme référence pour la description du mouvement associé à un repère. Il permet de définir les positions lors de l’étude.
Un repère est défini par un point d’origine O\text{O} auquel est associée une base orthonormée.


L’association d’une horloge est nécessaire pour pouvoir étudier l’évolution temporelle du mouvement.

Pas de malentendu

Un référentiel n’est pas un repère et vice versa.

Un référentiel est un objet pris comme référence.

Un repère est une base vectorielle munie d’une origine.

Doc. 1
Étude du mouvement de la Lune

Photographie satellite de la Terre et de la Lune

Le mouvement de la Lune peut être étudié dans un référentiel géocentrique.

2
Position, vitesse et accélération
(⇧)


A
Vecteur position

Dans l’espace, le point M\text{M} se repère à l’aide du vecteur position OM(t)\overrightarrow{\text{OM}}(t) dont les coordonnées cartésiennes sont notées :

OM(t)(x(t)y(t)z(t))(O, i, j, k)\overrightarrow{\text{OM}}(t) \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}_{(\text{O}, \ \overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j}, \ \overrightarrow{k})}
x(t)x(t) : abscisse du point M
y(t)y(t) : ordonnée du point M
z(t)z(t) : altitude du point M


L’ensemble des positions occupées par le point M au cours du temps constitue la trajectoire. De nombreux mouvements peuvent être ramenés à une étude plane, c’est-à-dire à deux dimensions.

Dans ces cas-là, on exprimera simplement :

OM(t)(x(t)y(t))(O, i, j)\overrightarrow{\text{OM}}(t) \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}_{(\text{O}, \ \overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j})}

B
Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée du vecteur position :

v=dOMdt\overrightarrow{v} = \dfrac{\text{d} \overrightarrow{\text{OM}}}{\text{d}t}


a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, les coordonnées du vecteur vitesse vv sont définies comme les dérivées temporelles des coordonnées du vecteur position :

v(t)(vx(t)=dxdtvy(t)=dydtvz(t)=dzdt)(O, i, j, k)\overrightarrow{v}(t) \begin{pmatrix} v_x(t) = \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} \\ v_y(t) = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} \\ v_z(t) = \dfrac{\text{d}z}{\text{d}t} \end{pmatrix}_{(\text{O}, \ \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j}, \ \overrightarrow{k})}


La norme vv de v\overrightarrow{v} à la date tt est donnée par la relation :

v=vx2+vy2+vz2v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}

b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements circulaires, l’étude cinématique du point M\text{M} en coordonnées cartésiennes est complexe et fait intervenir les fonctions trigonométriques. Le repère de Frenet, centré sur M, permet de contourner cette difficulté. On lui associe deux vecteurs :

T\overrightarrow{T} : vecteur unitaire tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement ;
N\overrightarrow{N} : vecteur unitaire, orthogonal à la trajectoire et dirigé vers le centre de la courbure.

Dans le repère de Frenet, le vecteur vitesse v(t)\overrightarrow{v}(t) s’exprime :

v(t)(v(t)0)(M, T, N)\overrightarrow{v}(t) \begin{pmatrix} v(t) \\ 0 \end{pmatrix}_{(\text{M}, \ \overrightarrow{T}, \ \overrightarrow{N})}

C
Vecteur accélération

Le vecteur accélération est défini comme la dérivée temporelle du vecteur vitesse et par conséquent comme la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps :

a=dvdt=d2OMdt2\overrightarrow{a} = \dfrac{\text{d} \overrightarrow{v}}{\text{d}t} = \dfrac{\text{d}^2 \overrightarrow{\text{OM}}}{\text{d}t^2}


a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, le vecteur accélération a(t)\overrightarrow{a}(t) correspond à :

a(t)(ax(t)ay(t)az(t))(O, i, j, k)\overrightarrow{a}(t) \begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \end{pmatrix}_{(\text{O}, \ \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j}, \ \overrightarrow{k})}


Ces coordonnées correspondent aux dérivées temporelles des coordonnées de la vitesse ou comme les dérivées secondes des coordonnées du vecteur position :

a(t)(ax(t)=dvxdtay(t)=dvydtaz(t)=dvzdt)(O, i, j, k)=(ax(t)=d2xdt2ay(t)=d2ydt2az(t)=d2zdt2)(O, i, j, k)\overrightarrow{a}(t) \begin{pmatrix} a_x(t) = \dfrac{\text{d}v_x}{\text{d}t} \\ a_y(t) = \dfrac{\text{d}v_y}{\text{d}t} \\ a_z(t) = \dfrac{\text{d}v_z}{\text{d}t} \end{pmatrix}_{(\text{O}, \ \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j}, \ \overrightarrow{k})} = \begin{pmatrix} a_x(t) = \dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} \\ a_y(t) = \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}t^2} \\ a_z(t) = \dfrac{\text{d}^2z}{\text{d}t^2} \end{pmatrix}_{(\text{O}, \ \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j}, \ \overrightarrow{k})}


La norme du vecteur accélération se calcule à partir de :

a=ax2+ay2+az2a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}


b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements étudiés dans le repère de Frenet, l’accélération possède deux composantes :

  • une composante tangentielle aTa_\text{T} qui caractérise les variations temporelles de la valeur de la vitesse ;
  • une composante normale aNa_\text{N} liée à la vitesse et à la géométrie de la trajectoire, qui caractérise les variations temporelles de direction du vecteur vitesse.

a=dvdtT+v2RN\overrightarrow{a} = \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} \cdot \overrightarrow{T} + \dfrac{v^2}{R} \cdot \overrightarrow{N} ou a(dvdtv2R)(M, T, N)\overrightarrow{a} \begin{pmatrix} \dfrac{\text{d}v}{\text{d}t} \\ \dfrac{v^2}{R} \end{pmatrix}_{(\text{M}, \ \overrightarrow{T}, \ \overrightarrow{N})}
RR : rayon de la trajectoire circulaire (m)

Doc. 2
Vecteur position

Représentation graphiue du vecteur position

La position du point M\text{M} évolue au cours du temps : la trajectoire se dessine peu à peu.

Doc. 3
Notation des vecteurs

Parfois, le vecteur position peut être exprimé de manière plus compacte comme une combinaison linéaire des vecteurs i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j} et k\overrightarrow{k} :

OM(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k\overrightarrow{\text{OM}}(t) = x(t) \cdot \overrightarrow{i} + y(t) \cdot \overrightarrow{j} + z(t) \cdot \overrightarrow{k}

De la même manière, on pourra également utiliser ce type de notation pour les vecteurs vitesse et accélération.

Pas de malentendu

La notation dfdt\dfrac{\text{d}f}{\text{d}t} est équivalente à la notation f(t)f'(t) en mathématiques.

Doc. 4
Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse moyen vmoy\overrightarrow{v}_\text{moy} correspond au rapport entre la variation du vecteur position et la durée de la variation :

vmoy=OM(t+Δt)OM(t)Δt\overrightarrow{v}_\text{moy} = \dfrac{\overrightarrow{\text{OM}}(t + \Delta t) - \overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\Delta t}

En considérant une durée infiniment faible, on aboutit à la notion de dérivée :

v=limΔt0OM(t+Δt)OM(t)Δt\overrightarrow{v} = \lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{\overrightarrow{\text{OM}}(t + \Delta t) - \overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\Delta t}

v=dOM(t)dt\overrightarrow{v} = \dfrac{\text{d}\overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\text{d}t}

Pas de malentendu

Norme, valeur et intensité sont des synonymes couramment employés.

La norme d’un vecteur est toujours positive, tandis que la composante d’un vecteur peut être positive ou négative.

Doc. 5
Lancer de marteau

Kibwé Johnson lançant un marteau

Kibwé Johnson, champion de lancer de marteau de l’USATF en 2014, exerce une action mécanique mettant le boulet en mouvement circulaire.

Doc. 6
Vecteur vitesse dans le repère de Frenet

Représentation du vecteur vitesse dans le repère de Frenet

Doc. 7
Vecteur accélération dans le repère de Frenet

Représentation du vecteur accélération dans le repère de Frenet

Pas de malentendu

Les notations vx(t)v_x(t) et dxdt\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} sont équivalentes.

Elles représentent la composante du vecteur vitesse v\overrightarrow{v} sur l’axe (Ox)(\text{O}_x).

Elles peuvent être positives (M\text{M} se déplace dans le sens de i\overrightarrow{i}) ou négatives (M\text{M} se déplace à l’opposé de i\overrightarrow{i}).

Il en est de même pour les composantes sur les axes (Oy)(\text{O}y) et (Oz)(\text{O}z).

3
Études de quelques cas courants
(⇧)


A
Mouvements rectilignes

La trajectoire d’un mouvement rectiligne est une droite. En conséquence, le repère (O, i\overrightarrow{i}, j\overrightarrow{j}, k\overrightarrow{k}) se réduit au seul axe (Ox)(\text{O}x) de vecteur unitaire i\overrightarrow{i} pour un mouvement horizontal. Les descripteurs du mouvement sont donc réduits à leur seule composante suivant l’axe (Ox)(\text{O}x) :

OM(t)=x(t)i\overrightarrow{\text{OM}}(t) = x(t) \cdot \overrightarrow{i}
v(t)=vx(t)i=dxdti\overrightarrow{v}(t) = v_x(t) \cdot \overrightarrow{i} = \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} \cdot \overrightarrow{i}
a(t)=ax(t)i=dvxdti=d2xdt2i\overrightarrow{a}(t) = a_x(t) \cdot \overrightarrow{i} = \dfrac{\text{d}v_x}{\text{d}t} \cdot \overrightarrow{i} = \dfrac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} \cdot \overrightarrow{i}


a. Mouvement rectiligne uniforme

Un mouvement rectiligne est dit uniforme si et seulement si v\overrightarrow{v} est constant au cours du temps (v=cste\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\text{cste}}).


Ainsi, dans le cas du mouvement rectiligne uniforme, on peut écrire :

v(t)=vxi\overrightarrow{v}(t) = v_x \cdot \overrightarrow{i}

Le vecteur accélération a\overrightarrow{a} d’un mouvement rectiligne uniforme est un vecteur nul :

a=dvxdti=0i=0\overrightarrow{a} = \dfrac{\text{d}v_x}{\text{d}t} \cdot \overrightarrow{i} = 0 \cdot \overrightarrow{i} = \overrightarrow{0}


Pour les mouvements rectilignes, la coordonnée x(t)x(t) a quant à elle pour forme :

x(t)=vt+x0x(t) = v \cdot t + x_0
x0x_0 : coordonnée initiale du système (m)
Cette équation peut être déduite à partir de la recherche d’une primitive de v(t)v(t).
➜ Fiche méthode 5, p. 590

b. Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Un mouvement rectiligne est dit uniformément accéléré si et seulement si a(t)\overrightarrow{a}(t) est constant au cours du temps :
a(t)=axi\overrightarrow{a}(t) = a_x \cdot \overrightarrow{i}


Cette accélération constante implique que la vitesse vx(t)v_x(t) s’exprime :

vx(t)=at+v0v_x(t) = a \cdot t + v_0
v0v_0 : vitesse initiale du système (m·s-1)
Quant à la coordonnée x(t)x(t), celle-ci a pour expression :

x(t)=a2t2+v0t+x0x(t) = \dfrac{a}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0
x0x_0 : coordonnée initiale du système (m)
Les deux équations horaires précédentes peuvent être déterminées par la recherche de primitives en identifiant les constantes d’intégration à l’aide des conditions initiales du mouvement.

B
Mouvements circulaires uniformes

Dans le cas du mouvement circulaire uniforme, quelques simplifications s’opèrent sur les coordonnées de l’accélération dans le repère de Frenet :
    • la composante tangentielle de l’accélération aT(t)a_\text{T}(t) est nulle, car v(t)=vv(t) = v est constante. On a donc aT=0a_\text{T} = 0 m·s-2, ce qui se traduit par une accélération uniquement normale ;
    • la composante normale aNa_\text{N} est constante et égale à aN=a=v2Ra_\text{N} = a = \dfrac{v^2}{R}. a\overrightarrow{a} et N\overrightarrow{N} sont donc colinéaires et de même sens : on parle d’accélération centripète.

Si la norme du vecteur accélération a(t)\overrightarrow{a}(t) est constante et égale à v2R\dfrac{v^2}{R}, le vecteur a(t)\overrightarrow{a}(t) ne l’est pas : sa direction change à chaque instant. En effet, a(t)\overrightarrow{a}(t) étant colinéaire à N\overrightarrow{N}, chaque nouvelle position de M\text{M} induit une nouvelle direction de a(t)\overrightarrow{a}(t).

Le vecteur accélération a pour expression, dans le repère de Frenet, pour un mouvement circulaire uniforme :
a=aN=v2RN\overrightarrow{a} = a \cdot \overrightarrow{N} = \dfrac{v^2}{R} \cdot \overrightarrow{N} ou (0v2R)(M, T, N)\begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{v^2}{R} \end{pmatrix}_{(\text{M}, \ \overrightarrow{T}, \ \overrightarrow{N})}
aa : accélération centripète (m·s-2)
vv : vitesse tangentielle (m·s-1)
RR : rayon de la trajectoire circulaire (m)

Application

Une voiture à l’arrêt, sur une route plane et horizontale, démarre avec une accélération constante a depuis la position x0x_0. Déterminer l’équation horaire x(t)x(t).

Corrigé :

La voiture démarre alors qu’elle est à l’arrêt. On en déduit que la vitesse v(t)v(t) s’exprime : v(t)=atv(t) = a \cdot t

La recherche d’une primitive de v(t)v(t) conduit à :
x(t)=a2t2+x0x(t) = \dfrac{a}{2} \cdot t^2 + x_0

Doc. 8
Mouvement rectiligne uniforme

Photograhie d'une autoroute

Sur l’autoroute, le mouvement rectiligne uniforme est très commun, pour des vitesses avoisinant les 130 km·h‑1.

Doc. 9
Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Photograhie d'un skieur alpin

Lors des schuss, et pour une durée relativement courte, le mouvement des skieurs peut être considéré comme rectiligne uniformément accéléré.

Éviter les erreurs

Attention à ne pas oublier la constante d’intégration lorsque l’on recherche une primitive. C’est en se plaçant dans les conditions initiales du mouvement que l’on détermine sa valeur.

Doc. 10
Exemple de mouvement circulaire uniforme

Photograhie d'un satellite en orbite de la Terre

Plus de 5 500 satellites ont été lancés depuis le début de la conquête spatiale. Destinés à l’espionnage, aux télécommunications, à la géolocalisation, à la météorologie ou à la recherche scientifique, leur mouvement est circulaire uniforme.

Pas de malentendu

Mouvement circulaire uniforme

Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire pour un mouvement circulaire uniforme ; le vecteur accélération est quant à lui centripète, c’est-à-dire dirigé vers le centre.
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