Physique-Chimie Terminale Spécialité
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Préparation aux épreuves du Bac
1. Constitution et transformations de la matière
Ch. 1
Modélisation des transformations acide-base
Ch. 2
Analyse physique d'un système chimique
Ch. 3
Méthode de suivi d'un titrage
Ch. 4
Évolution temporelle d'une transformation chimique
Ch. 5
Évolution temporelle d'une transformation nucléaire
BAC
Thème 1
Ch. 6
Évolution spontanée d'un système chimique
Ch. 7
Équilibres acide-base
Ch. 8
Transformations chimiques forcées
Ch. 9
Structure et optimisation en chimie organique
Ch. 10
Stratégies de synthèse
BAC
Thème 1 bis
2. Mouvement et interactions
Ch. 11
Description d'un mouvement
Ch. 12
Mouvement dans un champ uniforme
Ch. 13
Mouvement dans un champ de gravitation
Ch. 14
Modélisation de l'écoulement d'un fluide
BAC
Thème 2
3. Conversions et transferts d'énergie
Ch. 15
Étude d’un système thermodynamique
Ch. 16
Bilans d'énergie thermique
BAC
Thème 3
4. Ondes et signaux
Ch. 17
Propagation des ondes
Ch. 18
Interférences et diffraction
Ch. 19
Lunette astronomique
Ch. 20
Effet photoélectrique et enjeux énergétiques
Ch. 21
Évolutions temporelles dans un circuit capacitif
BAC
Thème 4
Annexes
Ch. 22
Méthode
Chapitre 11
Cours

Description d'un mouvement

1
Référentiel et nature du mouvement

Pour simplifier l'étude du mouvement d'un système, on s'intéresse uniquement aux coordonnées d'un point matériel, noté .

Un référentiel est un objet pris comme référence pour la description du mouvement associé à un repère. Il permet de définir les positions lors de l'étude.
Un repère est défini par un point d'origine auquel est associée une base orthonormée.

L'association d'une horloge est nécessaire pour pouvoir étudier l'évolution temporelle du mouvement.

Pas de malentendu

  • Un référentiel n'est pas un repère et vice versa.
  • Un référentiel est un objet pris comme référence.
  • Un repère est une base vectorielle munie d'une origine.

Doc. 1
Étude du mouvement de la Lune

Photographie satellite de la Terre et de la Lune
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Dima Zel/Shutterstock

Le mouvement de la Lune peut être étudié dans un référentiel géocentrique.

2
Position, vitesse et accélération

A
Vecteur position

Dans l'espace, le point se repère à l'aide du vecteur position dont les coordonnées cartésiennes sont notées :


 : abscisse du point M
 : ordonnée du point M
 : altitude du point M


L'ensemble des positions occupées par le point M au cours du temps constitue la trajectoire. De nombreux mouvements peuvent être ramenés à une étude plane, c'est-à-dire à deux dimensions.

Dans ces cas-là, on exprimera simplement :

Doc. 2
Vecteur position

Représentation graphiue du vecteur position
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : lelivrescolaire.fr

La position du point évolue au cours du temps : la trajectoire se dessine peu à peu.

B
Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée du vecteur position :
 

a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, les coordonnées du vecteur vitesse sont définies comme les dérivées temporelles des coordonnées du vecteur position :
 

La norme de à la date est donnée par la relation :


b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements circulaires, l'étude cinématique du point en coordonnées cartésiennes est complexe et fait intervenir les fonctions trigonométriques. Le repère de Frenet, centré sur M, permet de contourner cette difficulté. On lui associe deux vecteurs :
  : vecteur unitaire tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement ;
: vecteur unitaire, orthogonal à la trajectoire et dirigé vers le centre de la courbure.

Dans le repère de Frenet, le vecteur vitesse s'exprime :

Doc. 3
Notation des vecteurs

Parfois, le vecteur position peut être exprimé de manière plus compacte comme une combinaison linéaire des vecteurs , et :


De la même manière, on pourra également utiliser ce type de notation pour les vecteurs vitesse et accélération.

Pas de malentendu

  • La notation est équivalente à la notation en mathématiques.

Doc. 4
Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse moyen correspond au rapport entre la variation du vecteur position et la durée de la variation :


En considérant une durée infiniment faible, on aboutit à la notion de dérivée :



C
Vecteur accélération

Le vecteur accélération est défini comme la dérivée temporelle du vecteur vitesse et par conséquent comme la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps :

 

a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, le vecteur accélération correspond à :

 

Ces coordonnées correspondent aux dérivées temporelles des coordonnées de la vitesse ou comme les dérivées secondes des coordonnées du vecteur position :


La norme du vecteur accélération se calcule à partir de :

 

b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements étudiés dans le repère de Frenet, l'accélération possède deux composantes :

 
  • une composante tangentielle qui caractérise les variations temporelles de la valeur de la vitesse ;
  • une composante normale liée à la vitesse et à la géométrie de la trajectoire, qui caractérise les variations temporelles de direction du vecteur vitesse.

ou
 : rayon de la trajectoire circulaire (m)

Pas de malentendu

  • Norme, valeur et intensité sont des synonymes couramment employés.
  • La norme d'un vecteur est toujours positive, tandis que la composante d'un vecteur peut être positive ou négative.

Doc. 5
Lancer de marteau

Kibwé Johnson lançant un marteau
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : ZUMA Press Inc/Alamy

Kibwé Johnson, champion de lancer de marteau de l'USATF en 2014, exerce une action mécanique mettant le boulet en mouvement circulaire.

Doc. 6
Vecteur vitesse dans le repère de Frenet

Représentation du vecteur vitesse dans le repère de Frenet
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : lelivrescolaire.fr

Doc. 7
Vecteur accélération dans le repère de Frenet

Représentation du vecteur accélération dans le repère de Frenet
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : lelivrescolaire.fr

Pas de malentendu

  • Les notations et sont équivalentes.
  • Elles représentent la composante du vecteur vitesse sur l'axe .
  • Elles peuvent être positives ( se déplace dans le sens de ) ou négatives ( se déplace à l'opposé de ).
  • Il en est de même pour les composantes sur les axes et .

3
Études de quelques cas courants

A
Mouvements rectilignes

La trajectoire d'un mouvement rectiligne est une droite. En conséquence, le repère (O, , , ) se réduit au seul axe de vecteur unitaire pour un mouvement horizontal. Les descripteurs du mouvement sont donc réduits à leur seule composante suivant l'axe :




a. Mouvement rectiligne uniforme

Un mouvement rectiligne est dit uniforme si et seulement si est constant au cours du temps ().

Ainsi, dans le cas du mouvement rectiligne uniforme, on peut écrire :


Le vecteur accélération d'un mouvement rectiligne uniforme est un vecteur nul :


Pour les mouvements rectilignes, la coordonnée a quant à elle pour forme :


 : coordonnée initiale du système (m)
Cette équation peut être déduite à partir de la recherche d'une primitive de .
.

b. Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Un mouvement rectiligne est dit uniformément accéléré si et seulement si est constant au cours du temps :

Cette accélération constante implique que la vitesse s'exprime :


 : vitesse initiale du système (m·s-1)
Quant à la coordonnée , celle-ci a pour expression :


 : coordonnée initiale du système (m)
Les deux équations horaires précédentes peuvent être déterminées par la recherche de primitives en identifiant les constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales du mouvement.

Doc. 8
Mouvement rectiligne uniforme

Photograhie d'une autoroute
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Peter Gudella/Shutterstock

Sur l'autoroute, le mouvement rectiligne uniforme est très commun, pour des vitesses avoisinant les 130 km·h‑1.

Doc. 9
Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Photograhie d'un skieur alpin
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Mitch Gunn/Shutterstock

Lors des schuss, et pour une durée relativement courte, le mouvement des skieurs peut être considéré comme rectiligne uniformément accéléré.

Éviter les erreurs

  • Attention à ne pas oublier la constante d'intégration lorsque l'on recherche une primitive. C'est en se plaçant dans les conditions initiales du mouvement que l'on détermine sa valeur.

Doc. 10
Exemple de mouvement circulaire uniforme

Photograhie d'un satellite en orbite de la Terre
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : SPL/ESA/ATG Medialab

Plus de 5 500 satellites ont été lancés depuis le début de la conquête spatiale. Destinés à l'espionnage, aux télécommunications, à la géolocalisation, à la météorologie ou à la recherche scientifique, leur mouvement est circulaire uniforme.

B
Mouvements circulaires uniformes

Dans le cas du mouvement circulaire uniforme, quelques simplifications s'opèrent sur les coordonnées de l'accélération dans le repère de Frenet :
    • la composante tangentielle de l'accélération est nulle, car est constante. On a donc m·s-2, ce qui se traduit par une accélération uniquement normale ;
    • la composante normale est constante et égale à . et sont donc colinéaires et de même sens : on parle d'accélération centripète.

Si la norme du vecteur accélération est constante et égale à , le vecteur ne l'est pas : sa direction change à chaque instant. En effet, étant colinéaire à , chaque nouvelle position de induit une nouvelle direction de .

  Le vecteur accélération a pour expression, dans le repère de Frenet, pour un mouvement circulaire uniforme :
ou
 : accélération centripète (m·s-2)
 : vitesse tangentielle (m·s-1)
 : rayon de la trajectoire circulaire (m)
Application
Une voiture à l'arrêt, sur une route plane et horizontale, démarre avec une accélération constante a depuis la position . Déterminer l'équation horaire .
Corrigé

La voiture démarre alors qu'elle est à l'arrêt. On en déduit que la vitesse s'exprime :

La recherche d'une primitive de conduit à :

Pas de malentendu

Mouvement circulaire uniforme
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : lelivrescolaire.fr

  • Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire pour un mouvement circulaire uniforme ; le vecteur accélération est quant à lui centripète, c'est-à-dire dirigé vers le centre.

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