Cours

Pour simplifier l’étude du mouvement d’un système, on s’intéresse uniquement aux coordonnées d’un point matériel, noté $\text{M}$.



L’association d’une horloge est nécessaire pour pouvoir étudier l’évolution temporelle du mouvement.

➜ Un référentiel n’est pas un repère et vice versa.

➜ Un référentiel est un objet pris comme référence.

➜ Un repère est une base vectorielle munie d’une origine.

Dans l’espace, le point $\text{M}$ se repère à l’aide du vecteur position $\overrightarrow{\text{OM}}(t)$ dont les coordonnées cartésiennes sont notées :



L’ensemble des positions occupées par le point M au cours du temps constitue la trajectoire. De nombreux mouvements peuvent être ramenés à une étude plane, c’est-à-dire à deux dimensions.

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée du vecteur position :



a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, les coordonnées du vecteur vitesse $v$ sont définies comme les dérivées temporelles des coordonnées du vecteur position :



La norme $v$ de $\overrightarrow{v}$ à la date $t$ est donnée par la relation :

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements circulaires, l’étude cinématique du point $\text{M}$ en coordonnées cartésiennes est complexe et fait intervenir les fonctions trigonométriques. Le repère de Frenet, centré sur M, permet de contourner cette difficulté. On lui associe deux vecteurs :

Le vecteur accélération est défini comme la dérivée temporelle du vecteur vitesse et par conséquent comme la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps :



a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, le vecteur accélération $\overrightarrow{a}(t)$ correspond à :



Ces coordonnées correspondent aux dérivées temporelles des coordonnées de la vitesse ou comme les dérivées secondes des coordonnées du vecteur position :



La norme du vecteur accélération se calcule à partir de :



b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements étudiés dans le repère de Frenet, l’accélération possède deux composantes :

Parfois, le vecteur position peut être exprimé de manière plus compacte comme une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ :

$\overrightarrow{\text{OM}}(t) = x(t) \cdot \overrightarrow{i} + y(t) \cdot \overrightarrow{j} + z(t) \cdot \overrightarrow{k}$
De la même manière, on pourra également utiliser ce type de notation pour les vecteurs vitesse et accélération.

Le vecteur vitesse moyen $\overrightarrow{v}_\text{moy}$ correspond au rapport entre la variation du vecteur position et la durée de la variation :

$\overrightarrow{v}_\text{moy} = \dfrac{\overrightarrow{\text{OM}}(t + \Delta t) - \overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\Delta t}$
En considérant une durée infiniment faible, on aboutit à la notion de dérivée :

$\overrightarrow{v} = \lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{\overrightarrow{\text{OM}}(t + \Delta t) - \overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\Delta t}$

$\overrightarrow{v} = \dfrac{\text{d}\overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\text{d}t}$

La trajectoire d’un mouvement rectiligne est une droite. En conséquence, le repère (O, $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$) se réduit au seul axe $(\text{O}x)$ de vecteur unitaire $\overrightarrow{i}$ pour un mouvement horizontal. Les descripteurs du mouvement sont donc réduits à leur seule composante suivant l’axe $(\text{O}x)$ :



a. Mouvement rectiligne uniforme



Ainsi, dans le cas du mouvement rectiligne uniforme, on peut écrire :

$\overrightarrow{v}(t) = v_x \cdot \overrightarrow{i}$


Pour les mouvements rectilignes, la coordonnée $x(t)$ a quant à elle pour forme :

$x(t) = v \cdot t + x_0$ où
$x_0$ : coordonnée initiale du système (m)
Cette équation peut être déduite à partir de la recherche d’une primitive de $v(t)$.
➜ Fiche méthode 5, p. 590

b. Mouvement rectiligne uniformément accéléré



Cette accélération constante implique que la vitesse $v_x(t)$ s’exprime :

$v_x(t) = a \cdot t + v_0$ où
$v_0$ : vitesse initiale du système (m·s^-1)
Quant à la coordonnée $x(t)$, celle-ci a pour expression :

$x(t) = \dfrac{a}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0$ où
$x_0$ : coordonnée initiale du système (m)
Les deux équations horaires précédentes peuvent être déterminées par la recherche de primitives en identifiant les constantes d’intégration à l’aide des conditions initiales du mouvement.

Dans le cas du mouvement circulaire uniforme, quelques simplifications s’opèrent sur les coordonnées de l’accélération dans le repère de Frenet :

• la composante tangentielle de l’accélération $a_\text{T}(t)$ est nulle, car $v(t) = v$ est constante. On a donc $a_\text{T} = 0$ m·s^-2, ce qui se traduit par une accélération uniquement normale ;
• la composante normale $a_\text{N}$ est constante et égale à $a_\text{N} = a = \dfrac{v^2}{R}$. $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{N}$ sont donc colinéaires et de même sens : on parle d’accélération centripète.

Si la norme du vecteur accélération $\overrightarrow{a}(t)$ est constante et égale à $\dfrac{v^2}{R}$, le vecteur $\overrightarrow{a}(t)$ ne l’est pas : sa direction change à chaque instant. En effet, $\overrightarrow{a}(t)$ étant colinéaire à $\overrightarrow{N}$, chaque nouvelle position de $\text{M}$ induit une nouvelle direction de $\overrightarrow{a}(t)$.

Une voiture à l’arrêt, sur une route plane et horizontale, démarre avec une accélération constante a depuis la position $x_0$. Déterminer l’équation horaire $x(t)$.

Corrigé :

La voiture démarre alors qu’elle est à l’arrêt. On en déduit que la vitesse $v(t)$ s’exprime : $v(t) = a \cdot t$

La recherche d’une primitive de $v(t)$ conduit à :

➜ Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire pour un mouvement circulaire uniforme ; le vecteur accélération est quant à lui centripète, c’est-à-dire dirigé vers le centre.