Description d'un mouvement

Pour simplifier l'étude du mouvement d'un système, on s'intéresse uniquement aux coordonnées d'un point matériel, noté \text{M}.


L'association d'une horloge est nécessaire pour pouvoir étudier l'évolution temporelle du mouvement.

• Un référentiel n'est pas un repère et vice versa.
• Un référentiel est un objet pris comme référence.
• Un repère est une base vectorielle munie d'une origine.

La position du point \text{M} évolue au cours du temps : la trajectoire se dessine peu à peu.

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée du vecteur position :

a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, les coordonnées du vecteur vitesse v sont définies comme les dérivées temporelles des coordonnées du vecteur position :

La norme v de \vec{v} à la date t est donnée par la relation :


b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements circulaires, l'étude cinématique du point \text{M} en coordonnées cartésiennes est complexe et fait intervenir les fonctions trigonométriques. Le repère de Frenet, centré sur M, permet de contourner cette difficulté. On lui associe deux vecteurs :

Parfois, le vecteur position peut être exprimé de manière plus compacte comme une combinaison linéaire des vecteurs \vec{i}, \vec{j} et \vec{k} :


De la même manière, on pourra également utiliser ce type de notation pour les vecteurs vitesse et accélération.

• La notation \dfrac{\text{d}f}{\text{d}t} est équivalente à la notation f'(t) en mathématiques.

Le vecteur vitesse moyen \vec{v}_\text{moy} correspond au rapport entre la variation du vecteur position et la durée de la variation :


En considérant une durée infiniment faible, on aboutit à la notion de dérivée :

\vec{v} = \lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0} \dfrac{\overrightarrow{\text{OM}}(t + \Delta t) - \overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\Delta t}

\vec{v} = \dfrac{\text{d}\overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\text{d}t}

Le vecteur accélération est défini comme la dérivée temporelle du vecteur vitesse et par conséquent comme la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps :

 
a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, le vecteur accélération \vec{a}(t) correspond à :


Ces coordonnées correspondent aux dérivées temporelles des coordonnées de la vitesse ou comme les dérivées secondes des coordonnées du vecteur position :


La norme du vecteur accélération se calcule à partir de :


b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements étudiés dans le repère de Frenet, l'accélération possède deux composantes :

• Norme, valeur et intensité sont des synonymes couramment employés.
• La norme d'un vecteur est toujours positive, tandis que la composante d'un vecteur peut être positive ou négative.

• Les notations v_x(t) et \dfrac{\text{d}x}{\text{d}t} sont équivalentes.
• Elles représentent la composante du vecteur vitesse \vec{v} sur l'axe (\text{O}_x).
• Elles peuvent être positives (\text{M} se déplace dans le sens de \vec{i}) ou négatives (\text{M} se déplace à l'opposé de \vec{i}).
• Il en est de même pour les composantes sur les axes (\text{O}y) et (\text{O}z).

La trajectoire d'un mouvement rectiligne est une droite. En conséquence, le repère (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) se réduit au seul axe (\text{O}x) de vecteur unitaire \vec{i} pour un mouvement horizontal. Les descripteurs du mouvement sont donc réduits à leur seule composante suivant l'axe (\text{O}x) :


a. Mouvement rectiligne uniforme


Ainsi, dans le cas du mouvement rectiligne uniforme, on peut écrire :



Pour les mouvements rectilignes, la coordonnée x(t) a quant à elle pour forme :

x(t) = v \cdot t + x_0 où
x_0 : coordonnée initiale du système (m)
Cette équation peut être déduite à partir de la recherche d'une primitive de v(t).
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Fiche méthode 5

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b. Mouvement rectiligne uniformément accéléré


Cette accélération constante implique que la vitesse v_x(t) s'exprime :

v_x(t) = a \cdot t + v_0 où
v_0 : vitesse initiale du système (m·s^-1)
Quant à la coordonnée x(t), celle-ci a pour expression :

x(t) = \dfrac{a}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0 où
x_0 : coordonnée initiale du système (m)
Les deux équations horaires précédentes peuvent être déterminées par la recherche de primitives en identifiant les constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales du mouvement.

Sur l'autoroute, le mouvement rectiligne uniforme est très commun, pour des vitesses avoisinant les 130 km·h^‑1.

Lors des schuss, et pour une durée relativement courte, le mouvement des skieurs peut être considéré comme rectiligne uniformément accéléré.

• Attention à ne pas oublier la constante d'intégration lorsque l'on recherche une primitive. C'est en se plaçant dans les conditions initiales du mouvement que l'on détermine sa valeur.

Plus de 5 500 satellites ont été lancés depuis le début de la conquête spatiale. Destinés à l'espionnage, aux télécommunications, à la géolocalisation, à la météorologie ou à la recherche scientifique, leur mouvement est circulaire uniforme.

Une voiture à l'arrêt, sur une route plane et horizontale, démarre avec une accélération constante a depuis la position x_0. Déterminer l'équation horaire x(t).

• Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire pour un mouvement circulaire uniforme ; le vecteur accélération est quant à lui centripète, c'est-à-dire dirigé vers le centre.