Pour simplifier l'étude du mouvement d'un système, on s'intéresse uniquement aux coordonnées d'un point matériel, noté $\text{M}$.


L'association d'une horloge est nécessaire pour pouvoir étudier l'évolution temporelle du mouvement.

• Un référentiel n'est pas un repère et vice versa.
• Un référentiel est un objet pris comme référence.
• Un repère est une base vectorielle munie d'une origine.

La position du point $\text{M}$ évolue au cours du temps : la trajectoire se dessine peu à peu.

Le vecteur vitesse est défini comme la dérivée du vecteur position :

a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, les coordonnées du vecteur vitesse $v$ sont définies comme les dérivées temporelles des coordonnées du vecteur position :

La norme $v$ de $\overrightarrow{v}$ à la date $t$ est donnée par la relation :


b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements circulaires, l'étude cinématique du point $\text{M}$ en coordonnées cartésiennes est complexe et fait intervenir les fonctions trigonométriques. Le repère de Frenet, centré sur M, permet de contourner cette difficulté. On lui associe deux vecteurs :

Parfois, le vecteur position peut être exprimé de manière plus compacte comme une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{k}$ :


De la même manière, on pourra également utiliser ce type de notation pour les vecteurs vitesse et accélération.

• La notation $\frac{\text{d}f}{\text{d}t}$ est équivalente à la notation $f^{\prime }(t)$ en mathématiques.

Le vecteur vitesse moyen ${\overrightarrow{v}}_{\text{moy}}$ correspond au rapport entre la variation du vecteur position et la durée de la variation :


En considérant une durée infiniment faible, on aboutit à la notion de dérivée :

$\overrightarrow{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\overrightarrow{\text{OM}}(t+\Delta t)-\overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\Delta t}$

$\overrightarrow{v}=\frac{\text{d}\overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\text{d}t}$

Le vecteur accélération est défini comme la dérivée temporelle du vecteur vitesse et par conséquent comme la dérivée seconde du vecteur position par rapport au temps :

 
a. Dans un repère cartésien

En coordonnées cartésiennes, le vecteur accélération $\overrightarrow{a}(t)$ correspond à :


Ces coordonnées correspondent aux dérivées temporelles des coordonnées de la vitesse ou comme les dérivées secondes des coordonnées du vecteur position :


La norme du vecteur accélération se calcule à partir de :


b. Dans un repère de Frenet

Pour les mouvements étudiés dans le repère de Frenet, l'accélération possède deux composantes :

• Norme, valeur et intensité sont des synonymes couramment employés.
• La norme d'un vecteur est toujours positive, tandis que la composante d'un vecteur peut être positive ou négative.

• Les notations $v_x(t)$ et $\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$ sont équivalentes.
• Elles représentent la composante du vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ sur l'axe $({\text{O}}_x)$.
• Elles peuvent être positives ($\text{M}$ se déplace dans le sens de $\overrightarrow{i}$) ou négatives ($\text{M}$ se déplace à l'opposé de $\overrightarrow{i}$).
• Il en est de même pour les composantes sur les axes $(\text{O}y)$ et $(\text{O}z)$.

La trajectoire d'un mouvement rectiligne est une droite. En conséquence, le repère (O, $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$) se réduit au seul axe $(\text{O}x)$ de vecteur unitaire $\overrightarrow{i}$ pour un mouvement horizontal. Les descripteurs du mouvement sont donc réduits à leur seule composante suivant l'axe $(\text{O}x)$ :


a. Mouvement rectiligne uniforme


Ainsi, dans le cas du mouvement rectiligne uniforme, on peut écrire :



Pour les mouvements rectilignes, la coordonnée $x(t)$ a quant à elle pour forme :

$x(t)=v\cdot t+x_0$ où
$x_0$ : coordonnée initiale du système (m)
Cette équation peut être déduite à partir de la recherche d'une primitive de $v(t)$.
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Fiche méthode 5

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b. Mouvement rectiligne uniformément accéléré


Cette accélération constante implique que la vitesse $v_x(t)$ s'exprime :

$v_x(t)=a\cdot t+v_0$ où
$v_0$ : vitesse initiale du système (m·s^-1)
Quant à la coordonnée $x(t)$, celle-ci a pour expression :

$x(t)=\frac{a}{2}\cdot t^2+v_0\cdot t+x_0$ où
$x_0$ : coordonnée initiale du système (m)
Les deux équations horaires précédentes peuvent être déterminées par la recherche de primitives en identifiant les constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales du mouvement.

Sur l'autoroute, le mouvement rectiligne uniforme est très commun, pour des vitesses avoisinant les 130 km·h^‑1.

Lors des schuss, et pour une durée relativement courte, le mouvement des skieurs peut être considéré comme rectiligne uniformément accéléré.

• Attention à ne pas oublier la constante d'intégration lorsque l'on recherche une primitive. C'est en se plaçant dans les conditions initiales du mouvement que l'on détermine sa valeur.

Plus de 5 500 satellites ont été lancés depuis le début de la conquête spatiale. Destinés à l'espionnage, aux télécommunications, à la géolocalisation, à la météorologie ou à la recherche scientifique, leur mouvement est circulaire uniforme.

Une voiture à l'arrêt, sur une route plane et horizontale, démarre avec une accélération constante a depuis la position $x_0$. Déterminer l'équation horaire $x(t)$.

• Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire pour un mouvement circulaire uniforme ; le vecteur accélération est quant à lui centripète, c'est-à-dire dirigé vers le centre.