Une ligne de métro présente un tronçon rectiligne entre deux stations ${\text{S}}_1$ et ${\text{S}}_2$, distantes de 600 m, fermées pour travaux. Un métro, repéré par le point ${\text{M}}_1$ se dirige vers ${\text{S}}_2$ : il passe au niveau de ${\text{S}}_1$ à 15 h 00 min 00 s sans s’y arrêter, à la vitesse constante de 36 km·h^-1. À 15 h 00 min 20 s, un métro ${\text{M}}_1$ passe en ${\text{S}}_2$ à la même vitesse de 36 km·h^-1 en direction de ${\text{S}}_1$.

1. Faire un schéma clair de la situation à 15 h 00 min 00 s.

2. Établir les équations horaires des deux systèmes ${\text{M}}_1$ et ${\text{M}}_2$.

3. Déterminer la date de croisement des deux métros.

■ Rame du métro parisien

Protocole de réponse

1. Représenter la situation le plus simplement possible, en faisant apparaître les grandeurs utiles de l’énoncé.
Situer approximativement ${\text{M}}_2$ à 15 h 00 min 00 s par rapport à ${\text{S}}_2$.
Représenter les vecteurs $\overrightarrow{v_1}(t)$ et $\overrightarrow{v_2}(t)$ en respectant le sens de déplacement de ${\text{M}}_1$ et ${\text{M}}_2$.

2. Déterminer $x_1(t)$ et $x_2(t)$ en recherchant les primitives des vitesses et en tenant compte des conditions particulières de positions.

3. Déterminer la date pour laquelle ${\text{M}}_1$ et ${\text{M}}_2$ se situent à la même abscisse.

1.
On pose comme origine des temps 15 h 00 min 00 s et $v$ la norme commune des deux vecteurs ${\overrightarrow{v}}_1$ et ${\overrightarrow{v}}_2$ .

2. Pour le métro ${\text{M}}_1$, on recherche l’expression de $x_1(t)$, primitive de $v_1(t)$ telle que $v_1=\frac{\text{d}{x}_1}{\text{d}t}$ :

À $t=0$ s, $x_1(t_0)=v\cdot t_0+x_{1,0}=0$ m, donc $x_{1,0}=0$ m, soit :

Pour le métro ${\text{M}}_2$, la primitive de $v_2(t)$ telle que $v_2=\frac{\text{d}{x}_2}{\text{d}t}$ aboutit à $x_2(t)=v\cdot t+x_{2,0}$. À $t_1=20$ s, $x_2(t_1)=600$ m :

$x_2(t_1)=-v\cdot t+x_{2,0}$

$x_{2,0}=x_2(t_1)+v\cdot t_1$

$x_{2,0}=600+\frac{36}{3,6}\times 20=800$ m

3. Lorsque les métros se croisent à $t_c$, on a :
$x_1(t_c)=x_2(t_c)$

$v\cdot t_c=-v\cdot t_c+x_{2,0}$

$t_c=\frac{x_{2,0}}{2v}$

AN : $t_c=\frac{800}{2\times 36}\times 3,6=40$ s

Mise en application

Découvrez l'exercice 24, p. 309 Course poursuite en QCM pour travailler cette notion.