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Mouvements rectilignes croisés
P.307

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Exercice corrigé




Mouvements rectilignes croisés

APP : Faire un schéma
APP : Faire des prévisions à l'aide d'un modèle

Énoncé

Une ligne de métro présente un tronçon rectiligne entre deux stations S1\text{S}_1 et S2\text{S}_2, distantes de 600 m, fermées pour travaux. Un métro, repéré par le point M1\text{M}_1 se dirige vers S2\text{S}_2 : il passe au niveau de S1\text{S}_1 à 15 h 00 min 00 s sans s’y arrêter, à la vitesse constante de 36 km·h-1. À 15 h 00 min 20 s, un métro M1\text{M}_1 passe en S2\text{S}_2 à la même vitesse de 36 km·h-1 en direction de S1\text{S}_1.

1. Faire un schéma clair de la situation à 15 h 00 min 00 s.

2. Établir les équations horaires des deux systèmes M1\text{M}_1 et M2\text{M}_2.

3. Déterminer la date de croisement des deux métros.

Rame du métro parisien

Rame du métro parisien

Protocole de réponse

1. Représenter la situation le plus simplement possible, en faisant apparaître les grandeurs utiles de l’énoncé.
Situer approximativement M2\text{M}_2 à 15 h 00 min 00 s par rapport à S2\text{S}_2.
Représenter les vecteurs v1(t)\overrightarrow{v_1}(t) et v2(t)\overrightarrow{v_2}(t) en respectant le sens de déplacement de M1\text{M}_1 et M2\text{M}_2.

2. Déterminer x1(t)x_1(t) et x2(t)x_2(t) en recherchant les primitives des vitesses et en tenant compte des conditions particulières de positions.

3. Déterminer la date pour laquelle M1\text{M}_1 et M2\text{M}_2 se situent à la même abscisse.

Solution rédigée

1.
Schéma de la situation à 15h 00min 00s

On pose comme origine des temps 15 h 00 min 00 s et vv la norme commune des deux vecteurs v1\overrightarrow{v}_1 et v2\overrightarrow{v}_2 .

2. Pour le métro M1\text{M}_1, on recherche l’expression de x1(t)x_1(t), primitive de v1(t)v_1(t) telle que v1=dx1dtv_1 = \dfrac{\text{d}x_1}{\text{d}t} :
x1(t)=vt+x1,0x_1(t) = v \cdot t + x_{1{,}0}

À t=0t = 0 s, x1(t0)=vt0+x1,0=0x_1(t_0) = v \cdot t_0 + x_{1{,}0} = 0 m, donc x1,0=0x_{1{,}0} = 0 m, soit :
x1(t)=vtx_1(t) = v \cdot t

Pour le métro M2\text{M}_2, la primitive de v2(t)v_2(t) telle que v2=dx2dtv_2 = \dfrac{\text{d}x_2}{\text{d}t} aboutit à x2(t)=vt+x2,0x_2(t) = v \cdot t + x_{2{,}0}. À t1=20t_1 = 20 s, x2(t1)=600x_2(t_1) = 600 m :

x2(t1)=vt+x2,0x_2(t_1) = - v \cdot t + x_{2{,}0}

x2,0=x2(t1)+vt1x_{2{,}0} = x_2(t_1) + v \cdot t_1

x2,0=600+363,6×20=800x_{2{,}0} = 600 + \dfrac{36}{3{,}6} \times 20 = 800 m

3. Lorsque les métros se croisent à tct_c, on a :
x1(tc)=x2(tc)x_1(t_c) = x_2(t_c)

vtc=vtc+x2,0v \cdot t_c = - v \cdot t_c + x_{2{,}0}

tc=x2,02vt_c = \dfrac{x_{2{,}0}}{2 v}

AN : tc=8002×36×3,6=40t_c =\dfrac{800}{2 \times 36} \times 3{,}6 = 40 s
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Mise en application

Découvrez l'exercice 24, p. 309 Course poursuite en QCM pour travailler cette notion.
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