Mouvements rectilignes croisés

Une ligne de métro présente un tronçon rectiligne entre deux stations \text{S}_1 et \text{S}_2, distantes de 600 m, fermées pour travaux. Un métro, repéré par le point \text{M}_1 se dirige vers \text{S}_2 : il passe au niveau de \text{S}_1 à 15 h 00 min 00 s sans s'y arrêter, à la vitesse constante de 36 km·h^-1. À 15 h 00 min 20 s, un métro \text{M}_1 passe en \text{S}_2 à la même vitesse de 36 km·h^-1 en direction de \text{S}_1.

1. Faire un schéma clair de la situation à 15 h 00 min 00 s.

2. Établir les équations horaires des deux systèmes \text{M}_1 et \text{M}_2.

3. Déterminer la date de croisement des deux métros.

1.
On pose comme origine des temps 15 h 00 min 00 s et v la norme commune des deux vecteurs \vec{v}_1 et \vec{v}_2 .

2. Pour le métro \text{M}_1, on recherche l'expression de x_1(t), primitive de v_1(t) telle que v_1 = \dfrac{\text{d}x_1}{\text{d}t} :

À t = 0 s, x_1(t_0) = v \cdot t_0 + x_{1{,}0} = 0 m, donc x_{1{,}0} = 0 m, soit :

Pour le métro \text{M}_2, la primitive de v_2(t) telle que v_2 = \dfrac{\text{d}x_2}{\text{d}t} aboutit à x_2(t) = v \cdot t + x_{2{,}0}. À t_1 = 20 s, x_2(t_1) = 600 m :

x_2(t_1) = - v \cdot t + x_{2{,}0}

x_{2{,}0} = x_2(t_1) + v \cdot t_1

x_{2{,}0} = 600 + \dfrac{36}{3{,}6} \times 20 = 800 m

3. Lorsque les métros se croisent à t_c, on a :
x_1(t_c) = x_2(t_c)

v \cdot t_c = - v \cdot t_c + x_{2{,}0}

t_c = \dfrac{x_{2{,}0}}{2 v}

AN : t_c =\dfrac{800}{2 \times 36} \times 3{,}6 = 40 s

1. Représenter la situation le plus simplement possible, en faisant apparaître les grandeurs utiles de l'énoncé.
Situer approximativement \text{M}_2 à 15 h 00 min 00 s par rapport à \text{S}_2.
Représenter les vecteurs \vec{v_1}(t) et \vec{v_2}(t) en respectant le sens de déplacement de \text{M}_1 et \text{M}_2.

2. Déterminer x_1(t) et x_2(t) en recherchant les primitives des vitesses et en tenant compte des conditions particulières de positions.

3. Déterminer la date pour laquelle \text{M}_1 et \text{M}_2 se situent à la même abscisse.

Mise en application

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exercice 24

, p. 309 Course poursuite en QCM pour travailler cette notion.