Exercice corrigé

Une ligne de métro présente un tronçon rectiligne entre deux stations $\text{S}_1$ et $\text{S}_2$, distantes de 600 m, fermées pour travaux. Un métro, repéré par le point $\text{M}_1$ se dirige vers $\text{S}_2$ : il passe au niveau de $\text{S}_1$ à 15 h 00 min 00 s sans s’y arrêter, à la vitesse constante de 36 km·h^-1. À 15 h 00 min 20 s, un métro $\text{M}_1$ passe en $\text{S}_2$ à la même vitesse de 36 km·h^-1 en direction de $\text{S}_1$.

1. Faire un schéma clair de la situation à 15 h 00 min 00 s.

2. Établir les équations horaires des deux systèmes $\text{M}_1$ et $\text{M}_2$.

3. Déterminer la date de croisement des deux métros.

■ Rame du métro parisien

Protocole de réponse

1. Représenter la situation le plus simplement possible, en faisant apparaître les grandeurs utiles de l’énoncé.
Situer approximativement $\text{M}_2$ à 15 h 00 min 00 s par rapport à $\text{S}_2$.
Représenter les vecteurs $\overrightarrow{v_1}(t)$ et $\overrightarrow{v_2}(t)$ en respectant le sens de déplacement de $\text{M}_1$ et $\text{M}_2$.

2. Déterminer $x_1(t)$ et $x_2(t)$ en recherchant les primitives des vitesses et en tenant compte des conditions particulières de positions.

3. Déterminer la date pour laquelle $\text{M}_1$ et $\text{M}_2$ se situent à la même abscisse.

1.
On pose comme origine des temps 15 h 00 min 00 s et $v$ la norme commune des deux vecteurs $\overrightarrow{v}_1$ et $\overrightarrow{v}_2$ .

2. Pour le métro $\text{M}_1$, on recherche l’expression de $x_1(t)$, primitive de $v_1(t)$ telle que $v_1 = \dfrac{\text{d}x_1}{\text{d}t}$ :
$x_1(t) = v \cdot t + x_{1{,}0}$
À $t = 0$ s, $x_1(t_0) = v \cdot t_0 + x_{1{,}0} = 0$ m, donc $x_{1{,}0} = 0$ m, soit :
$x_1(t) = v \cdot t$
Pour le métro $\text{M}_2$, la primitive de $v_2(t)$ telle que $v_2 = \dfrac{\text{d}x_2}{\text{d}t}$ aboutit à $x_2(t) = v \cdot t + x_{2{,}0}$. À $t_1 = 20$ s, $x_2(t_1) = 600$ m :

$x_2(t_1) = - v \cdot t + x_{2{,}0}$

$x_{2{,}0} = x_2(t_1) + v \cdot t_1$

$x_{2{,}0} = 600 + \dfrac{36}{3{,}6} \times 20 = 800$ m

3. Lorsque les métros se croisent à $t_c$, on a :
$x_1(t_c) = x_2(t_c)$

$v \cdot t_c = - v \cdot t_c + x_{2{,}0}$

$t_c = \dfrac{x_{2{,}0}}{2 v}$

AN : $t_c =\dfrac{800}{2 \times 36} \times 3{,}6 = 40$ s

Mise en application

Découvrez l'exercice 24, p. 309 Course poursuite en QCM pour travailler cette notion.