Exercices

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Matching Game

✔ RAI/ANA : Utiliser et interpréter des documents

La diffraction limite le pouvoir de résolution des instruments optiques comme les télescopes. L’image d’un point n’est pas un point mais une figure de diffraction appelée tache d’Airy. Différents critères existent pour considérer que deux points sont résolus ou pas par un instrument d’optique :

• selon le critère de Schuster, deux points sont séparables si les lobes centraux (pics) des profils en intensité de leur figure de diffraction ne se recouvrent pas ;
• selon le critère de Rayleigh, deux points sont séparables si la première annulation en intensité du profil de l’un des points correspond au maximum d’intensité de l’autre ;
• selon le critère de Sparrow, deux points sont séparables si les lobes centraux des profils en intensité se superposent de manière à former une selle de cheval pour les valeurs maximales en intensité ;
• deux points ne sont pas résolus quand les taches de diffraction se superposent quasi entièrement.

⬥ Associer chaque critère à la figure de diffraction et au profil en intensité correspondant en justifiant clairement le raisonnement.



a. ➜ 1.2.3.4.

b. ➜ 1.2.3.4.

c. ➜ 1.2.3.4.

d. ➜ 1.2.3.4.

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Conditions d’interférences en QCM

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement

Deux émetteurs à ultrasons cohérents ${\text{E}}_1$ et ${\text{E}}_2$ sont situés respectivement aux distances $d_1$ et $d_2$ d’un récepteur $\text{R}$ de telle sorte que le triangle ${\text{E}}_1{\text{E}}_2\text{R}$ soit rectangle en ${\text{E}}_2$. La longueur d’onde des ultrasons émis est $\lambda =7,5$ mm.

1. Donner la relation que doivent vérifier $d_1$ et $d_2$ pour que $\text{R}$ capte une intensité minimale correspondant à la frange sombre d’ordre $0$.
a. $d_1-d_2=\lambda$
b. $d_1=d_2$
c. $d_1-d_2=\frac{\lambda }{2}$
d. $d_1=2d_2$

2. Calculer la distance d minimale entre les deux émetteurs dans le cas où $d_1=30,00$ cm.
a. $d=47$ cm
b. $d=4,7$ cm
c. $d=15$ cm
d. $d=1,5$ cm

Comprendre les attendus

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Influence de la longueur d’onde

✔ REA : Appliquer une formule

Un dispositif d’Young est constitué de deux fentes distantes de $a=1,0$ mm, éclairées par une source de lumière laser de longueur d’onde $\lambda =520$ nm. L’écran d’observation est situé à une distance $D=1,80$ m.

1. Décrire la figure observée sur l’écran.

2. Calculer l’interfrange $i$.

3. La lumière laser est remplacée par une autre lumière de longueur d’onde $\lambda =430$ nm. Préciser en justifiant si l’interfrange est plus grande ou plus petite.

4. Représenter sur un schéma l’allure des profils en intensité pour ces radiations verte et bleue.

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Détails du barème	TOTAL / 5 pts
1. Décrire correctement la figure d’interférences.	1 pt
2. Effectuer l’application numérique avec les chiffres significatifs appropriés.	1 pt
3. Justifier à partir de la formule.	1,5 pt
4. Associer chaque longueur d’onde à la couleur correspondante.	0,5 pt
Représenter les allures.	1,5 pt

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DIF(fraction-inter)FÉRENCE

✔ VAL : Faire preuve d’esprit critique

■ Introduction sur la diffraction


⬥ À partir des connaissances du cours et des exemples choisis judicieusement, rédiger un court paragraphe argumenté validant les propos de Richard Feynman.

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Expression de l’interfrange

✔ COM : Rédiger et présenter correctement une résolution

Deux sources lumineuses ${\text{S}}_1$ et ${\text{S}}_2$, monochromatiques et cohérentes, sont séparées d’une distance $b$. Les dimensions de la figure d’interférences sont petites et la dimension de $b$ très petite devant la distance $D$. Ceci se traduit par $D\gg b$ et $D\gg x_{\text{M}}$ où $x_{\text{M}}$ est l’abscisse d’un point $\text{M}$ de la figure d’interférences.


La différence de chemin optique au point $\text{M}$ entre les rayons issues des sources ${\text{S}}_1$ et ${\text{S}}_2$ est :

1. À partir du schéma, donner les abscisses de ${\text{S}}_1$ et ${\text{S}}_2$.


2. Exprimer ${\text{S}}_2\text{M}$ et ${\text{S}}_1\text{M}$ en fonction de $D$, $b$ et $x_{\text{M}}$.


3. Montrer que, géométriquement, la différence de chemin optique peut s’exprimer de la façon suivante :


4. Écrire $\delta$ sous la forme $\delta =D\cdot (\sqrt{1+{\alpha }^2}-\sqrt{1+{\alpha }^{\prime 2}})$ en identifiant l’expression de $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$ et vérifier qu’ils sont très petits.
Pour $\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }$ très petits, on peut considérer :



5. Montrer que la différence de chemin optique peut s’écrire :



6. En déduire l’expression de l’interfrange.

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Copie d'élève à commenter

⬥ Proposer une justification pour chaque erreur relevée par le correcteur.

Depuis 2013, les routeurs proposent deux bandes de fréquence de Wifi : une à $2,4$ GHz et une à $5,0$ GHz. La portée de la première est plus importante alors que le débit de la seconde est meilleur. La bande de fréquence à $2,4$ GHz est également utilisée par d’autres appareils électroniques, tels que les fours à micro-ondes ou les téléphones sans fil.

1. Déterminer la valeur de la période spatiale de la bande de Wifi à $2,4$ GHz.

On peut calculer la longueur d’onde en utilisant la relation suivante :
$\lambda =\frac{c}{f}$
AN : $\lambda =\frac{3,0\times 10^8}{2,4\times 10^9}=1,3\times 10^{-1}$  s 

2. Les ondes Wifi peuvent être fortement diffractées par des objets dont les dimensions sont de l’ordre de quelques centimètres. En déduire l’ordre de grandeur de l’angle caractéristique de diffraction.

L’angle caractéristique de diffraction dépend de la longueur d’onde et de la taille de l’obstacle. Plus la longueur d’onde est grande, plus la diffraction est importante.
$\theta =\frac{\lambda }{a}$
AN : $\theta =\frac{1,3\times 10^{-1}}{\cancel{1}}=\cancel{1,3\times 10^{-1}}$ rad
$\theta =\frac{6\times 10^{-2}}{\cancel{1}}=\cancel{6\times 10^{-2}}$ rad
Donc les ondes à $5$ GHz sont moins diffractées que celle à $2,4$ GHz.

3. Préciser quel phénomène lié aux propriétés des ondes est susceptible de se produire à $2,4$ GHz et non à $5,0$ GHz.

Les interférences. À développer.

A

Pouvoir de résolution

✔ REA : Appliquer une formule
✔ REA/MATH : Utiliser de outils mathématiques

Pour un instrument d’optique parfaitement stigmatique, les rayons issus d’un même point converge en un seul point de l’image. Cependant, du fait du diamètre fini de l’instrument, le faisceau diverge et l’image d’un point et une tâche, ce qui limite la résolution de tout instrument d’optique.

1. Nommer le phénomène mis en jeu.


2. Donner l’expression de l’écart angulaire $\theta$ en fonction de la longueur d’onde $\lambda$ et de la taille $a$ de l’ouverture de l’instrument.
En réalité, pour une ouverture circulaire, il faut ajouter un facteur $1,22,$ mais nous ne nous en préoccuperons pas ici, nous cherchons des ordres de grandeur.


Lorsque l’on cherche à faire l’image de deux points, chacun donne une tache de diffraction. Le critère de Rayleigh stipule qu’il est possible de distinguer les deux points si le maximum d’une tache coïncide avec le minimum de l’autre.

3. En déduire une relation entre les angles $\theta$ et $\alpha$ (voir le schéma ci‑dessous).


4. Pour de petits angles, on peut faire l’approximation $\alpha \approx \tan (\alpha ).$
a. Déterminer la distance minimale entre deux objets discernables pour un microscope.


b. Déterminer la distance minimale entre deux objets discernables placés sur la Lune pour un télescope grand public, puis pour le télescope Hubble.


5. Pourquoi l’utilisation d’ondes électroniques plutôt que lumineuses a permis de révolutionner l’imagerie ?

Données

• Diamètre d’un objectif de microscope : $1$ cm
• Distance lame‑objectif pour un microscope : $1$ cm
• Diamètre d’un télescope grand public : $20$ cm
• Diamètre du télescope Hubble : $2,4$ m
• Altitude du télescope Hubble : $600$ km
• Distance Terre‑Lune : $385\times 103$ km
• Longueur d’onde du maximum de sensibilité de l’œil humain : $555$ nm
• Longueur d’onde d’une onde électronique : $0,01$ nm

B

Ondes gravitationnelles

✔ APP : Extraire l’information utile

La théorie de la relativité générale, principalement développée par Albert Einstein, prévoit l’existence d’un phénomène propagatif d’oscillation de l’espace‑temps appelé onde gravitationnelle. L’existence réelle d’un tel phénomène a fait l’objet de nombreux débats, Einstein lui‑même a plusieurs fois changé d’avis à ce sujet. Ce débat est désormais clos. Une première détection indirecte a été faite à la fin des années 1970 (prix Nobel en 1993), puis en 2015 l’expérience LIGO a permis une première détection directe (prix Nobel en 2017). D’autres détections ont suivi. En 2019, on recensait 12 ondes gravitationnelles confirmées.

L’expérience consiste à détecter, à l’aide de deux interféromètres de Michelson indépendants situés à 3 000 km l’un de l’autre, le passage d’une même onde gravitationnelle. Le schéma d’un interféromètre de Michelson est montré sur le doc. 1. Le laser utilisé a une longueur d’onde d’environ 1 µm.

1. Exprimer la différence de chemin optique $\delta .$


2. Les détecteurs sont plus sensibles lorsque la position des miroirs est telle qu’en l’absence d’onde gravitationnelle, le signal est le plus faible possible. Quelle doit‑être la valeur de $\delta$ en l’absence d’onde gravitationnelle ?


Lors du passage d’une onde gravitationnelle, la différence de chemin optique est modifiée et devient : $\delta =C\cdot h\cdot L$, où $h$ est un nombre sans dimension qui caractérise l’amplitude de l’onde gravitationnelle (appelé strain en anglais), et $C$ est un paramètre compris entre $0$ et $1$ qui dépend de l’orientation relative entre l’interféromètre et la direction de propagation de l’onde.

3. Expliquer pourquoi les chercheurs ont construit un interféromètre de plusieurs kilomètres de long.


4. Expliquer ce qu’il se passe au niveau du détecteur lorsqu’une onde gravitationnelle traverse le dispositif.


5. À l’aide des docs. 1 et 2, estimer l’ordre de grandeur de $\delta .$

Doc. 1

Schéma de l’interféromètre

Doc. 2

Résultat des mesures de LIGO en 2015