Un accélérateur de particules est un appareil utilisant des champs électrique ou magnétique pour amener des particules chargées à de très grandes vitesses. En recherche, les accélérateurs de particules servent, à partir de collisions entre particules, à observer les constituants de la matière et étudier les interactions qui les régissent. Dans le domaine médical, ils sont utilisés pour les traitements de cancers par radiothérapie.

Long de 3,2 km, l'accélérateur linéaire de Stanford (SLAC) est le plus grand accélérateur linéaire de particules du monde. Fabriqué en 1962 suivant la technique de Wideröe, il compte environ 1 500 employés.

Trois prix Nobel de physique ont été décernés pour des recherches dans le domaine de la physique des particules au sein de cet accélérateur :

• en 1976, pour la découverte du quark charm ;
• en 1990, pour la découverte de la structure en quark du proton et du neutron ;
• en 1995, pour la découverte du lepton $\tau$.

Depuis quelques années, le SLAC élargit son domaine de recherche et s'ouvre également à la photonique.

L'appareil est constitué d'une source de particules $\text{S}$ et d'une succession de tubes sous vide, séparés par de faibles interstices, disposés en ligne droite. Deux tubes consécutifs sont de charges opposées. La tension étant variable, leur charge est alternativement positive ou négative au cours du temps. À l'intérieur des tubes, le champ électrique est nul. Par contre, le champ électrique $\overrightarrow{E}$ dans les interstices est variable au cours du temps.

Pour que l'accélération des particules soit optimale, il faut qu'elles traversent les zones entre les tubes au moment où le champ électrique est maximal et la charge du tube quitté doit être identique à celle de la particule accélérée. Les particules qui ne sont pas injectées au bon moment ou à la mauvaise vitesse initiale se retrouvent rapidement freinées.

On note $\overrightarrow{E}$ le champ électrique créé par la différence de potentiel $U$ entre deux tubes voisins. Le champ $\overrightarrow{E}$ dans l'interstice est supposé uniforme et constant, car on suppose le passage de la particule dans l'interstice suffisamment court. Si on note $d$ la distance entre deux tubes, on a : $E=\frac{U}{d}$

• Masse d'un proton : $m_p=1,67\times 10^{-27}$ kg
• Charge élémentaire : $e=1,60\times 10^{-19}$ C
• Intensité de pesanteur : $g=9,81$ N⋅kg^-1
• Conversion d'unités d'énergie : $1$ eV $=1,60\times 10^{-19}$ J

Soit $T$ la période du signal électrique. La tension aux bornes du générateur doit prendre sa valeur maximale ($+U$) ou minimale ($-U$) lorsque la particule est dans un interstice.
De plus, à chaque nouvel interstice, le sens de la tension doit s'inverser pour que la particule soit toujours accélérée.
Ainsi, la particule doit traverser un tube en une durée $\frac{T}{2}$.

Dans un accélérateur de particules, les longueurs des tubes ont été calculées pour l'utilisation suivante :

• valeur maximale de la tension aux bornes de deux tubes : $U=100$ kV ;
• fréquence du signal électrique du générateur : $f=25$ MHz ;
• vitesse initiale des protons à l'entrée dans le premier tube : $v_0=5,36\times 10^6$ m⋅s^-1.

3.5 Déterminer l'expression de la longueur du n-ième tube $L_{\text{n}}$ en fonction de $T$ et de $v_{\text{n}}$.

3.6 En déduire que l'expression de la longueur du tube est : $L_{\text{n}}=\frac{T}{2}\cdot \sqrt{\frac{2E_{\mathrm{c}\mathrm{n}}}{m}}$

3.7 Calculer :

• l'énergie cinétique $E_{\text{c0}}$ du proton dans le premier tube ;
• l'énergie cinétique $E_{\text{c3}}$ du proton dans le troisième tube ;
• la valeur de la vitesse $v_3$ du proton dans le troisième tube ;
• la longueur $L_3$ du troisième tube.