2

Masse de Jupiter

On considère que la planète Jupiter et ses satellites sont des corps sphériques dont la répartition de masse est homogène. Les rayons des orbites sont supposés grands devant les dimensions de Jupiter ou de ses satellites.

2.1 On s'intéresse au mouvement du satellite Io de masse $M_{Io}$. On note $R$ le rayon de son orbite. Représenter sur un schéma :

• Jupiter (noté $\text{J}$) et Io (noté $\text{I}$) ;
• la trajectoire de Io ;
• un vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$ orienté de Io vers Jupiter ;
• la force d'interaction gravitationnelle $\overrightarrow{F}$ exercée par la planète sur son satellite.

2.2 Donner l'expression vectorielle de $\overrightarrow{F}$.

2.3 En considérant la seule action de Jupiter, établir l'expression vectorielle de l'accélération $\overrightarrow{a}$ de Io dans le référentiel du centre de Jupiter, supposé galiléen, en fonction de $G$, $M_{\text{J}}$, $R$ et du vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$.

2.4 Montrer que dans le cas d'un mouvement circulaire, la valeur de la vitesse du satellite a pour expression : $v=\sqrt{\frac{G\cdot M_{\text{J}}}{R}}$

2.5 Définir la période de révolution $T$ du satellite. Exprimer cette période en fonction de la vitesse $v$ et de la distance $R$.

2.6 À partir des deux dernières questions, retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas d'un mouvement circulaire : $\frac{T^2}{R^3}=\frac{4{\pi }^2}{G\cdot M_{\text{J}}}$

2.7 En utilisant les données du doc. 3, déterminer le plus précisément possible la masse de Jupiter.

Doc. 4

Mise en orbite de Galileo autour de Jupiter

Le 7 décembre 1995, la sonde Galileo a effectué la manœuvre permettant sa mise en orbite autour de Jupiter. Pour cela, elle a commencé par survoler Europe et Io, à faible distance pour permettre un freinage important, par assistance gravitationnelle. Puis elle a mis en marche sa propulsion principale pour réduire sa vitesse de 645 m·s^-1. Elle s'est ainsi placée sur une orbite très allongée. Cette orbite d'une période de sept mois a été choisie, car même si elle ne permettait de recueillir des informations que sur des durées très limitées (lorsque la sonde se trouvait proche de Jupiter et de ses satellites), elle a permis une faible consommation de carburant lors de sa mise en orbite.

3

Orbite de Galileo

La deuxième loi de Kepler stipule que, pour une même durée de parcours, les surfaces balayées par Galileo sont égales.

3.1 Comparer alors les vitesses de Galileo aux points $\text{A}$ et $\text{P}$.

La troisième loi de Kepler appliquée dans le cas d'un corps en orbite elliptique autour de Jupiter est donnée par la formule suivante : $\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{G\cdot M_{\text{J}}}$

3.2 À l'aide du doc. 4, déterminer le demi-grand axe de l'ellipse parcourue par Galileo. On précise la masse de Jupiter à considérer $M_{\text{J}}=1,898\times 10^{27}$ kg.