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Détermination de la masse de Jupiter

P.398-399

SUJET BAC EXPÉRIMENTAL

7
Détermination de la masse de Jupiter

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Galilée a observé pour la première fois les quatre plus grands satellites de Jupiter en 1610 : Io, Europe, Ganymède et Callisto. Puis Kepler a énoncé sa 3^e loi des périodes en 1618. S’appuyant en partie sur leurs travaux, Newton a établi en 1687 la loi de gravitation et a permis ainsi de déterminer la constante de la loi des périodes de Kepler. Mais la mesure de la masse d’une planète, à l’aide du mouvement de ses satellites, n’a été possible qu’après la détermination de la constante de gravitation universelle

G

par Cavendish en 1798.

➜ Comment déterminer la masse de Jupiter à partir du mouvement de quatre de ses satellites ?

Doc. 1
Données astronomiques

Satellite	Rayon de l’orbite $r$ ( $\times 1 0^{5}$ km)	Période de révolution $T$ (j)
Io (1)
Europe (2)		3,55
Ganymède (3)	10,7	7,16
Callisto (4)	18,8	16,7

Doc. 2
Matériel à disposition

Logiciel tableur/grapheur
Logiciel libre planétarium Stellarium et sa notice

Doc. 3
Expression de la 3^e loi de Kepler

À l’aide des mesures astronomiques précises réalisées par T. Brahe, J. Kepler a énoncé en 1618, dans son ouvrage intitulé Hamonices mundi, sa troisième loi :

« Le carré de la période de révolution

T

d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a de sa trajectoire elliptique autour du Soleil tel que

\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = k

»

En appliquant la 2^e loi de Newton sur chaque lune de Jupiter, de période

T_{x}

et de rayon d’orbite

r_{x}

, gravitant autour de la planète Jupiter suivant une orbite quasicirculaire, on montre que la 3^e loi de Kepler s’écrit :

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G \cdot M _{J}}

Doc. 4
Écart relatif

L’écart relatif

ε

entre la valeur expérimentale

m_{exp}

d’une masse et sa valeur théorique

m_{th}

se calcule avec la formule :

ε = \frac{m _{t h} - m _{e x p}}{m _{t h}}

Doc. 5
Mesure du rayon orbital

L’angle de visée

θ

est l’angle sous lequel on voit le rayon

r_{X}

de la trajectoire du satellite depuis la Terre. D’après le schéma :

tan (θ) = \frac{r _{X}}{D}

θ

: angle de visée (rad)

r_{X}

: distance entre Jupiter et le satellite X (m)

D

: distance entre la Terre et Jupiter (m)

Doc. 6
Jupiter et ses satellites

Données

Constante de gravitation universelle : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ m³⋅kg^-1⋅s^-2
Conversions d’unités d’angle : $1^{'} = 1 ° / 60$ et $1^{''} = 1 ° / 3600$
Conversions d’unités de longueur : $1$ u.a. $= 1, 5 \times 1 0^{11}$ m

1
Relation de proportionnalité entre $T^{2}$ et $r^{3}$ (10 minutes conseillées)

1. Préciser l’hypothèse à adopter concernant les trajectoires des satellites.

2. Proposer les grandes étapes du protocole expérimental à réaliser (5 lignes maximum) pour répondre à la problématique générale à partir de la formulation complète de la 3^e loi de Kepler pour laquelle on précisera les unités de chaque grandeur physique.

Appel n°1 Appeler le professeur pour lui présenter le protocole, ou en cas de difficulté.

2
Élaboration du protocole de mesure (20 minutes conseillées)

Le logiciel Stellarium est déjà configuré pour être centré sur la planète Jupiter avec un zoom suffisant pour observer les quatre satellites.

3. Proposer un protocole pour mesurer la période de révolution

T

du satellite Io.

4. Proposer un protocole pour mesurer le rayon de chacune des orbites des satellites Io

r_{1}

et Europe

r_{2}

Appel n°2 Appeler le professeur pour lui présenter les deux protocoles, ou en cas de difficulté.

3
Détermination de la masse de Jupiter (30 minutes conseillées)

5. Après accord du professeur, mettre en œuvre les deux protocoles de mesure.

6. Compléter le tableau ci-dessous.

Satellite	Mesure de l’angle de visée $θ$		Calcul du rayon orbite $r_{x}$	Mesure de la période de révolution $T_{x}$
	(°)	(rad)	(m)	(h)	(j)
Io
Europe					3,55

7. Après avoir reporté les données, tracer le graphe

T^{2} = f (r^{3})

Lancer le module Geogebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

8. Modéliser la courbe représentative de

T^{2} = f (r^{3})

par un modèle affine.

Lancer le module Geogebra

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Appel n°3 Appeler le professeur pour lui présenter les résultats de la modélisation, ou en cas de difficulté.

9. La littérature scientifique estime que la masse de Jupiter est égale à

M_{J} = (1, 90 \pm 0, 02) \times 1 0^{27}

kg. Vérifier cette valeur et conclure.

Quitter le logiciel Stellarium et fermer la session.

Rédiger une fiche récapitulative concernant la troisième loi de Kepler.

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7Détermination de la masse de Jupiter

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Doc. 1Données astronomiques

Doc. 2Matériel à disposition

Doc. 3Expression de la 3e loi de Kepler

Doc. 4Écart relatif

Doc. 5Mesure du rayon orbital

Doc. 6Jupiter et ses satellites