Galilée a observé pour la première fois les quatre plus grands satellites de Jupiter en 1610 : Io, Europe, Ganymède et Callisto. Puis Kepler a énoncé sa 3e loi des périodes en 1618. S'appuyant en partie sur leurs travaux, Newton a établi en 1687 la loi de gravitation et a permis ainsi de déterminer la constante de la loi des périodes de Kepler. Mais la mesure de la masse d'une planète, à l'aide du mouvement de ses satellites, n'a été possible qu'après la détermination de la constante de gravitation universelle G par Cavendish en 1798.

Comment déterminer la masse de Jupiter à partir du mouvement de quatre de ses satellites ?

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Doc. 1
Données astronomiques

Satellite	Rayon de l'orbite $r$ ( $\times 1 0^{5}$ km)	Période de révolution $T$ (j)
Io (1)
Europe (2)		3,55
Ganymède (3)	10,7	7,16
Callisto (4)	18,8	16,7

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Doc. 2
Matériel à disposition

Logiciel tableur/grapheur
Logiciel libre
planétarium Stellarium
et sa notice

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Doc. 3
Expression de la 3^e loi de Kepler

À l'aide des mesures astronomiques précises réalisées par T. Brahe, J. Kepler a énoncé en 1618, dans son ouvrage intitulé Hamonices mundi, sa troisième loi :

« Le carré de la période de révolution

T

d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a de sa trajectoire elliptique autour du Soleil tel que

\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = k

»

En appliquant la 2^e loi de Newton sur chaque lune de Jupiter, de période

T_{x}

et de rayon d'orbite

r_{x}

, gravitant autour de la planète Jupiter suivant une orbite quasicirculaire, on montre que la 3^e loi de Kepler s'écrit :

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G \cdot M _{J}}

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Doc. 4
Écart relatif

L'écart relatif

ε

entre la valeur expérimentale

m_{exp}

d'une masse et sa valeur théorique

m_{th}

se calcule avec la formule :

ε = \frac{m _{th} - m _{e x p}}{m _{th}}

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Doc. 5
Mesure du rayon orbital

L'angle de visée

θ

est l'angle sous lequel on voit le rayon

r_{X}

de la trajectoire du satellite depuis la Terre. D'après le schéma :

tan (θ) = \frac{r _{X}}{D}

θ

: angle de visée (rad)

r_{X}

: distance entre Jupiter et le satellite X (m)

D

: distance entre la Terre et Jupiter (m)

Dans l'approximité des petits angles, on a

tan (θ) = θ

lelivrescolaire.fr

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Doc. 6
Jupiter et ses satellites

lelivrescolaire.fr

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Données

Constante de gravitation universelle : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ m³⋅kg^-1⋅s^-2
Conversions d'unités d'angle : $1^{'} = 1°/60$ et $1^{''} = 1°/3 600$
Conversions d'unités de longueur : $1$ u.a. $= 1, 5 \times 1 0^{11}$ m

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Questions

1
Relation de proportionnalité entre $T^{2}$ et $r^{3}$ (10 minutes conseillées)

1. Préciser l'hypothèse à adopter concernant les trajectoires des satellites.

2. Proposer les grandes étapes du protocole expérimental à réaliser (5 lignes maximum) pour répondre à la problématique générale à partir de la formulation complète de la 3^e loi de Kepler pour laquelle on précisera les unités de chaque grandeur physique.

Appel n°1

Appeler le professeur pour lui présenter le protocole et le schéma, ou en cas de difficulté.

2
Élaboration du protocole de mesure
(20 minutes conseillées) Le logiciel Stellarium est déjà configuré pour être centré sur la planète Jupiter avec un zoom suffisant pour observer les quatre satellites.

3. Proposer un protocole pour mesurer la période de révolution

T

du satellite Io.

4. Proposer un protocole pour mesurer le rayon de chacune des orbites des satellites Io

r_{1}

et Europe

r_{2}

Appel n°2

Appeler le professeur pour lui présenter le protocole et le schéma, ou en cas de difficulté.

3
Détermination de la masse de Jupiter (30 minutes conseillées)

Photographie de Jupiter, planète géante gazeuse montrant des bandes nuageuses colorées et la Grande Tache Rouge.

NASA/ESA/Wikimedia

5. Après accord du professeur, mettre en œuvre les deux protocoles de mesure.

6. Compléter le tableau ci-dessous.

Satellite	Mesure de l'angle de visée $θ$		Calcul du rayon orbite $r_{x}$	Mesure de la période de révolution $T_{x}$
	(°)	(rad)	(m)	(h)	(j)
Io
Europe					3,55

7. Après avoir reporté les données, tracer le graphe

T^{2} = f (r^{3})

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8. Modéliser la courbe représentative de

T^{2} = f (r^{3})

par un modèle affine.

GeoGebra

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Appel n°3

Appeler le professeur pour lui présenter le protocole et le schéma, ou en cas de difficulté.

9. La littérature scientifique estime que la masse de Jupiter est égale à

M_{J} = (1, 90 \pm 0, 02) \times 1 0^{27}

kg. Vérifier cette valeur et conclure.

Quitter le logiciel Stellarium et fermer la session.

Se Préparer aux ECE

Rédiger une fiche récapitulative concernant la troisième loi de Kepler.

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Préparation aux épreuves du Bac

Ch. 1Modélisation des transformations acide-base

Ch. 2Analyse physique d'un système chimique

Ch. 3Méthode de suivi d'un titrage

Ch. 4Évolution temporelle d'une transformation chimique

Ch. 5Évolution temporelle d'une transformation nucléaire

BACThème 1

Ch. 6Évolution spontanée d'un système chimique

Ch. 7Équilibres acide-base

Ch. 8Transformations chimiques forcées

Ch. 9Structure et optimisation en chimie organique

Ch. 10Stratégies de synthèse

BACThème 1 bis

Ch. 11Description d'un mouvement

Ch. 12Mouvement dans un champ uniforme

Ch. 13Mouvement dans un champ de gravitation

Ch. 14Modélisation de l'écoulement d'un fluide

BACThème 2

Ch. 15Étude d’un système thermodynamique

Ch. 16Bilans d'énergie thermique

BACThème 3

Ch. 17Propagation des ondes

Ch. 18Interférences et diffraction

Ch. 19Lunette astronomique

Ch. 20Effet photoélectrique et enjeux énergétiques

Ch. 21Évolutions temporelles dans un circuit capacitif

BACThème 4

Ch. 22Méthode

Détermination de la masse de Jupiter

Doc. 1Données astronomiques

Doc. 2Matériel à disposition

Doc. 3Expression de la 3e loi de Kepler

Doc. 4Écart relatif

Doc. 5Mesure du rayon orbital

Doc. 6Jupiter et ses satellites

Données

GeoGebra

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Ch. 1
Modélisation des transformations acide-base

Ch. 2
Analyse physique d'un système chimique

Ch. 3
Méthode de suivi d'un titrage

Ch. 4
Évolution temporelle d'une transformation chimique

Ch. 5
Évolution temporelle d'une transformation nucléaire

BAC
Thème 1

Ch. 6
Évolution spontanée d'un système chimique

Ch. 7
Équilibres acide-base

Ch. 8
Transformations chimiques forcées

Ch. 9
Structure et optimisation en chimie organique

Ch. 10
Stratégies de synthèse

BAC
Thème 1 bis

Ch. 11
Description d'un mouvement

Ch. 12
Mouvement dans un champ uniforme

Ch. 13
Mouvement dans un champ de gravitation

Ch. 14
Modélisation de l'écoulement d'un fluide

BAC
Thème 2

Ch. 15
Étude d’un système thermodynamique

Ch. 16
Bilans d'énergie thermique

BAC
Thème 3

Ch. 17
Propagation des ondes

Ch. 18
Interférences et diffraction

Ch. 19
Lunette astronomique

Ch. 20
Effet photoélectrique et enjeux énergétiques

Ch. 21
Évolutions temporelles dans un circuit capacitif

BAC
Thème 4

Ch. 22
Méthode

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Données astronomiques

Doc. 2
Matériel à disposition

Doc. 3
Expression de la 3^e loi de Kepler

Doc. 4
Écart relatif

Doc. 5
Mesure du rayon orbital

Doc. 6
Jupiter et ses satellites