Galilée a observé pour la première fois les quatre plus grands satellites de Jupiter en 1610 : Io, Europe, Ganymède et Callisto. Puis Kepler a énoncé sa 3e loi des périodes en 1618. S'appuyant en partie sur leurs travaux, Newton a établi en 1687 la loi de gravitation et a permis ainsi de déterminer la constante de la loi des périodes de Kepler. Mais la mesure de la masse d'une planète, à l'aide du mouvement de ses satellites, n'a été possible qu'après la détermination de la constante de gravitation universelle G par Cavendish en 1798.

Comment déterminer la masse de Jupiter à partir du mouvement de quatre de ses satellites ?

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Doc. 1
Données astronomiques

Satellite	Rayon de l'orbite \bm r (\bold{\times 10^5} km)	Période de révolution \bm T (j)
Io (1)
Europe (2)		3,55
Ganymède (3)	10,7	7,16
Callisto (4)	18,8	16,7

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Doc. 2
Matériel à disposition

Logiciel tableur/grapheur
Logiciel libre
planétarium Stellarium
et sa notice

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Doc. 3
Expression de la 3^e loi de Kepler

À l'aide des mesures astronomiques précises réalisées par T. Brahe, J. Kepler a énoncé en 1618, dans son ouvrage intitulé Hamonices mundi, sa troisième loi :

« Le carré de la période de révolution T d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a de sa trajectoire elliptique autour du Soleil tel que \dfrac{T^{2}}{a^{3}}=k »

En appliquant la 2^e loi de Newton sur chaque lune de Jupiter, de période T_\text{x} et de rayon d'orbite r_\text{x}, gravitant autour de la planète Jupiter suivant une orbite quasicirculaire, on montre que la 3^e loi de Kepler s'écrit : \dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4 \pi^{2}}{G \cdot M_{\mathrm{J}}}

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Doc. 4
Écart relatif

L'écart relatif \varepsilon entre la valeur expérimentale m_\text{exp} d'une masse et sa valeur théorique m_\text{th} se calcule avec la formule : \varepsilon=\dfrac{m_{\mathrm{th}}-m_{\exp }}{m_{\mathrm{th}}}

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Doc. 5
Mesure du rayon orbital

L'angle de visée \theta est l'angle sous lequel on voit le rayon r_\text{X} de la trajectoire du satellite depuis la Terre. D'après le schéma :

\tan (\theta)=\dfrac{r_{\mathrm{X}}}{D}

\theta: angle de visée (rad)
r_\text{X}: distance entre Jupiter et le satellite X (m)
D: distance entre la Terre et Jupiter (m)

Dans l'approximité des petits angles, on a \tan (\theta)=\theta

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Doc. 6
Jupiter et ses satellites

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Données

Constante de gravitation universelle : G = 6{,}67 \times 10^{-11} m³⋅kg^-1⋅s^-2
Conversions d'unités d'angle : 1' = 1°/60 et 1'' = 1°/3 \: 600
Conversions d'unités de longueur : 1 u.a. = 1{,}5 \times 10^{11} m

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Questions

1
Relation de proportionnalité entre \bm T^2 et \bm r^3 (10 minutes conseillées)

1. Préciser l'hypothèse à adopter concernant les trajectoires des satellites.

2. Proposer les grandes étapes du protocole expérimental à réaliser (5 lignes maximum) pour répondre à la problématique générale à partir de la formulation complète de la 3^e loi de Kepler pour laquelle on précisera les unités de chaque grandeur physique.

Appel n°1

Appeler le professeur pour lui présenter le protocole et le schéma, ou en cas de difficulté.

2
Élaboration du protocole de mesure
(20 minutes conseillées) Le logiciel Stellarium est déjà configuré pour être centré sur la planète Jupiter avec un zoom suffisant pour observer les quatre satellites.

3. Proposer un protocole pour mesurer la période de révolution T du satellite Io.

4. Proposer un protocole pour mesurer le rayon de chacune des orbites des satellites Io r_1 et Europe r_2.

Appel n°2

Appeler le professeur pour lui présenter le protocole et le schéma, ou en cas de difficulté.

3
Détermination de la masse de Jupiter (30 minutes conseillées)

Photographie de Jupiter, planète géante gazeuse montrant des bandes nuageuses colorées et la Grande Tache Rouge.

5. Après accord du professeur, mettre en œuvre les deux protocoles de mesure.

6. Compléter le tableau ci-dessous.

Satellite	Mesure de l'angle de visée \bm \theta		Calcul du rayon orbite \bm{r_\text{x}}	Mesure de la période de révolution \bm{T_\text{x}}
	(°)	(rad)	(m)	(h)	(j)
Io
Europe					3,55

7. Après avoir reporté les données, tracer le graphe T^{2}=f\left(r^{3}\right).

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8. Modéliser la courbe représentative de T^{2}=f\left(r^{3}\right) par un modèle affine.

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Appel n°3

Appeler le professeur pour lui présenter le protocole et le schéma, ou en cas de difficulté.

9. La littérature scientifique estime que la masse de Jupiter est égale à M_{\mathrm{J}}=(1{,}90 \pm 0{,}02) \times 10^{27} kg. Vérifier cette valeur et conclure.

Quitter le logiciel Stellarium et fermer la session.

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Rédiger une fiche récapitulative concernant la troisième loi de Kepler.

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Physique-Chimie Terminale Spécialité

Détermination de la masse de Jupiter

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Doc. 2Matériel à disposition

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Doc. 5Mesure du rayon orbital

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Données

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Matériel à disposition

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Expression de la 3^e loi de Kepler

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Mesure du rayon orbital

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Jupiter et ses satellites