Vol en montgolfière

Aujourd'hui, un vol en montgolfière constitue une activité touristique permettant de découvrir une région vue du ciel. On en oublie presque que c'est le premier objet qui permit à l'humain de voler. En effet, le 19 octobre 1783, Jean‑Baptiste Réveillon, Jean‑François Pilâtre de Rozier et André Giroud de Villette ont été les premières personnes à s'élever dans le ciel, à l'aide d'un ballon, réalisé sur le modèle de celui des frères Montgolfier, mis au point quelques mois plus tôt.

• Pression au niveau du sol : p_{\text{atm}} = 1{,}013 \times 10^5 Pa
• Intensité de pesanteur : g = 9{,}81 N·kg^-1
• Constante des gaz parfaits : R = 8{,}314 J·K^-1·mol^-1
• Masse molaire de l'air : M(\text{air}) = 28{,}9 g·mol^-1
• Équation d'état des gaz parfaits : p \cdot V = n \cdot R \cdot T
• Conversion d'unités de température : T = \theta + 273{,}15

1.1 Identifier les deux forces exercées sur la montgolfière et représenter leur somme dirigée vers le haut.

1.2 Déterminer les expressions de m_1 et m_2 à partir des quantités n_1 et n_2 et de l'équation d'état des gaz parfaits.

1.3 Prendre en compte l'air contenu dans l'enveloppe en plus de la nacelle.

1.4 Ne prendre en compte que le volume d'air déplacé par l'enveloppe.

1.5 Exprimer la condition sur P et \varPi pour avoir un décollage.

Juste après son envol, la montgolfière est dans un premier temps immobilisée quelques mètres au-dessus du sol par deux cordes. La nacelle ne touche plus le sol et les cordes sont tendues verticalement entre le sol et la nacelle. On choisit un repère (\text O, \vec{i} , \vec{k}). La température à l'intérieur du ballon vaut maintenant \theta = 94 °C et celle de l'air extérieur est toujours de 10 °C. La masse de l'enveloppe, de la nacelle et de son équipage reste inchangée, ainsi que le volume du ballon.

2.1 Supposer que la tension de chaque corde est égale.

2.2 Utiliser la première loi de Newton.

2.3 Projeter les forces sur l'axe vertical.

Les amarres sont coupées et la montgolfière démarre son ascension vers le haut. Un petit vent d'ouest modifie rapidement son mouvement. Pour que la prise d'altitude soit plus rapide, l'équipage lâche un peu de lest en laissant tomber, par-dessus bord, des sacs de sable. On s'intéresse à la chute de l'un de ces sacs. L'équipage laisse tomber un sac de masse m = 2{,}0 kg lorsque la nacelle se trouve à une hauteur h = 14 m du sol. Le sac est alors au point noté \text{H}. La valeur de la vitesse de la montgolfière est alors v_0 = 10 m·s^-1 et sa direction fait un angle \alpha = 50 ° avec l'horizontal. Pour étudier la chute du sac, on se place dans un repère dont l'origine de l'axe des ordonnées est prise au niveau du sol et celle de l'axe des abscisses est prise à la verticale du point \text{H}, c'est-à-dire au niveau du sac au moment où il est lâché.