Fontaines du château de Versailles

L'alimentation des bassins et le fonctionnement des fontaines du château de Versailles représentaient au XVII^e siècle un grand défi technique. Les besoins en eau étaient colossaux : il a fallu chercher l'eau dans les étangs voisins et dans la Seine et fabriquer de nombreux réservoirs de stockage. Les quatre réservoirs de Montbauron ont été construits en 1686 pour recueillir l'eau provenant d'étangs environnants. Ils approvisionnaient toutes les fontaines situées dans la partie supérieure du parc. De ces quatre réservoirs, il n'en reste que deux et un seul est aujourd'hui utilisé pour fournir de l'eau aux fontaines du château.

Ce sujet se penche sur l'alimentation en eau du jet d'eau du parterre nord par le réservoir de Montbauron et l'approvisionnement des fontaines pendant les Grandes Eaux.

L'eau s'écoule par gravité du réservoir de Montbauron jusqu'au bassin du parterre nord. Une vanne, notée \text V, permet de lancer ou de couper l'écoulement. L'eau du jet est récupérée dans le bassin et s'écoule par un trop-plein vers d'autres bassins non étudiés.

Les canalisations sont de section circulaire. Le diamètre de la canalisation 1 vaut d_1 = 900 mm, celui de la canalisation 2 vaut d_2 = 500 mm et celui de la canalisation au point \text{A} vaut d_\text{A} = 110 mm.

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Vitesses d'écoulement
1.1 Calculer la pression p_v dans la canalisation 2, au niveau de la vanne \text{V}, quand celle-ci est fermée.

Dans le cas où la vanne \text{V} est ouverte, le fluide est considéré incompressible et l'écoulement permanent, sans tourbillon. On ne tient pas compte des pertes de charge. La surface du réservoir de Montbauron étant très grande, on considère que la vitesse d'écoulement est nulle au point \text{C}.

1.2 En utilisant la relation de Bernoulli adaptée à la situation, exprimer puis calculer la vitesse de l'eau v_\text{A} au point \text{A}.

1.3 En déduire le débit volumique D_\text{v} du jet d'eau.

1.4 Déterminer alors les vitesses d'écoulement dans chacune des deux canalisations.

1.5 Préciser, au niveau du rétrécissement, pour quelle canalisation la pression est la plus importante.

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Hauteur du jet
La vitesse de l'eau en sortie de canalisation est en réalité plus faible en raison des pertes énergétiques dans les canalisations. On mesure une vitesse de l'eau au point \text{A} égale à v'_\text{A} = 16{,}4 m·s^-1.

2.1 En utilisant la relation de Bernoulli, déterminer la hauteur du jet h_\text{j}.

2.2 En réalité, la hauteur du jet est plus faible. Expliquer quel phénomène est négligé dans cette étude.

1.1 Utiliser la loi fondamentale de la statique des fluides.

1.2 Déterminer les pressions, altitudes du fluide et vitesses aux points \text{A} et \text{C} et utiliser la relation de Bernoulli.

1.3 Le diamètre de la canalisation au point \text{A} permet de déterminer la section de la canalisation nécessaire pour le calcul du débit.

1.4 Utiliser la conservation du débit volumique le long de la canalisation.

1.5 Justifier à l'aide de l'effet Venturi.

2.1 Utiliser la relation de Bernoulli en supposant un écoulement entre les points \text{A} et \text{B}.

2.2 Préciser les phénomènes jusqu'ici négligés.

3.1 Utiliser les données du doc. 3 

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3.2 Utiliser l'expression du volume d'un cylindre.

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