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Fontaines du château de Versailles

Doc. 1

Du réservoir aux fontaines

Doc. 2

Schéma du circuit hydraulique

• Masse volumique de l’eau : $\rho = 1 \: 000$ kg·m^-3
• Intensité de pesanteur : $g = 9{,}81$ N·kg^-1
• Pression atmosphérique : $p_{\text{atm}} = 1{,}013 \times 10^5$ Pa
• Relation de Bernoulli sans perte de charge :
  $p_{1}-p_{2}+\rho \cdot g \cdot\left(h_{1}-h_{2}\right)+\dfrac{1}{2} \rho \cdot\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)=0$

1. Vitesses d’écoulement

1.1 Calculer la pression $p_v$ dans la canalisation $2$, au niveau de la vanne $\text{V}$, quand celle-ci est fermée.


Dans le cas où la vanne $\text{V}$ est ouverte, le fluide est considéré incompressible et l’écoulement permanent, sans tourbillon. On ne tient pas compte des pertes de charge. La surface du réservoir de Montbauron étant très grande, on considère que la vitesse d’écoulement est nulle au point $\text{C}$.

1.2 En utilisant la relation de Bernoulli adaptée à la situation, exprimer puis calculer la vitesse de l’eau $v_\text{A}$ au point $\text{A}$.


1.3 En déduire le débit volumique $D_\text{v}$ du jet d’eau.


1.4 Déterminer alors les vitesses d’écoulement dans chacune des deux canalisations.


1.5 Préciser, au niveau du rétrécissement, pour quelle canalisation la pression est la plus importante.


2. Hauteur du jet

La vitesse de l’eau en sortie de canalisation est en réalité plus faible en raison des pertes énergétiques dans les canalisations. On mesure une vitesse de l’eau au point $\text{A}$ égale à $v'_\text{A} = 16{,}4$ m·s^-1.

2.1 En utilisant la relation de Bernoulli, déterminer la hauteur du jet $h_\text{j}$.


2.2 En réalité, la hauteur du jet est plus faible. Expliquer quel phénomène est négligé dans cette étude.

Doc. 3

Jets d’eau du réservoir de Montbauron pendant les spectacles des Grandes Eaux

« Ce fut un jardin avant d’être un château, une fête avant d’être un jardin, une nuit avant d’être mille soleils. Si l’on veut comprendre Versailles, il faut d’abord se promener dans ses jardins ».

Plusieurs fois par an, le spectacle des Grandes Eaux fait revivre la splendeur des fêtes de l’époque du Roi‑Soleil, au rythme des musiques de Lully, dans les jardins du château. Pendant ces spectacles, le réservoir de Montbauron alimente tous ses jets d’eau à un débit de $2 \: 500$ m³·h^-1 pendant 1 h 30.

3. Vidange du réservoir

3.1 Calculer le volume d’eau $V$ utilisé pendant un spectacle des Grandes Eaux.


3.2 En déduire la diminution $\Delta h$ du niveau d’eau dans le réservoir de Montbauron, sachant que la surface $S$ de ce réservoir cylindrique est égale à $16 \: 000$ m².