Les trébuchets, immenses pièces d’artillerie du Moyen Âge, servaient autrefois à lancer d’énormes blocs de pierre sur les fortifications en vue de les détruire. La trajectoire suivie par les projectiles décrivait alors de grandes paraboles, dépendant des conditions initiales de tir.
➜ Comment remonter aux conditions de tir à partir de la trajectoire du projectile ?
Doc. 1
Reconstitution d’un trébuchet médiéval
Doc. 2
Trajectoire du mouvement
Sur le graphique, on représente v0 le vecteur vitesse initiale du tir dont la norme s’exprime en (m⋅s-1) et α l’angle de tir en (rad).
Doc. 3
Équations horaires
On présente ci-dessous six fonctions correspondant aux équations horaires des coordonnées des vecteurs position, vitesse et accélération du mouvement parabolique étudié.
Ces équations sont présentées dans le désordre :
f1(t)=v0x
f2(t)=−a⋅t+v0y
f3(t)=−2a⋅t2+v0y⋅t+h0
f4(t)=v0x⋅t
f5(t)=0
f6(t)=−a
Doc. 4
Matériel nécessaire
Calculatrice non programmable
Ordinateur
Logiciel de pointage et sa notice d’utilisation
Labo Python, Regressi ou tableur
Doc. 5
Estimation grossière d’une incertitude
Pour estimer une incertitude pour une ordonnée à l’origine dans un modèle affine y=a⋅x+b, ou une incertitude dans un modèle constant y=b, on recherche les droites extrema permettant d’englober tous les points de mesure en modifiant les valeurs de b.
On peut alors considérer que l’incertitude u(b) correspond alors à : u(b)=2bmax−bmin
Supplément numérique
Prochainement, téléchargez la vidéo du mouvement parabolique et le programme Python.
Point maths
Rappel
Dans un triangle rectangle :
cos(α)=ABAC
sin(α)=ABBC
Relation trigonométrique : cos(α)2+sin(α)2=1
1
Pointage de la vidéo
(15 minutes conseillées)
1. À partir de la vidéo fournie, identifier le système et le référentiel d’étude permettant de modéliser les trajectoires suivies par les projectiles des trébuchets.
2. Réaliser le pointage vidéo du mouvement du système.
Appel n°1Appeler le professeur pour lui présenter la vidéo.
2
Traitement des données
(15 minutes conseillées)
3. Exporter les données vers un tableur ou vers le programme Python fourni.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Lecture des donnees du fichier txt
t, x, y = np.loadtxt('donnees_chute.txt', unpack=True, usecols=(0, 1, 2), delimiter = '\t', skiprows = 2)
vx, vy, ax, ay = [], [], [], []
for i in range(len(t)-1) :
vx.append((x[i+1]-x[i])/(t[i+1]-t[i]))
vy.append((y[i+1]-y[i])/(t[i+1]-t[i]))
for i in range(len(vx)-1) :
ax.append((vx[i+1]-vx[i])/(t[i+1]-t[i]))
ay.append((vy[i+1]-vy[i])/(t[i+1]-t[i]))
# Creation du graphique
plt.title('Coordonnees de la position')
plt.xlabel('$t$ (s)')
plt.ylabel('$x$ et $y$ (m)')
plt.plot(t, x, color = 'blue', label = '$x(t)$', marker = '+')
plt.plot(t, y, color = 'red', label = '$y(t)$', marker = '+')
plt.legend()
plt.show()
plt.title('Coordonnees de la vitesse')
plt.xlabel('$t$ (s)')
plt.ylabel('$v_x$ et $v_y$ (m)')
plt.plot(t[:-1], vx, color = 'blue', label = '$v_x(t)$', marker = '+')
plt.plot(t[:-1], vy, color = 'red', label = '$v_y(t)$', marker = '+')
plt.legend()
plt.show()
plt.title('Coordonnees de l\'acceleration')
plt.xlabel('$t$ (s)')
plt.ylabel('$a_x$ et $a_y$ (m)')
plt.plot(t[:-2], ax, color = 'blue', label = '$a_x(t)$', marker = '+')
plt.plot(t[:-2], ay, color = 'red', label = '$a_y(t)$', marker = '+')
plt.legend()
plt.show()
4. Calculer les coordonnées des vecteurs vitesse v et accélération a et tracer leur évolution au cours du temps.
Appel n°2Appeler le professeur pour lui faire valider les équations et courbes obtenues.
5. Associer à chaque coordonnée x(t), y(t), vx(t), vy(t), ax(t) et ay(t), l’équation horaire correspondante du doc. 4(⇧) en étudiant les allures des courbes.
3
Exploitation des données expérimentales
(30 minutes conseillées)
On s’intéresse plus précisément aux coordonnées associées aux fonctions f1(t), f2(t) et f6(t).
6. Proposer une méthode permettant de déterminer les paramètres a, v0x et v0y du mouvement.
Appel n°3Appeler le professeur pour lui présenter la méthode.
7. Déterminer expérimentalement les valeurs de a, v0x et v0y et estimer les incertitudes u(v0x) et u(v0y) à l’aide du doc. 5(⇧).
8. Exprimer l’angle de tir α en fonction de v0x et v0y.
L’incertitude u(α) sur l’angle de tir α dépend des incertitudes u(v0x) et u(v0y) selon la relation : sin(2α)2u(α)=(v0yu(v0y))2+(v0xu(v0x))2
9. Calculer l’incertitude u(α) et exprimer de nouveau la valeur de l’angle de tir α avec un nombre de chiffres significatifs adapté.
Défaire le montage et ranger la paillasse
Rédiger une fiche de révision pour la préparation des ECE en énumérant tous les points essentiels pour réaliser l’étude cinématique d’un mouvement filmé à l’aide d’un pointage informatique.
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