5

Angle de tir

Doc. 1

Reconstitution d’un trébuchet médiéval

Doc. 2

Trajectoire du mouvement

Doc. 3

Équations horaires

On présente ci-dessous six fonctions correspondant aux équations horaires des coordonnées des vecteurs position, vitesse et accélération du mouvement parabolique étudié.
Ces équations sont présentées dans le désordre :

• $f_1(t)=v_{\text{0x}}$
• $f_2(t)=-a\cdot t+v_{0\mathrm{y}}$
• $f_3(t)=-\frac{a}{2}\cdot t^2+v_{0\mathrm{y}}\cdot t+h_0$
• $f_4(t)=v_{0\mathrm{x}}\cdot t$
• $f_5(t)=0$
• $f_6(t)=-a$

Doc. 5

Estimation grossière d’une incertitude

Pour estimer une incertitude pour une ordonnée à l’origine dans un modèle affine $y=a\cdot x+b$, ou une incertitude dans un modèle constant $y=b$, on recherche les droites extrema permettant d’englober tous les points de mesure en modifiant les valeurs de $b$.
On peut alors considérer que l’incertitude $u(b)$ correspond alors à :
$u(b)=\frac{b_{\max }-b_{\min }}{2}$

Prochainement, téléchargez la vidéo du mouvement parabolique et le programme Python.

Point maths

Rappel

Dans un triangle rectangle :
$\cos (\alpha )=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}$

$\sin (\alpha )=\frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}$

Relation trigonométrique : $\cos (\alpha {)}^2+\sin (\alpha {)}^2=1$

1

Pointage de la vidéo (15 minutes conseillées)

1. À partir de la vidéo fournie, identifier le système et le référentiel d’étude permettant de modéliser les trajectoires suivies par les projectiles des trébuchets.


2. Réaliser le pointage vidéo du mouvement du système.

2

Traitement des données (15 minutes conseillées)

3. Exporter les données vers un tableur ou vers le programme Python fourni.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Lecture des donnees du fichier txt
t, x, y = np.loadtxt('donnees_chute.txt', unpack=True, usecols=(0, 1, 2), delimiter = '\t', skiprows = 2)
vx, vy, ax, ay = [], [], [], []
for i in range(len(t)-1) :
    vx.append((x[i+1]-x[i])/(t[i+1]-t[i]))
    vy.append((y[i+1]-y[i])/(t[i+1]-t[i]))
for i in range(len(vx)-1) :
    ax.append((vx[i+1]-vx[i])/(t[i+1]-t[i]))
    ay.append((vy[i+1]-vy[i])/(t[i+1]-t[i]))
# Creation du graphique
plt.title('Coordonnees de la position')
plt.xlabel('$t$ (s)')
plt.ylabel('$x$ et $y$ (m)')
plt.plot(t, x, color = 'blue', label = '$x(t)$', marker = '+')
plt.plot(t, y, color = 'red', label = '$y(t)$', marker = '+')
plt.legend()
plt.show()
plt.title('Coordonnees de la vitesse')
plt.xlabel('$t$ (s)')
plt.ylabel('$v_x$ et $v_y$ (m)')
plt.plot(t[:-1], vx, color = 'blue', label = '$v_x(t)$', marker = '+')
plt.plot(t[:-1], vy, color = 'red', label = '$v_y(t)$', marker = '+')
plt.legend()
plt.show()
plt.title('Coordonnees de l\'acceleration')
plt.xlabel('$t$ (s)')
plt.ylabel('$a_x$ et $a_y$ (m)')
plt.plot(t[:-2], ax, color = 'blue', label = '$a_x(t)$', marker = '+')
plt.plot(t[:-2], ay, color = 'red', label = '$a_y(t)$', marker = '+')
plt.legend()
plt.show()

4. Calculer les coordonnées des vecteurs vitesse $\overrightarrow{v}$ et accélération $\overrightarrow{a}$ et tracer leur évolution au cours du temps.




5. Associer à chaque coordonnée $x(t)$, $y(t)$, $v_{\text{x}}(t)$, $v_{\text{y}}(t)$, $a_{\text{x}}(t)$ et $a_{\text{y}}(t)$, l’équation horaire correspondante du doc. 4 (⇧) en étudiant les allures des courbes.

3

Exploitation des données expérimentales (30 minutes conseillées)

On s’intéresse plus précisément aux coordonnées associées aux fonctions $f_1(t)$, $f_2(t)$ et $f_6(t)$.

6. Proposer une méthode permettant de déterminer les paramètres $a$, $v_{\text{0x}}$ et $v_{\text{0y}}$ du mouvement.




7. Déterminer expérimentalement les valeurs de $a$, $v_{\text{0x}}$ et $v_{\text{0y}}$ et estimer les incertitudes $u(v_{\text{0x}})$ et $u(v_{\text{0y}})$ à l’aide du doc. 5 (⇧).


8. Exprimer l’angle de tir $\alpha$ en fonction de $v_{\text{0x}}$ et $v_{\text{0y}}$.

L’incertitude $u(\alpha )$ sur l’angle de tir $\alpha$ dépend des incertitudes $u(v_{\text{0x}})$ et $u(v_{\text{0y}})$ selon la relation : $\frac{2u(\alpha )}{\sin (2\alpha )}=\sqrt{{\left(\frac{u\left(v_{\text{0y}}\right)}{v_{\text{0y}}}\right)}^2+{\left(\frac{u\left(v_{\text{0x}}\right)}{v_{\text{0x}}}\right)}^2}$

9. Calculer l’incertitude $u(\alpha )$ et exprimer de nouveau la valeur de l’angle de tir $\alpha$ avec un nombre de chiffres significatifs adapté.