Exercices

28

Implant cochléaire

✔ APP : Extraire l’information utile

Une femme de 60 ans est diagnostiquée avec l’audition d’une personne de 90 ans. Elle décide de porter un implant cochléaire pour retrouver l’audition d’une personne de son âge. Un son d’une fréquence de $4,0$ kHz et d’un niveau de $100$ dB arrive à ses oreilles.

1. Calculer le niveau sonore que perçoit cette femme sans et puis avec son implant.


2. Déterminer l’amplification en décibel (dB) que doit fournir l’implant à cette fréquence.


3. En déduire le rapport des intensités sonores perçues avec et sans implant correspondant à cette amplification.


■ Audibilité en fonction de l’âge

29

Casque anti-bruit

✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

Sur un chantier de travaux publics, un ouvrier est placé à une distance $d=1,0$ m d’un engin émettant un bruit dont la puissance sonore est $P=15$ mW.

1. Vérifier si le bruit perçu par cet ouvrier présente un danger pour son système auditif.


2. L’ouvrier met un casque anti-bruit dont l’atténuation est de $-20$ dB. Préciser si le danger persiste.


3. L’ouvrier retire son casque et s’éloigne pour se positionner à $10$ m de l’engin. Conclure quant à la dangerosité de cette exposition au bruit.

Données

• Expression de la dilution sphérique : $I=\frac{P}{4\pi \cdot d^2}$
• Seuil de danger pour le système auditif : $L_{\text{danger}}=85$ dB

31

Isolation phonique d’une maison

✔ RAI/ANA : Utiliser et interpréter des documents

Un couple réalise un diagnostic d’isolation phonique de son logement. Il décide de tester le mur en béton donnant sur la route.

1. Calculer les facteurs de transmission ${\eta }_{\text{v}}$ des vitres et ${\eta }_{\text{m}}$ du reste du mur.


2. En déduire le facteur de transmission global ${\eta }_{\text{g}}$ et l’atténuation globale $A_{\text{g}}$ de ce mur. Justifier la nécessité ou non de réaliser des travaux.


Plan de la maison

Facteur de transmission

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Concert en plein air

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement

Lors d’un concert en plein air, le niveau sonore à $1$ m des haut-parleurs est de $110$ dB. On suppose celui-ci identique, quelle que soit la fréquence.

1. Calculer le niveau, puis l’intensité sonore entendus à $10$ m pour un son de fréquence $f_1=125$ Hz.


2. Faire de même pour une distance de $80$ m.


3. Répondre aux deux premières questions pour une fréquence $f_2=8$ kHz.


4. Expliquer pourquoi, lors des concerts en plein air, on place des haut-parleurs supplémentaires pour les aigus $30$ m en avant de la scène.


■ Dilution sphérique et absorption

34

Décalage Doppler

✔ VAL : Analyser des résultats

Un observateur fixe reçoit une onde sonore émise par une source s’approchant à $34$ m·s^-1.

⬥ Pour chaque question, choisir la bonne réponse.

1. Calculer la fréquence reçue par l’observateur si la source émet à une fréquence de $600$ Hz.

a. $540$ Hz.

b. $545$ Hz.

c. $660$ Hz.

d. $667$ Hz.

2. Calculer la fréquence émise si la fréquence reçue par l’observateur est de $600$ Hz

a. $540$ Hz.

b. $545$ Hz.

c. $660$ Hz.

d. $667$ Hz.

3. Calculer la longueur d’onde reçue si la longueur d’onde émise est de $90$ cm.

a. $81$ cm.

b. $84$ cm.

c. $90$ cm.

d. $100$ cm.

4. . Calculer la longueur d’onde reçue si la fréquence reçue est de $680$ Hz.

a. $50$ cm.

b. $80$ cm.

c. $160$ cm.

d. $200$ cm.

Données

• Expression du décalage Doppler dans cette situation :
  $f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}}=\frac{f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}\cdot v_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}}{v_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}-v}$
• Vitesse du son dans l’air : $v_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}=340$ m·s^-1

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Camion de pompier

✔ RAI/ANA : Utiliser et interpréter des documents

La sirène des pompiers utilise deux notes : un $s{i}_3$ pour le « pin » et un $l{a}_3$ pour le « pon ». Un camion de pompier roulant à $70$ km·h^-1 passe à proximité d’un passant.

1. Déterminer les notes entendues par le passant lorsque le camion s’approche.


2. Même question lorsque le camion s’éloigne.

Données

• Expression du décalage Doppler en approche : $f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}}=\frac{f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}\cdot v_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}}{v_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}-v}$
• Expression du décalage Doppler en éloignement :
  $f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}}=\frac{f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}\cdot v_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}}{v_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}+v}$
• Vitesse du son dans l’air : $v_{\text{son }}=340\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$

■ Fréquences des notes dans la gamme tempérée

36

Passage d’une formule 1

✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

Une voiture de formule 1 (notée $\text{F}$ sur le doc. 1.) se déplace à une vitesse $v$ constante sur un axe $(\mathrm{O}\mathrm{x})$ rectiligne. Un spectateur (noté $\text{S}$ sur le doc. 2.) est placé à une distance $d$ de l’axe $(\mathrm{O}\mathrm{x})$. On note $\theta$ l’angle entre l’axe $(\mathrm{O}\mathrm{x})$ et la droite passant par $\text{F}$ et $\text{S}$. La formule 1 émet un son de fréquence $f_{\text{em}}$.

1. Exprimer $\cos (\theta )$ en fonction de $x$ et $d$.


2. Exprimer $f_{\text{rec}}$ en fonction de $f_{\text{em}}$, $x$, $d$, $v$ et $v_{\text{son}}$.


3. Parmi les quatre représentations graphiques proposées, choisir celle qui correspond à la réponse de la question précédente.

3. Parmi les quatre représentations graphiques proposées, choisir celle qui correspond à la réponse de la question précédente.

Donnée

• Expression du décalage Doppler dans cette situation :
  $f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}}=f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}\cdot \left(1+\frac{v\cdot \cos (\theta )}{v_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}}\right)$

Positions du spectateur et de la formule 1

Représentations graphiques possibles de $f_{\text{rec}}$ en fonction de $x$

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Examen écho-doppler

✔ RAI/ANA : Utiliser et interpréter des documents

Un examen écho-doppler utilise des ultrasons pour sonder les flux sanguins. Pour simplifier, on suppose que l’onde émise par la sonde ne donne que deux échos : un premier issu de la réflexion sur la première paroi du vaisseau sanguin et un second issu de la réflexion sur un globule rouge se déplaçant à une vitesse $v$. On suppose que l’absorption par le sang est la seule cause d’atténuation entre ces deux échos. La sonde émet à une fréquence $f_{\text{em}}=10$ MHz dans une direction faisant un angle $\theta =45°$ avec la vitesse du globule rouge.



1. Calculer la distance $d$ indiquée sur le schéma.


2. Calculer l’atténuation $A$ entre les deux échos.


3. À cette fréquence, le sang a une absorption de $0,3$ dB·mm^-1. Cette valeur est-elle cohérente avec votre réponse à la question précédente ?


4. Justifier le facteur 2 dans la formule fournie.


5. Calculer la vitesse $v$ du globule rouge.


■ Schématisation du fonctionnement de l’examen écho-doppler

Données

• Vitesse des ultrasons dans le sang : $v_{us}=1,57\times 10^3$
m·s^-1
• Intensité de référence : $I_0=10^{-12}$ m·s^-2
• Expression du décalage Doppler dans cette situation : $\Delta f=\frac{2f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}\cdot \cos (\theta )\cdot v}{v_{\mathrm{u}\mathrm{s}}}$

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38

Décalage en fréquence

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement

L’objectif de cet exercice est de démontrer la formule du décalage Doppler de deux façons différentes.
On considère un observateur fixe observant une source émettant des bips avec une période $T_{\text{em}}$. La source se déplace en direction de l’observateur avec une vitesse $v$ et les bips se déplacent à la vitesse $v_{\text{son}}$.

I. Démonstration via la longueur d’onde

1. Exprimer les distances $d_1$ et $d_2$ parcourues pendant une période $T_{\text{em}}$ respectivement par un bip et par la source.


2. En déduire l’expression de la longueur d’onde de l’onde reçue en fonction de $T_{\text{em}}$, $v_{\text{son}}$ et $v$.


3. En déduire l’expression de la fréquence $f_{\text{rec}}$ de l’onde reçue par l’observateur.


II. Démonstration via la longueur d’onde

1. Exprimer la différence de durée du parcours entre deux bips successifs en fonction de $T_{\text{em}}$, $v_{\text{son}}$ et $v$.


2. Exprimer la période $T_{\text{rec}}$ reçue par l’observateur.


3. En déduire l’expression de la fréquence $f_{\text{rec}}$ de l’onde reçue par l’observateur.


III. Démonstration en cas d’éloignement
◆ Reprendre les questions précédentes dans le cas où la source s’éloigne de l’observateur.

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Décalage en longueur d’onde

✔ REA : Appliquer une formule

◆ Montrer que le décalage Doppler-Fizeau en longueur d’onde $\Delta \lambda ={\lambda }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}}-{\lambda }_{\mathrm{e}\mathrm{m}}$ s’écrit, dans le cas d’une vitesse faible devant celle de la lumière : $\Delta \lambda =-\frac{v}{c}\cdot {\lambda }_{\mathrm{e}\mathrm{m}}$

Données

• Expression du décalage Doppler-Fizeau en fréquence : $\Delta f=f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}}-f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{v}{c}\cdot f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}$
• Approximation : si $\frac{v}{c}\ll 1$ alors $1+\frac{v}{c}\approx 1$

40

Détection d’une exoplanète

✔ VAL : Analyser des résultats

Une exoplanète est une planète en orbite autour d’une étoile autre que le Soleil. Par son attraction gravitationnelle, elle fait légèrement tourner l’étoile autour de laquelle elle évolue. Cette rotation induit un déplacement périodique du spectre par effet Doppler-Fizeau.

◆ À chaque position, associer l’un des spectres mesurés. Justifier.


Positions de l’exoplanète

Positions de l’exoplanète

41

Vitesse de rotation du Soleil

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement

Du fait de sa rotation, le spectre de la partie Ouest du Soleil est légèrement décalé de celui de la partie Est. Pour la raie du nickel, de longueur d’onde égale à $589,288$ nm, le décalage est $\Delta \lambda =7,3\times 10^{-3}$ nm.

1. Compte-tenu du sens de rotation, déduire si le spectre décalé vers les grandes longueurs d’onde correspond aux parties Est ou Ouest du Soleil.


2. Calculer la vitesse des extrémités du Soleil.


3. En déduire sa période de rotation.

Données

• Expression du décalage en longueur d’onde entre les spectres : $\Delta \lambda =\frac{2v\cdot {\lambda }_{\text{em}}}{c}$
• Rayon du Soleil : $R_{\text{S}}=6,96\times 10^8$ m

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Évolution du spectre d’une étoile double

✔ VAL : Faire preuve d’esprit critique

On s’intéresse à une « étoile double » composée de deux étoiles proches orbitant autour d’un même point sur des orbites circulaires de même rayon et avec la même vitesse. Leur période de rotation commune est notée $T$. Leur rotation crée un léger déplacement du spectre par effet Doppler. Un extrait du spectre observé pour la configuration 1 est donné ci-après.

1. Pour chacune des configurations 1 à 4, donner une égalité ou une inégalité entre ${\lambda }_{\text{A}}$ et ${\lambda }_{\text{B}}$ en la justifiant.


2. Schématiser, sans souci d’échelle, le spectre correspondant aux configurations 1 et 3.

3. Justifier que ce spectre évolue périodiquement, avec une période $T^{\prime }=\frac{T}{2}$.

Supplément numérique

A

Haut-parleur

✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

On considère un haut-parleur fournissant un niveau sonore $L=90$ dB à une distance $d=2,0$ m.

1. Calculer l’intensité sonore $I$ à $2,0$ m du haut-parleur.


2. En déduire la puissance sonore $P_{\text{son}}$ du haut-parleur.


3. Calculer le niveau sonore à $10$ m de ce haut-parleur.


4. Calculer à partir de quelle distance on peut écouter le son de ce haut-parleur sans risque pour l’audition.


5. Calculer à nouveau cette distance si on double la puissance sonore du haut-parleur. Commenter.

Données

• Intensité sonore de référence : $I_0=1,0\times 10^{-12}$ W·m^-2
• Seuil de danger pour l’audition : $L_{\text{danger}}=85$ dB
• Expression de l’intensité sonore à une distance $d$ d’une source sonore de puissance $P$ :
  $I=\frac{P}{4\pi \cdot d^2}$