Exercice corrigé

Un cinémomètre Doppler est utilisé pour mesurer la vitesse d’une balle de tennis lors d’un service. Il envoie une onde électromagnétique de fréquence $f_{\text{em}}=24,0$ GHz qui se réfléchit sur la balle. L’onde réfléchie, captée par le cinémomètre, a une fréquence supérieure à$f_{\text{em}}$ telle que le décalage mesuré est égal à $\Delta f=7,376$ kHz. Le cinémomètre affiche une vitesse de $166$ km·h^-1.

1. Préciser si la balle s’approche ou s’éloigne du cinémomètre.

2. Justifier le facteur 2 dans la formule du décalage Doppler.

3. Calculer la vitesse de la balle en (m·s^-1).

4. Vérifier la cohérence avec la valeur affichée par le cinémomètre.

Donnée

• Expression du décalage Doppler dans cette situation :
  $\Delta f=f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}}-f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=2f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}\cdot \frac{v}{c}$

Protocole de réponse

1. Comparer la fréquence reçue à la fréquence émise.

2. Expliquer pourquoi le décalage Doppler a lieu deux fois.

3. Appliquer la formule du décalage Doppler et faire l’application numérique.

4. Convertir la vitesse de la balle en (km·h^‑1) puis comparer cette valeur à celle affichée par le cinémomètre.

► Sabine Lisicki.

1. La fréquence reçue est supérieure à la fréquence émise. Par conséquent, la balle se rapproche du cinémomètre.

2. Par effet Doppler, la balle reçoit une onde de fréquence supérieure à celle émise par le cinémomètre. Ainsi, l’onde réfléchie par la balle est décalée en fréquence. Par un nouvel effet Doppler, le cinémomètre reçoit une onde d’une fréquence supérieure à celle réfléchie par la balle, ce qui ajoute un deuxième décalage Doppler. Ceci explique le facteur 2 dans la formule.

3. $\Delta f=2f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}\cdot \frac{v}{c}$
$v=\frac{c\cdot \Delta f}{2f_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}$
AN : $v=\frac{3,00\times 10^8\times 7,376\times 10^3}{2\times 24,0\times 10^9}=46,1$ m·s^-1

4. On a $v=46,1$ m·s^-1 $=166$ km·h^-1. Cette valeur est bien conforme à l’indication du cinémomètre.

Mise en application

Sabine Lisicki, joueuse de tennis allemande, détient le record féminin du service le plus rapide avec $211$ km·h^-1.

◆ Calculer le décalage Doppler mesuré par le cinémomètre.