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Home cinéma
P.478

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Exercice corrigé




Home cinéma

VAL : Analyser des résultats
REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

Énoncé

D’après le sujet Bac S, Antilles, 2016.

Un home cinéma est composé de trois enceintes à l’avant et de deux à l’arrière. Un technicien règle séparément les enceintes pour recevoir 7070 dB dans la zone d’écoute. Puis il met les cinq enceintes en marche simultanément.

1. Calculer l’intensité sonore dans la zone d’écoute lorsqu’une seule enceinte est en marche.

2. En déduire la puissance sonore PP produite par une enceinte avant située à une distance d=3,0d = 3{,}0 m de la zone d’écoute.

3. Calculer le niveau d’intensité sonore lorsque les cinq enceintes sont mises en marche en même temps.

4. Préciser si ce niveau d’intensité sonore présente un danger.

Schema de fonctionnement d'un home cinéma

Données

  • Intensité sonore de référence : I0=1×1012I_{0}=1 \times 10^{-12} W·m-2

  • Expression de l’intensité sonore II à une distance d d’une source sonore de puissance P:P : I=P4πd2I=\dfrac{P}{4 \pi \cdot d^{2}}

  • Niveau du seuil d’intensité sonore à risque : Ldanger =85L_{\text {danger }}=85 dB

Protocole de réponse

1. Exprimer l’intensité sonore II en fonction du niveau d’intensité sonore LL en utilisant la formule du niveau d’intensité sonore.

2. Inverser la relation de la dilution sphérique.

3. Appliquer l’additivité des intensités, puis utiliser la formule du niveau sonore.

4. Comparer la valeur du niveau sonore au seuil de danger.

Solution rédigée

1. . On note I1I_{1} l’intensité sonore lorsqu’une seule enceinte est en marche et L1L_{1} le niveau d’intensité sonore correspondant :
L1=10log(I1I0)L_{1}=10 \log \left(\dfrac{I_{1}}{I_{0}}\right)
I1=I010L110I_{1}=I_{0} \cdot 10 \tfrac{L_{1}}{10}
AN : I1=1012×107010=105I_{1}=10^{-12} \times 10^{\tfrac{70}{10}}=10^{-5} W · m-2

2. D’après la formule de la dilution sphérique donnée :
I1=P4πd2I_{1}=\dfrac{P}{4 \pi \cdot d^{2}}
P=4πI1d2P=4 \pi \cdot I_{1} \cdot d^{2}
AN : P=4×π×105×(3,0)2=1,1×103P=4 \times \pi \times 10^{-5} \times(3,0)^{2}=1,1 \times 10^{-3} W

3. En utilisant une notation similaire pour les cinq enceintes mises en marche simultanément :
L5=10log(I5I0)L_{5}=10 \log \left(\dfrac{I_{5}}{I_{0}}\right)
L5=10log(5I1I0)L_{5}=10 \log \left(\dfrac{5 I_{1}}{I_{0}}\right)
L5=10log(5)+10log(I1I0)L_{5}=10 \log (5)+10 \log \left(\dfrac{I_{1}}{I_{0}}\right)
L5=10log(5)+L1L_{5}=10 \log (5)+L_{1}
AN : L5=10×log(5)+70=77L_{5}=10 \times \log (5)+70=77 dB

4. L5<85L_\text{5} \lt 85 dB, donc ce niveau sonore ne présente pas de danger.

Mise en application

Déterminer la puissance sonore PlimiteP_\text{limite} à ne pas dépasser lorsque les cinq enceintes sont en fonctionnement.
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