Exercice corrigé

Mélina souhaite étudier la charge d’un condensateur initialement déchargé dans un circuit RC en série (doc. ci‑contre). Elle ferme le circuit à $t = 0$ s pour débuter la charge du condensateur.

1. En appliquant la loi des mailles au circuit, établir l’équation différentielle vérifiée par la tension $u_{\mathrm{C}}$ aux bornes du condensateur.

2. Résoudre cette équation. Définir le temps caractéristique $τ$ de charge du condensateur.

3. Mélina mesure un temps caractéristique de $20{,}0$ s. En déduire la valeur de la capacité du condensateur.

Elle branche parallèlement au condensateur une lampe assimilée à une résistance $R'$ en supposant que la lampe n’affecte pas la dynamique du système.

4. Trouver l’expression de l’intensité $i(t)$ traversant la lampe.

Donnée

• Résistance du résistor : $R = 85{,}0$ kΩ

■ Circuit RC en série

Protocole de réponse

1. Rappeler et appliquer la loi des mailles.
Utiliser la loi d’Ohm pour relier l’intensité et la tension aux bornes du résistor. Établir l’équation différentielle.

2. Résoudre l’équation différentielle.
Déterminer les constantes apparaissant dans la solution de l’équation différentielle en tenant compte des conditions initiales de la charge du condensateur.

3. Exprimer le temps caractéristique en fonction de la résistance du résistor et la capacité du condensateur.
Effectuer l’application numérique.

4. Utiliser la loi des mailles et la loi d’Ohm de façon à lier $u_{\mathrm{C}}$ et $R'$.
Exprimer $i$ en fonction du temps.

1. Mélina applique d’abord la loi des mailles :
$u_{\mathrm{C}}+u_{\mathrm{R}}=E$
$u_{\mathrm{C}}+R \cdot i=E$
$u_{\mathrm{C}}+R · C · \dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=E$
$\dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}+\dfrac{u_{\mathrm{C}}}{R · C}=\dfrac{E}{R · C}$

2. En posant $τ = R · C$, la solution générale de l’équation s’écrit : $u_{\mathrm{C}}(t)=A \cdot \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)+B$
À $t = 0$ s, $u_{\mathrm{C}}$ ($t = 0$ s) $= 0$ V. On en déduit que $A = -B$. Pour un temps infiniment long, l’intensité est nulle, ce qui implique que $\dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}$ nulle également et que $B = E$ : $u_{\mathrm{C}}(t)=E · \left(1-\exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right)$
3.    $τ = R · C$
    $C=\dfrac{\tau}{R}$
AN : $C=\dfrac{20{,}0}{85{,}0 \times 10^{3}}=2{,}35 \times 10^{-4}$ F

4. La tension aux bornes de la lampe est égale à $u_{\mathrm{C}}(t)$.
$R^{\prime} \cdot i(t)=u_{\mathrm{C}}(t)$
$i(t)=\dfrac{u_{\mathrm{C}}(t)}{R^{\prime}}$
$i(t)=\dfrac{E}{R^{\prime}} · \left(1-\exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right)$

Mise en application

Découvrez l'exercice 26, Mesure de capacité pour travailler cette notion.