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Préparation aux épreuves du Bac
1. Constitution et transformations de la matière
Ch. 1
Modélisation des transformations acide-base
Ch. 2
Analyse physique d'un système chimique
Ch. 3
Méthode de suivi d'un titrage
Ch. 4
Évolution temporelle d'une transformation chimique
Ch. 5
Évolution temporelle d'une transformation nucléaire
BAC
Thème 1
Ch. 6
Évolution spontanée d'un système chimique
Ch. 7
Équilibres acide-base
Ch. 8
Transformations chimiques forcées
Ch. 9
Structure et optimisation en chimie organique
Ch. 10
Stratégies de synthèse
BAC
Thème 1 bis
2. Mouvement et interactions
Ch. 11
Description d'un mouvement
Ch. 12
Mouvement dans un champ uniforme
Ch. 13
Mouvement dans un champ de gravitation
Ch. 14
Modélisation de l'écoulement d'un fluide
BAC
Thème 2
3. Conversions et transferts d'énergie
Ch. 15
Étude d’un système thermodynamique
Ch. 16
Bilans d'énergie thermique
BAC
Thème 3
4. Ondes et signaux
Ch. 17
Propagation des ondes
Ch. 18
Interférences et diffraction
Ch. 19
Lunette astronomique
Ch. 20
Effet photoélectrique et enjeux énergétiques
Ch. 21
Évolutions temporelles dans un circuit capacitif
BAC
Thème 4
Annexes
Ch. 22
Méthode
Chapitre 21
Exercice corrigé
Charge d'un condensateur
17 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé
Compétence(s)
REA/MATH : Résoudre une équation différentielle
APP : Extraire l'information utile
APP : Extraire l'information utile
Mélina souhaite étudier la charge d'un condensateur initialement déchargé dans un circuit RC en série (doc. ci-contre). Elle ferme le circuit à t = 0 s pour débuter la charge du condensateur.
Doc.
Circuit RC en série
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1. En appliquant la loi des mailles au circuit, établir l'équation différentielle vérifiée par la tension u_{\mathrm{C}} aux bornes du condensateur.
2. Résoudre cette équation. Définir le temps caractéristique τ de charge du condensateur.
3. Mélina mesure un temps caractéristique de 20{,}0 s. En déduire la valeur de la capacité du condensateur.
Elle branche parallèlement au condensateur une lampe assimilée à une résistance R' en supposant que la lampe n'affecte pas la dynamique du système.
4. Trouver l'expression de l'intensité i(t) traversant la lampe.
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Donnée
- Résistance du résistor : R = 85{,}0 kΩ
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Protocole de réponse
1. Rappeler et appliquer la loi des mailles.
Utiliser la loi d'Ohm pour relier l'intensité et la tension aux bornes du résistor. Établir l'équation différentielle.
2. Résoudre l'équation différentielle.
Déterminer les constantes apparaissant dans la solution de l'équation différentielle en tenant compte des conditions initiales de la charge du condensateur.
3. Exprimer le temps caractéristique en fonction de la résistance du résistor et la capacité du condensateur.
Effectuer l'application numérique.
4. Utiliser la loi des mailles et la loi d'Ohm de façon à lier u_{\mathrm{C}} et R'.
Exprimer i en fonction du temps.
Utiliser la loi d'Ohm pour relier l'intensité et la tension aux bornes du résistor. Établir l'équation différentielle.
2. Résoudre l'équation différentielle.
Déterminer les constantes apparaissant dans la solution de l'équation différentielle en tenant compte des conditions initiales de la charge du condensateur.
3. Exprimer le temps caractéristique en fonction de la résistance du résistor et la capacité du condensateur.
Effectuer l'application numérique.
4. Utiliser la loi des mailles et la loi d'Ohm de façon à lier u_{\mathrm{C}} et R'.
Exprimer i en fonction du temps.
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Solution rédigée
1. Mélina applique d'abord la loi des mailles :
u_{\mathrm{C}}+u_{\mathrm{R}}=E
u_{\mathrm{C}}+R \cdot i=E
u_{\mathrm{C}}+R · C · \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=E
\frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}+\frac{u_{\mathrm{C}}}{R · C}=\frac{E}{R · C}
2. En posant τ = R · C, la solution générale de l'équation s'écrit :
À t = 0 s, u_{\mathrm{C}} (t = 0 s) = 0 V. On en déduit que A = -B. Pour un temps infiniment long, l'intensité est nulle, ce qui implique que \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t} nulle également et que B = E :
u_{\mathrm{C}}+u_{\mathrm{R}}=E
u_{\mathrm{C}}+R \cdot i=E
u_{\mathrm{C}}+R · C · \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=E
\frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}+\frac{u_{\mathrm{C}}}{R · C}=\frac{E}{R · C}
2. En posant τ = R · C, la solution générale de l'équation s'écrit :
u_{\mathrm{C}}(t)=A \cdot \exp \left(-\frac{t}{\tau}\right)+B
À t = 0 s, u_{\mathrm{C}} (t = 0 s) = 0 V. On en déduit que A = -B. Pour un temps infiniment long, l'intensité est nulle, ce qui implique que \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t} nulle également et que B = E :
u_{\mathrm{C}}(t)=E · \left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau}\right)\right)
3. τ = R · C
C=\frac{\tau}{R}
AN : C=\frac{20{,}0}{85{,}0 \times 10^{3}}=2{,}35 \times 10^{-4} F
4. La tension aux bornes de la lampe est égale à u_{\mathrm{C}}(t).
R^{\prime} \cdot i(t)=u_{\mathrm{C}}(t)
i(t)=\frac{u_{\mathrm{C}}(t)}{R^{\prime}}
i(t)=\frac{E}{R^{\prime}} · \left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau}\right)\right)
C=\frac{\tau}{R}
AN : C=\frac{20{,}0}{85{,}0 \times 10^{3}}=2{,}35 \times 10^{-4} F
4. La tension aux bornes de la lampe est égale à u_{\mathrm{C}}(t).
R^{\prime} \cdot i(t)=u_{\mathrm{C}}(t)
i(t)=\frac{u_{\mathrm{C}}(t)}{R^{\prime}}
i(t)=\frac{E}{R^{\prime}} · \left(1-\exp \left(-\frac{t}{\tau}\right)\right)
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