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Exercices Pour s'entraîner
P.564-566

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Exercices




Pour s'entraîner


23
Circuit électrique en QCM

APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

Un circuit électrique comporte plusieurs dipôles placés en série : un générateur idéal de tension E=4,0E = 4{,}0 V, un résistor de résistance R=40R = 40 Ω, un condensateur initialement déchargé de capacité C=470C = 470 nF et un interrupteur noté K.
Répondre par vrai ou faux aux propositions suivantes, justifier et corriger les propositions fausses.

1. En régime transitoire :
a. le temps caractéristique de charge vaut τ=18,8τ = 18{,}8 ms.


b. la tension aux bornes du condensateur vaut 2,02{,}0 V au bout de t=τt = τ.


2. En régime permanent :
a. la tension aux bornes du condensateur vaut 4,04{,}0 V.


b. la charge du condensateur est nulle.


c. l’intensité du courant dans le circuit vaut 0,100{,}10 A.
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24
Temps caractéristique

REA : Appliquer une formule

Jean‑Christophe charge un condensateur en série avec un résistor à l’aide d’un générateur de tension EE.

Montrer qu’au bout d’un temps tt égal au temps caractéristique de charge du condensateur, la tension aux bornes du condensateur a atteint 63 % de sa valeur maximale.
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25
Intensité et tension en QCM

REA : Appliquer une formule

Un condensateur de capacité CC initialement chargé sous une tension EE se décharge dans une résistance RR.

1. L’expression de l’intensité traversant le condensateur est :





2. Au bout du temps tt égal au temps caractéristique, la tension a diminué de :





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26
Mesure de capacité

REA/MATH : Résoudre une équation différentielle

Virgile étudie la décharge d’un condensateur dans un résistor de 1,71{,}7 MΩ pour mesurer la capacité CC d’un condensateur initialement chargé sous une tension de E=2,5E = 2{,}5 V. Il trace la courbe ln(uCE)=f(t)\ln \left(\dfrac{u_{\mathrm{C}}}{E}\right)=f(t).

1. Établir l’équation différentielle régissant la tension uC(t)u_{\mathrm{C}}(t) aux bornes du condensateur et la résoudre.


2. Montrer que ln(uCE)\ln \left(\dfrac{u_{\mathrm{C}}}{E}\right) est une fonction linéaire en fonction du temps.


3. Déterminer alors la capacité CC du condensateur.


Doc. 1
Montage électrique
PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - exercice 26


Doc. 2
Courbe ln(uCE)=f(t)\boldsymbol{\ln \left(\dfrac{u_{\mathbf{C}}}{E}\right)=f(t)}
PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - exercice 26
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Comprendre les attendus

27
Décharge d’un condensateur

REA/MATH : Résoudre une équation différentielle

À t=0t = 0 s, on branche en série un condensateur de capacité C=660C = 660 nF initialement chargé sous une tension E=6E = 6 V, à une résistance R=10R = 10 kΩ.

1. Rappeler les trois expressions reliant la capacité CC, la charge QQ aux armatures du condensateur, l’intensité i(t)i(t) qui le traverse et la tension uCu_{\mathrm{C}} à ses bornes.


2. Faire un schéma du circuit et établir l’équation régissant l’évolution de la tension uC(t)u_{\mathrm{C}}(t) aux bornes du condensateur.

Couleurs
Formes
Dessinez ici



3. Résoudre l’équation différentielle.


4. En déduire l’expression de l’intensité i(t)i(t).


Détails du barème

TOTAL / 3 pts
1. Donner les trois expressions.
1,5 pt
2. Schématiser le circuit de décharge.
Utiliser la réponse à la question précédente pour établir l’équation différentielle.
0,5 pt
3. Résoudre l’équation différentielle.
0,5 pt
4. Exprimer l’intensité du courant électrique.
0,5 pt
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28
Tension en QCM

REA : Appliquer une formule

La tension aux bornes d’un condensateur en charge dans un circuit RC en série est uC(t)=U0(1exp(tτ))u_{\mathrm{C}}(t)=U_{0} \cdot\left(1-\exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right).
Grâce à l’accumulation des charges sur ses armatures, le condensateur peut emmagasiner de l’énergie sous forme électrostatique. Cette énergie est proportionnelle au carré de la tension aux bornes du condensateur.

Dire, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

a. Le temps caractéristique est égal à τ=1RC\tau=\dfrac{1}{R · C}.


b. Le condensateur se charge.


c. Q(t)=CU0(1exp(tτ))Q(t)=C · U_{0} · \left(1-\exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right)
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29
Expression de la capacité d’un condensateur

RAI/ANA : Utiliser et interpréter des documents

Soit un condensateur de capacité CC composé de deux armatures identiques de surface SS, séparées d’une distance ee. À l’aide des courbes C=f(S)C = f(S) et C=f(e)C = f(e), choisir l’expression de CC parmi les suivantes avec kk une constante dont on précisera l’unité.

a. C=keSC = k · e · S


b. C=kSeC=\dfrac{k · S}{e}


c. C=keSC=\dfrac{k}{e · S}


d. C=ekSC=\dfrac{e}{k · S}


Doc. 1
Évolution de C\boldsymbol{C} en fonction de S\boldsymbol{S}
PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - exercice 29


Doc. 2
Évolution de C\boldsymbol{C} en fonction de e\boldsymbol{e}
PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - exercice 29
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30
Microphone à condensateur

APP : Extraire l’information utile

À l’aide des doc. 1 et 2, expliquer comment la mesure de la capacité du condensateur du microphone peut permettre de trouver la fréquence ff de l’onde sonore incidente.


Doc. 1
Capacité et distance entre les armatures
La capacité d’un condensateur est inversement proportionnelle à la distance entre ses deux armatures.


Doc. 2
Microphone
PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - exercice 30 - Microphone

Un microphone est constitué, entre autres, d’un condensateur composé d’une armature fixe et d’une armature mobile. Une onde sonore de fréquence ff arrive sur l’armature mobile entraînant une vibration à la fréquence ff, l’autre restant fixe. Ainsi, la distance entre les deux armatures varie avec la même fréquence.
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31
Copie d'élève à commenter

Proposer une justification pour chaque erreur relevée par le correcteur.

L’équation différentielle de charge d’un condensateur dans un circuit RC série s’écrit :
uC+RCduCdt=Eu_{\mathrm{C}}+R · C · \dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=E

1. Résoudre l’équation et définir un temps caractéristique de charge du condensateur.

La solution est uC+RCduCdt=Eu_{\mathrm{C}}+R · C · \dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=EÀ détailler
On définit le temps caractéristique :
τ=1RC\color{red}\xcancel{\color{black}{\tau=\dfrac{1}{R · C}}}



2. Déterminer l’intensité traversant le condensateur au cours du temps.

D’après la loi d’Ohm, uC(t)=Ri(t)\color{red}\cancel{\color{black}{u_{\mathrm{C}}(t)=R · i(t)}}, ainsi :
i(t)=ER(1exp(tRC))\color{red}\cancel{\color{black}{i(t)=\dfrac{E}{R · \left(1-\exp \left(-\dfrac{t}{R · C}\right)\right)}}}

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32
Balance

REA : Utiliser un modèle

Il est possible de constituer une balance à partir d’un condensateur. Ce dernier comporte une armature mobile (1) et une fixe (2). Une coupole est reliée à l’armature mobile et les deux armatures sont reliées par plusieurs ressorts équivalents à un ressort de raideur k=7,2k = 7{,}2 N·m-1. Initialement, le condensateur a une capacité C=39,0C = 39{,}0 nF. On pose une masse mm sur la coupole.

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - exercice 32

1. Calculer la distance e0e_0 entre les deux armatures avant que l’on pose la masse.


2. Après dépôt de la masse, préciser comment évolue la capacité du condensateur.


On note ee la distance entre les armatures après dépôt de la masse mm. La capacité mesurée est de 73,073{,}0 nF. On peut montrer la relation suivante :
m=ke0egm=k · \dfrac{e_{0}-e}{g}


3. Déterminer la masse mm.


Données
  • Produit de la capacité C\boldsymbol{C} et de la distance e\boldsymbol{e} entre les armatures : Ce=3,1×109C · e=3{,}1 \times 10^{-9} F·m
  • Intensité de pesanteur : g=9,81g = 9{,}81 N·kg-1
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33
Capteur de force

REA : Utiliser un modèle

Les condensateurs peuvent être utilisés pour créer des capteurs de force. Clémentine considère un condensateur de capacité CC à armatures mobiles. Les armatures de masse mm sont initialement séparées d’une distance e0=1e_0 = 1 cm. On note ee la distance entre les armatures. Clémentine applique une force de valeur FF constante sur une armature mobile pendant un temps tt et elle peut montrer que :
e=e0+F2mt2e=e_{0}+\dfrac{F}{2 m} · t^{2}

1. Exprimer la capacité CC en fonction du temps tt.


2. Au temps t=8t = 8 s, Clémentine mesure une capacité C=0,02C = 0{,}02 nF. En déduire la valeur de la force FF. Préciser si cette force a rapproché ou éloigné les armatures.


Données
  • Produit de la capacité C\boldsymbol{C} et de la distance e\boldsymbol{e} entre les armatures : Ce=3,1×109C · e=3{,}1 \times 10^{-9} F·m
  • Masse d’une armature : m=0,2m = 0{,}2 kg
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34
Mesure de charges

REA : Appliquer une formule

On cherche à calculer le débit de charges arrivant sur une plaque, à savoir la quantité de charges par unité de temps. Pour cela, un condensateur de capacité C=50,0C = 50{,}0 μF est utilisé. Les charges s’accumulent sur les armatures de ce dernier à l’aide d’un débit de charges entrant.

1. Rappeler le lien entre la charge QQ sur une armature et la tension uCu_{\mathrm{C}} aux bornes du condensateur.


2. En déduire une méthode pour mesurer la charge QQ sur les armatures du condensateur.


3. À partir de cette courbe, en déduire le débit de charges sur l’armature.


Évolution de uC(t)\boldsymbol{u_{\mathbf{C}}(t)}

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - exercice 34
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35
Capteur de déplacement

VAL : Analyser des résultats

Jessica utilise un condensateur comme capteur de déplacement. Elle note ee la distance entre les deux armatures. Initialement, sa capacité est C0=80,0C_0 = 80{,}0 μF.
Une force d’intensité FF fait bouger une des deux armatures. On mesure, après mouvement, C=24,0C = 24{,}0 μF. On donne la courbe représentant 1e\dfrac{1}{e} en fonction de CC.

1. À l’aide de la courbe d’étalonnage, déterminer la valeur initiale de ee.


2. La force a‑t‑elle rapproché ou éloigné les armatures ?


3. Déterminer le déplacement de l’armature.


Courbe d’étalonnage 1e=f(C)\boldsymbol{\dfrac{1}{e}=f(C)}

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - exercice 35
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