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Chapitre 21

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1. Modélisation d’un condensateur

2. Charge d’un condensateur d’un circuit RC en série

3. Décharge d’un condensateur d’un circuit RC série

4. Capteurs capacitifs

1
Modélisation d’un condensateur (⇧)

A
Principe et utilisation des condensateurs

Un condensateur est un dipôle électrique constitué de deux plaques conductrices très proches l’une de l’autre et séparées par un isolant.

Alimenté par un courant électrique continu, des charges de signe opposé s’accumulent sur les plaques. Ce phénomène est appelé effet capacitif. Le condensateur est utilisé principalement pour :

stabiliser une alimentation électrique ;
traiter des signaux périodiques en séparant par exemple le courant alternatif du courant continu ;
stocker de l’énergie, auquel cas on parle de supercondensateur.

Les condensateurs peuvent aussi être utilisés dans différents capteurs, comme les microphones (doc. 2). Ils sont aussi utilisés dans des circuits électriques alimentant les tubes à décharge.

B
Capacité d’un condensateur

Expérimentalement, on observe que la charge totale

Q

sur une plaque du condensateur est proportionnelle à la tension

u_{C}

aux bornes de ce condensateur.

La capacité

C

, exprimée en farad (F), d’un condensateur est définie comme le coefficient de proportionnalité entre la charge

Q

et la tension

u_{C}

Q = C \cdot u_{C}

C

: capacité du condensateur (F)

u_{C}

: tension aux bornes du condensateur (V)

Son ordre de grandeur usuel est compris entre

1

nF et

1

mF. La capacité

C

dépend de plusieurs paramètres comme la distance entre les armatures, leur surface, la géométrie générale du condensateur ou encore la nature du matériau séparant les deux plaques.

C
Lien entre tension et intensité

L’intensité électrique

I

traversant un circuit correspond au débit de charges électriques :

i = \frac{d Q}{d t}

i

: intensité du courant (A)
|

Q

: charge électrique accumulée (C)
|

t

: temps (s)

En remplaçant

Q

avec la relation précédente, on obtient alors :

i = C \cdot \frac{d u _{C}}{d t}

Cette relation caractérise le comportement d’un condensateur.

Doc. 1
Schéma d’un condensateur

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Schéma d’un condensateur

Doc. 2
Microphone

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Microphone

Des condensateurs sont utilisés dans la fabrication de microphones.

Vocabulaire

Capacité

Capacité : coefficient de proportionnalité entre la charge

Q

portée par les armatures du condensateur et la tension

u_{c}

à ses bornes.

CULTURE SCIENTIFIQUE

L’électrosphère (couche atmosphérique ionisée) et le sol de la Terre forment un gigantesque condensateur sphérique terrestre d’une capacité proche de

50

mF.

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - électrosphère

2
Charge d’un condensateur d’un circuit RC en série (⇧)

A
Schéma électrique du circuit RC

Soit la charge d’un condensateur initialement déchargé dans le circuit schématisé ci‑dessous :

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Schéma électrique du circuit RC

En fermant l’interrupteur à

t = 0

s, la charge du condensateur commence. La tension

u_{C}

augmente alors au cours du temps.

B
Mise en équation du circuit

L’objectif est de trouver la tension

u_{C}

au cours du temps durant la charge du condensateur, celui‑ci étant initialement déchargé.

Selon la loi des mailles :

u_{C} + u_{R} = E

u_{C} + R \cdot i = E

u_{C} + R \cdot C \cdot \frac{d u _{C}}{d t} = E

\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{R \cdot C} = \frac{E}{R \cdot C}

On obtient une équation différentielle du premier ordre en

u_{C}

. La résolution de cette équation aboutit à :

u_{C} (t) = E \cdot (1 - exp (- \frac{t}{R \cdot C}))

Le régime transitoire est le régime pendant lequel le condensateur se charge. Lorsque la tension

u_{C}

atteint sa valeur maximale constante, on parle de régime permanent (doc. 3).

C
Temps caractéristique de charge

Dans le cadre d’une fonction exponentielle de la forme

f (t) = exp (- \frac{t}{τ})

, on définit

τ

comme le temps caractéristique. On adopte cette définition pour le temps caractéristique de charge d’un condensateur.

Par identification

u_{C} (t)

, le temps caractéristique s’exprime :

τ = R \cdot C

L’expression de

u_{C} (t)

devient donc :

u_{C} (t) = E \cdot (1 - exp (- \frac{t}{τ}))

Vocabulaire

Condensateur chargé

Condensateur déchargé

Condensateur chargé : le condensateur est chargé lorsque la tension à ses bornes atteint sa valeur maximale.

Condensateur déchargé : le condensateur est déchargé lorsque la tension à ses bornes est nulle.

Éviter les erreurs

➜ Attention, le résistor et le condensateur sont en convention récepteur.

➜ Il est nécessaire de diviser par

R \cdot C

pour mettre l’équation sous la forme habituelle avec chaque terme en (V·s^-1).

Doc. 3
Courbe de charge $u_{C} = f (t)$

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Courbe de charge

Doc. 4
Capacité

La capacité

C

du condensateur dépend de la géométrie et du matériau isolant utilisé entre les armatures. Pour un condensateur plan :

C = ε \cdot \frac{S}{e}

C

: capacité du condensateur (F)
|

ε

: coefficient lié à la nature du matériau séparant les armatures (F·m^-1)
|

S

: surface des armatures (m²)
|

e

: distance séparant les armatures (m)

Pas de malentendu

➜ Le temps caractéristique n’est pas le temps qu’il faut au condensateur pour se charger complètement : au bout de

t = τ

, le condensateur n’est chargé qu’à 63 %. Le condensateur n’est généralement considéré chargé qu’au bout de

5 τ

environ (chargé à 99 %).

3
Décharge d’un condensateur d’un circuit RC série (⇧)

A
Schéma électrique du circuit RC

Un condensateur initialement chargé avec une tension

E

peut se décharger dans un dipôle, comme une résistance par exemple.

On ferme l’interrupteur

K

t = 0

s. Le condensateur commence à se décharger dans la résistance.

B
Mise en équation du circuit

Comme précédemment, il faut déterminer la tension

u_{C} (t)

au cours du temps. L’interrupteur

K

est fermé à

t = 0

Selon la loi des mailles :

u_{C} + u_{R} = 0

u_{C} + R \cdot i = 0

u_{C} + R \cdot C \cdot \frac{d u _{C}}{d t} = 0

\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{R \cdot C} = 0

On obtient à nouveau une équation différentielle du premier ordre en

u_{C}

. En la résolvant :

u_{C} (t) = E \cdot exp (- \frac{t}{R \cdot C})

Le régime durant lequel le condensateur se décharge est appelé régime transitoire. Lorsque la tension atteint la valeur nulle, on est en régime permanent.

C
Temps caractéristique de décharge

La même définition s’applique ici que lors de la charge.

Par identification, le temps caractéristique

τ

vaut :

τ = R \cdot C

La solution de l’équation différentielle s’exprime alors en fonction de

τ

u_{C} (t) = E \cdot exp (- \frac{t}{τ})

La charge et la décharge du condensateur s’effectuent avec un temps caractéristique identique.

Éviter les erreurs

➜ Attention, lors de la décharge, le courant circule physiquement toujours à l’extérieur du condensateur en partant de l’armature chargée positivement du condensateur vers l’armature chargée négativement.

➜ Il est nécessaire de diviser par

R \cdot C

pour mettre l’équation sous la forme que l’on sait résoudre.

Doc. 5
Courbe de décharge

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Courbe de décharge

Doc. 6
Bouteille de Leyde (1745)

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Bouteille de Leyde

À Versailles, l’expérience de la décharge d’une grosse bouteille de Leyde à travers le circuit formé fut présentée à Louis XV et à plus de deux cents courtisans. La décharge brusque de ce premier condensateur fit sursauter toute la cour.

Pas de malentendu

➜ Comme pour la charge, ce temps caractéristique n’est pas le temps de décharge. Au bout de

t = τ

, le condensateur n’est déchargé qu’à 37 %. Le condensateur est considéré déchargé qu’au bout de

5 τ

environ (soit une décharge jusqu’à 1 %).

4
Capteurs capacitifs (⇧)

A
Présentation

L’effet capacitif est utilisé dans de nombreux capteurs afin de mesurer différentes grandeurs physiques.

Pour cela, la grandeur physique que l’expérimentateur souhaite mesurer doit être reliée à la valeur de la capacité

C

du capteur.

Exemple :
Lorsqu’un doigt conducteur électrique touche un écran, il y a transfert de charges. Des capteurs capacitifs détectent cette différence de charge afin de connaître la position du doigt.

B
Exemples de capteurs capacitifs à effet mécanique

Le déplacement d’une des électrodes par rapport à l’autre modifie la capacité du condensateur.

Exemple :

Les capteurs de pression ou de déplacement sont constitués d’une armature mobile et d’une armature fixe permettant de repérer une variation de capacité due à une variation de distance entre les électrodes (microphones).
L’accéléromètre utilise en général deux capteurs capacitifs de déplacement qui mesurent le déplacement d’un objet par rapport à un support (vibromètre à ondes sismiques, manette).

C
Exemples de capteurs capacitifs liés aux caractéristiques de l’isolant

La modification des caractéristiques du milieu entre les électrodes modifie la capacité du condensateur.

Exemple :

Les capteurs d’humidité ou de température par détection d’une variation des caractéristiques de l’isolant (comme une céramique) entre les électrodes.
Les capteurs de proximité : si un objet s’approche de l’extrémité du capteur, la valeur de $C$ est modifiée (contrôle de remplissage dans des flacons ou des cuves opaques).

Doc. 7
Écran capacitif

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Écran capacitif

► Lors d’un contact avec un doigt, l’écran tactile se décharge localement. Cet effet permet de repérer la position du contact.

Vocabulaire

Capteur capacitif

Capteur capacitif : appareil utilisant un condensateur et l’effet capacitif pour mesurer une grandeur physique, comme une masse, un déplacement ou une force par exemple.

Éviter les erreurs

➜ Attention, les capteurs ne mesurent pas directement la grandeur physique : un étalonnage permet de relier la capacité

C

à la grandeur souhaitée. Cet étalonnage permet ensuite de déterminer la grandeur physique voulue.

Doc. 8
Capteur de la Wiimote

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Capteur de la Wiimote

Cours

1. Modélisation d’un condensateur 2. Charge d’un condensateur d’un circuit RC en série 3. Décharge d’un condensateur d’un circuit RC série 4. Capteurs capacitifs

1Modélisation d’un condensateur (⇧)

APrincipe et utilisation des condensateurs

BCapacité d’un condensateur

CLien entre tension et intensité

Doc. 1Schéma d’un condensateur

Doc. 2Microphone

Vocabulaire

Capacité

2Charge d’un condensateur d’un circuit RC en série (⇧)

ASchéma électrique du circuit RC

BMise en équation du circuit

CTemps caractéristique de charge

Vocabulaire

Condensateur chargé

Condensateur déchargé

Éviter les erreurs

Doc. 3Courbe de charge uC​=f(t)

Doc. 4Capacité

Pas de malentendu

3Décharge d’un condensateur d’un circuit RC série (⇧)

ASchéma électrique du circuit RC

BMise en équation du circuit

CTemps caractéristique de décharge

Éviter les erreurs

Doc. 5Courbe de décharge

Doc. 6Bouteille de Leyde (1745)

Pas de malentendu

4Capteurs capacitifs (⇧)

APrésentation

BExemples de capteurs capacitifs à effet mécanique

CExemples de capteurs capacitifs liés aux caractéristiques de l’isolant

Doc. 7Écran capacitif

Vocabulaire

Capteur capacitif

Éviter les erreurs

Doc. 8Capteur de la Wiimote

1. Modélisation d’un condensateur

2. Charge d’un condensateur d’un circuit RC en série

3. Décharge d’un condensateur d’un circuit RC série

4. Capteurs capacitifs

1
Modélisation d’un condensateur (⇧)

A
Principe et utilisation des condensateurs

B
Capacité d’un condensateur

C
Lien entre tension et intensité

Doc. 1
Schéma d’un condensateur

Doc. 2
Microphone

2
Charge d’un condensateur d’un circuit RC en série (⇧)

A
Schéma électrique du circuit RC

B
Mise en équation du circuit

C
Temps caractéristique de charge

Doc. 3
Courbe de charge $u_{C} = f (t)$

Doc. 4
Capacité

3
Décharge d’un condensateur d’un circuit RC série (⇧)

A
Schéma électrique du circuit RC

B
Mise en équation du circuit

C
Temps caractéristique de décharge

Doc. 5
Courbe de décharge

Doc. 6
Bouteille de Leyde (1745)

4
Capteurs capacitifs (⇧)

A
Présentation

B
Exemples de capteurs capacitifs à effet mécanique

C
Exemples de capteurs capacitifs liés aux caractéristiques de l’isolant

Doc. 7
Écran capacitif

Doc. 8
Capteur de la Wiimote