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Chapitre 21


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1
Modélisation d’un condensateur
(⇧)


A
Principe et utilisation des condensateurs

Un condensateur est un dipôle électrique constitué de deux plaques conductrices très proches l’une de l’autre et séparées par un isolant.

Alimenté par un courant électrique continu, des charges de signe opposé s’accumulent sur les plaques. Ce phénomène est appelé effet capacitif. Le condensateur est utilisé principalement pour :
  • stabiliser une alimentation électrique ;
  • traiter des signaux périodiques en séparant par exemple le courant alternatif du courant continu ;
  • stocker de l’énergie, auquel cas on parle de supercondensateur.

Les condensateurs peuvent aussi être utilisés dans différents capteurs, comme les microphones (doc. 2). Ils sont aussi utilisés dans des circuits électriques alimentant les tubes à décharge.

B
Capacité d’un condensateur

Expérimentalement, on observe que la charge totale QQ sur une plaque du condensateur est proportionnelle à la tension uCu_{\mathrm{C}} aux bornes de ce condensateur.

La capacité CC, exprimée en farad (F), d’un condensateur est définie comme le coefficient de proportionnalité entre la charge QQ et la tension uCu_{\mathrm{C}} :
Q=CuCQ=C · u_{\mathrm{C}}
CC : capacité du condensateur (F)
uCu_{\mathrm{C}} : tension aux bornes du condensateur (V)

Son ordre de grandeur usuel est compris entre 11 nF et 11 mF. La capacité CC dépend de plusieurs paramètres comme la distance entre les armatures, leur surface, la géométrie générale du condensateur ou encore la nature du matériau séparant les deux plaques.

C
Lien entre tension et intensité

L’intensité électrique II traversant un circuit correspond au débit de charges électriques :
i=dQdti=\dfrac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t}
| ii : intensité du courant (A)
| QQ : charge électrique accumulée (C)
| tt : temps (s)
En remplaçant QQ avec la relation précédente, on obtient alors :
i=CduCdti=C · \dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}

Cette relation caractérise le comportement d’un condensateur.

Doc. 1
Schéma d’un condensateur

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Schéma d’un condensateur

Doc. 2
Microphone

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Microphone

Des condensateurs sont utilisés dans la fabrication de microphones.

Vocabulaire


Capacité



Capacité : coefficient de proportionnalité entre la charge QQ portée par les armatures du condensateur et la tension ucu_{\mathrm{c}} à ses bornes.

CULTURE SCIENTIFIQUE
L’électrosphère (couche atmosphérique ionisée) et le sol de la Terre forment un gigantesque condensateur sphérique terrestre d’une capacité proche de 5050 mF.

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - électrosphère

2
Charge d’un condensateur d’un circuit RC en série
(⇧)


A
Schéma électrique du circuit RC

Soit la charge d’un condensateur initialement déchargé dans le circuit schématisé ci‑dessous :

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Schéma électrique du circuit RC

En fermant l’interrupteur à t=0t = 0 s, la charge du condensateur commence. La tension uCu_{\mathrm{C}} augmente alors au cours du temps.

B
Mise en équation du circuit

L’objectif est de trouver la tension uCu_{\mathrm{C}} au cours du temps durant la charge du condensateur, celui‑ci étant initialement déchargé.

Selon la loi des mailles :
uC+uR=Eu_{\mathrm{C}}+u_{\mathrm{R}}=E
uC+Ri=Eu_{\mathrm{C}}+R · i=E
uC+RCduCdt=Eu_{\mathrm{C}}+R · C · \dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=E
duCdt+uCRC=ERC\dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}+\dfrac{u_{\mathrm{C}}}{R · C}=\dfrac{E}{R · C}
On obtient une équation différentielle du premier ordre en uCu_{\mathrm{C}}. La résolution de cette équation aboutit à :
uC(t)=E(1exp(tRC))u_{\mathrm{C}}(t)=E ·\left(1-\exp \left(-\dfrac{t}{R \cdot C}\right)\right)

Le régime transitoire est le régime pendant lequel le condensateur se charge. Lorsque la tension uCu_{\mathrm{C}} atteint sa valeur maximale constante, on parle de régime permanent (doc. 3).

C
Temps caractéristique de charge

Dans le cadre d’une fonction exponentielle de la forme f(t)=exp(tτ)f(t)=\exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right), on définit τ\tau comme le temps caractéristique. On adopte cette définition pour le temps caractéristique de charge d’un condensateur.

Par identification uC(t)u_{\mathrm{C}}(t), le temps caractéristique s’exprime :
τ=RC\tau=R \cdot C

L’expression de uC(t)u_{\mathrm{C}}(t) devient donc :
uC(t)=E(1exp(tτ))u_{\mathrm{C}}(t)=E \cdot\left(1-\exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)\right)

Vocabulaire


Condensateur chargé

Condensateur déchargé



Condensateur chargé : le condensateur est chargé lorsque la tension à ses bornes atteint sa valeur maximale.

Condensateur déchargé : le condensateur est déchargé lorsque la tension à ses bornes est nulle.

Éviter les erreurs

Attention, le résistor et le condensateur sont en convention récepteur.

Il est nécessaire de diviser par RCR·C pour mettre l’équation sous la forme habituelle avec chaque terme en (V·s-1).

Doc. 3
Courbe de charge uC=f(t)\boldsymbol{u_{\mathbf{C}}=f(t)}

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Courbe de charge

Doc. 4
Capacité

La capacité CC du condensateur dépend de la géométrie et du matériau isolant utilisé entre les armatures. Pour un condensateur plan :
C=εSeC=\varepsilon · \dfrac{S}{e}
| CC : capacité du condensateur (F)
| εε : coefficient lié à la nature du matériau séparant les armatures (F·m-1)
| SS : surface des armatures (m2)
| ee : distance séparant les armatures (m)

Pas de malentendu

Le temps caractéristique n’est pas le temps qu’il faut au condensateur pour se charger complètement : au bout de t=τt = τ, le condensateur n’est chargé qu’à 63 %. Le condensateur n’est généralement considéré chargé qu’au bout de 5τ5 τ environ (chargé à 99 %).

3
Décharge d’un condensateur d’un circuit RC série
(⇧)


A
Schéma électrique du circuit RC

Un condensateur initialement chargé avec une tension EE peut se décharger dans un dipôle, comme une résistance par exemple.

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Schéma électrique du circuit RC

On ferme l’interrupteur KK à t=0t = 0 s. Le condensateur commence à se décharger dans la résistance.

B
Mise en équation du circuit

Comme précédemment, il faut déterminer la tension uC(t)u_{\mathrm{C}}(t) au cours du temps. L’interrupteur KK est fermé à t=0t = 0 s.

Selon la loi des mailles :
uC+uR=0u_{\mathrm{C}}+u_{\mathrm{R}}=0
uC+Ri=0u_{\mathrm{C}}+R · i=0
uC+RCduCdt=0u_{\mathrm{C}}+R · C · \dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=0
duCdt+uCRC=0\dfrac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}+\dfrac{u_{\mathrm{C}}}{R · C}=0
On obtient à nouveau une équation différentielle du premier ordre en uCu_{\mathrm{C}}. En la résolvant :
uC(t)=Eexp(tRC)u_{\mathrm{C}}(t)=E ·\exp \left(-\dfrac{t}{R ·C}\right)

Le régime durant lequel le condensateur se décharge est appelé régime transitoire. Lorsque la tension atteint la valeur nulle, on est en régime permanent.

C
Temps caractéristique de décharge

La même définition s’applique ici que lors de la charge.

Par identification, le temps caractéristique τ\tau vaut :
τ=RC\tau=R · C

La solution de l’équation différentielle s’exprime alors en fonction de τ\tau :

uC(t)=Eexp(tτ)u_{\mathrm{C}}(t)=E · \exp \left(-\dfrac{t}{\tau}\right)

La charge et la décharge du condensateur s’effectuent avec un temps caractéristique identique.

Éviter les erreurs

Attention, lors de la décharge, le courant circule physiquement toujours à l’extérieur du condensateur en partant de l’armature chargée positivement du condensateur vers l’armature chargée négativement.

Il est nécessaire de diviser par RCR · C pour mettre l’équation sous la forme que l’on sait résoudre.

Doc. 5
Courbe de décharge

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Courbe de décharge

Doc. 6
Bouteille de Leyde (1745)

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Bouteille de Leyde

À Versailles, l’expérience de la décharge d’une grosse bouteille de Leyde à travers le circuit formé fut présentée à Louis XV et à plus de deux cents courtisans. La décharge brusque de ce premier condensateur fit sursauter toute la cour.

Pas de malentendu

Comme pour la charge, ce temps caractéristique n’est pas le temps de décharge. Au bout de t=τt = τ, le condensateur n’est déchargé qu’à 37 %. Le condensateur est considéré déchargé qu’au bout de 5τ5 τ environ (soit une décharge jusqu’à 1 %).

4
Capteurs capacitifs
(⇧)


A
Présentation

L’effet capacitif est utilisé dans de nombreux capteurs afin de mesurer différentes grandeurs physiques.
Pour cela, la grandeur physique que l’expérimentateur souhaite mesurer doit être reliée à la valeur de la capacité CC du capteur.

Exemple :
Lorsqu’un doigt conducteur électrique touche un écran, il y a transfert de charges. Des capteurs capacitifs détectent cette différence de charge afin de connaître la position du doigt.

B
Exemples de capteurs capacitifs à effet mécanique

Le déplacement d’une des électrodes par rapport à l’autre modifie la capacité du condensateur.

Exemple :
  • Les capteurs de pression ou de déplacement sont constitués d’une armature mobile et d’une armature fixe permettant de repérer une variation de capacité due à une variation de distance entre les électrodes (microphones).
  • L’accéléromètre utilise en général deux capteurs capacitifs de déplacement qui mesurent le déplacement d’un objet par rapport à un support (vibromètre à ondes sismiques, manette).

C
Exemples de capteurs capacitifs liés aux caractéristiques de l’isolant

La modification des caractéristiques du milieu entre les électrodes modifie la capacité du condensateur.

Exemple :
  • Les capteurs d’humidité ou de température par détection d’une variation des caractéristiques de l’isolant (comme une céramique) entre les électrodes.
  • Les capteurs de proximité : si un objet s’approche de l’extrémité du capteur, la valeur de CC est modifiée (contrôle de remplissage dans des flacons ou des cuves opaques).

Doc. 7
Écran capacitif

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Écran capacitif

Lors d’un contact avec un doigt, l’écran tactile se décharge localement. Cet effet permet de repérer la position du contact.

Vocabulaire


Capteur capacitif



Capteur capacitif : appareil utilisant un condensateur et l’effet capacitif pour mesurer une grandeur physique, comme une masse, un déplacement ou une force par exemple.

Éviter les erreurs

Attention, les capteurs ne mesurent pas directement la grandeur physique : un étalonnage permet de relier la capacité CC à la grandeur souhaitée. Cet étalonnage permet ensuite de déterminer la grandeur physique voulue.

Doc. 8
Capteur de la Wiimote

PC - chapitre 21 - Évolutions temporelles dans un circuit capacitif - Capteur de la Wiimote
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