I. Équation différentielle

1. Préciser la relation liant i et u_{\mathrm{C}}.

2. Montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de u_{\mathrm{C}} s'écrit \alpha · u_{\mathrm{C}}+\frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=0.
On donnera l'expression de α en fonction de R et de C.

II. Capacité

1. Donner la solution de l'équation différentielle précédente. Dessiner l'allure de la solution. On fera apparaître U_0 sur le graphe.

2. Définir le temps caractéristique τ de décharge du condensateur.

3. On mesure τ = 0{,}090 s. Calculer la capacité C du condensateur, sachant que R = 330 kΩ.

III. Intensité

1. À partir des résultats précédents, montrer que i(t)=-\frac{U_{0}}{R} \cdot \exp \left(\frac{-t}{R · C}\right).

2. Calculer i et u_{\mathrm{C}} à t = 0{,}50 s et préciser si le condensateur est déchargé.

➜ Retrouvez plus d'exercices dans le

Livret Bac p. 570

On dispose de deux composant : un résistor de résistance R = 150 Ω et un condensateur de capacité inconnue. L'objectif est de déterminer la valeur de C.
Pour cela, on choisit d'étudier la charge du condensateur à travers le conducteur ohmique à l'aide d'un générateur de tension E = 5{,}1 V. On réalise le montage suivant et on utilise un système d'acquisition informatique.

Les condensateurs sont utilisés pour créer des capteurs comme l'accéléromètre. Ce dernier est utilisé dans le déclenchement des airbags. Il est constitué de deux pièces en forme de peigne, l'une fixe et l'autre mobile. L'ensemble forme un condensateur. Lors d'un choc, la partie mobile se déplace par inertie dans le sens opposé au mouvement (

doc. 1

). La distance entre les deux pièces est modifiée, ce qui entraîne une modification de la valeur de la capacité du condensateur. Pour comprendre le fonctionnement de ce dispositif, il est branché aux bornes d'une pile de résistance R et de tension à vide E.

I. Comportement en dehors des chocs

L'interrupteur \text{K} est fermé pour mettre sous tension l'accéléromètre. Le condensateur est déchargé avant la fermeture de l'interrupteur \text{K}. Les courbes u_\text{C}(t) et i(t) sont présentées dans le

doc. 2

.

1. Identifier en justifiant, la courbe correspondant à u_\text{C}(t) et i(t).

2. Délimiter et qualifier sur ces courbes les deux régimes de fonctionnement du circuit.

3. Déterminer graphiquement la constante de temps \tau du circuit.

4. Donner son expression littérale. Calculer R.

5. Déterminer graphiquement les valeurs de la tension aux bornes du condensateur et de l'intensité en régime permanent. En déduire la charge Q.

II. Déclenchement de l'airbag

Le rapprochement des deux armatures provoqué par un choc entraîne une augmentation de la capacité C du condensateur. La constante de temps étant très faible, on considérera la valeur de la résistance R nulle.

1. a. Choisir en justifiant l'expression de C en fonction de la distance d entre les armatures qui pourrait convenir en prenant une constante k propre au condensateur :

C = k \cdot d

C = \dfrac{k}{d}

b. Donner l'expression de la tension u_\text{C} aux bornes du condensateur et de la charge Q du condensateur avant le choc en fonction de E.

c. Justifier que la tension u_\text{C} n'est pas modifiée par le choc. En déduire que le choc a pour effet de faire augmenter la charge Q du condensateur.

2. En utilisant l'outil dessin sur le schéma du

doc. 1

, indiquer le sens de déplacement des électrons dans le circuit engendré par la variation de charge Q du condensateur.

3. Donner la relation entre l'intensité i du courant et la charge Q du condensateur.

4. Parmi ces affirmations, choisir celle qui convient.
Le déclenchement du gonflage de l'airbag est commandé par la détection d'une variation :

a. de tension aux bornes du condensateur.

b. d'intensité du courant dans le circuit.

c. de tension aux bornes du générateur.

• Capacité du condensateur : C = 100 pF = 0{,}10 nF
• Tension aux bornes du générateur : E = 5{,}0 V