Aux bornes d'un condensateur de capacité C=100,0 nF, on mesure une tension uC=30,0 mV.
Calculer la charge Q accumulée sur une armature.
6
Tension et charge
Aux bornes d'un condensateur plan de capacité C=0,40 mF, la charge accumulée par les plaques en regard est égale à Q=4,00×10−5 C.
Calculer la tension uC aux bornes du condensateur.
7
Capacité et charge
Soit un condensateur portant sur ses plaques une charge Q=1,00×10−8 C. La mesure aux bornes de ce dernier indique une tension de 60,0 mV.
Calculer la capacité du condensateur.
8
Temps caractéristique
Calculer le temps caractéristique de charge d'un condensateur de capacité C=75,0 nF, dans un circuit RC en série comportant un résistor de résistance R=200,0 kΩ.
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Capacité et temps caractéristique (1)
Dans un circuit RC en série comportant un résistor de résistance R=350,0 kΩ, la mesure du temps caractéristique de charge du condensateur indique τ=2,1 s.
En déduire la capacité C du condensateur.
10
Capacité et temps caractéristique (2)
Dans un circuit RC en série comportant un résistor et un condensateur de capacité C=6,0×10−6 F, le temps caractéristique de charge du condensateur est τ=2,0 s.
En déduire la résistance R du conducteur ohmique.
Pour commencer
Relations pour un condensateur
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Tension et intensité
✔ REA : Appliquer une formule
1. Rappeler le lien entre la charge sur une armature du condensateur et la tension entre ses bornes.
2. En déduire un lien entre la tension et l'intensité traversant un condensateur.
12
Temps caractéristique de charge
✔ REA : Exploiter un ensemble de mesures
Dans un circuit RC en série, la mesure du temps caractéristique τ de charge du condensateur indique, pour différentes valeurs de résistances R :
R (kΩ)
10
50
100
200
1000
τ (s)
0,62
3,15
6,32
12,5
63,3
Déterminer la valeur de C.
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Mesure de capacité
✔ VAL : Analyser des résultats
Le graphique ci‑dessous représente les valeurs mesurées de la charge Q et la tension uC aux bornes d'un condensateur.
1. Rappeler le lien entre Q et uC.
2. Déduire du graphique ci‑contre la capacité du condensateur.
Doc.
Évolution de la charge en fonction de la tension
Le zoom est accessible dans la version Premium.
A
Énergie stockée dans un condensateur
✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
On considère un condensateur placé en série avec une résistance et une source idéale de tension E0. Initialement, le condensateur est déchargé, puis on ferme le circuit.
1. Donner la valeur de uc à l'instant initial uc(t=0) et une fois le régime permanent atteint uc(t=∞).
2. Exprimer la puissance P reçue par le condensateur en fonction de uc et l'intensité i, puis en fonction de uc et duc/dt.
3. Montrer que la fonction f(t)=C⋅uc(t)2/2 est une primitive de P(t).
L'énergie stockée dans un condensateur est E=f(t=∞)−f(t=0), où f(t=∞) est la valeur de f en régime permanent.
4. Exprimer E en fonction de C et E0.
Doc. 1
Dérivée d'une fonction composée
Soit une fontion composée f(t)=ϕ(u(t)). La dérivée de cette fonction est donnée par : f′(t)=ϕ′(u(t))⋅duc/dt
Établissement d'une équation différentielle
14
Décharge d'un condensateur
✔ APP : Extraire l'information utile
À partir de la loi des mailles, établir l'équation différentielle régissant l'évolution de uC en fonction de t. Le sens de i est indiqué sur le schéma du circuit de décharge suivant :
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15
Charge d'un condensateur (1)
✔ APP : Faire des prévisions à l'aide d'un modèle
À partir de la loi des mailles, établir l'équation différentielle régissant l'évolution de uC dans le circuit de charge d'un condensateur initialement déchargé :
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16
Charge d'un condensateur (2)
✔ APP : Extraire l'information utile
On considère le circuit de charge d'un condensateur
initialement déchargé suivant :
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À partir de la loi des mailles, montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de uC s'écrit :
uC+(R+r)⋅C⋅dtduC=E
Charge et décharge
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Charge d'un condensateur (3)
✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle
En reprenant le schéma du montage de l'exercice 16 et en considérant le condensateur déchargé à t=0 s et l'équation différentielle suivante :
uC+(R+r)⋅C⋅dtduC=E
Résoudre l'équation différentielle de façon à obtenir l'expression de uC(t).
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Condensateur réel
✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle
Un condensateur est un composant électronique qui, en réalité, possède une certaine résistance. Lorsqu'elle est prise en compte, on parle alors de condensateur réel. Ce comportement peut être modélisé par un condensateur idéal auquel on adjoint un résistor en parallèle.
Un circuit RC se complexifie donc si la résistance est prise en compte. L'équation différentielle du circuit suivant s'écrit ainsi :
C⋅dtduC+uC⋅(R1+r1)=RE
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1. Résoudre cette équation différentielle pour trouver l'expression uC(t) pour un condensateur initialement déchargé.
Lors de sa décharge, l'équation différentielle du circuit suivant s'écrit :
R⋅C⋅dtduC+uC⋅(1+rR)=0
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2. Résoudre cette équation pour trouver l'expression de uC(t) pour un condensateur initialement chargé avec une tension U0 de 4 V.
Identification de dipôles
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Identification d'un dipôle
✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement
Morgane dispose de deux dipôles D1 et D2 de nature inconnue. L'un est un condensateur et l'autre un résistor.
Pour les différencier, elle les branche à la place du dipôle D dans le circuit représenté dans le doc. 1. L'interrupteur K est en position 2 depuis assez longtemps pour considérer le circuit en régime permanent.
Morgane bascule l'interrupteur K en position 1 à t=0 s et mesure la tension uD au cours du temps (doc. 2).
Doc. 1
Circuit de charge et décharge
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Les dipôles D1 et D2 évoqués sont branchés en lieu et place du dipôle D.
Doc. 2
Évolution de uD pour D1 (noir) et D2 (bleu)
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1. En justifiant la réponse, déterminer quel dipôle est capacitif et quel dipôle est résistif.
2. Elle bascule à nouveau l'interrupteur en position 2.
Décrire l'évolution de la tension uD aux bornes des dipôles D1 et D2.
B
Charge et décharge d'un condensateur
✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
1. La tension aux bornes d'un condensateur lors de la charge est uc(t)=E⋅(1−exp(−t/τ)). a. Représenter l'allure de uc(t).
b. Calculer le rapport uc/E pour t=τ,2τ et 5τ.
2. La tension aux bornes d'un condensateur lors de la décharge est uc(t)=E⋅exp(−t/τ). a. Représenter l'allure de uc(t).
b. Calculer le rapport uc/E pour t=τ,2τ et 5τ.
Une notion, trois exercices
Différenciation
Savoir-faire : Savoir mesurer le temps caractéristique de charge et décharge d'un condensateur.
20
Élèves en séance de TP
✔ RAI/ANA : Justifier un protocole
Thomas et Anne doivent mesurer le temps caractéristique de charge d'un condensateur dans un circuit RC en série. Tous deux mesurent la tension uC aux bornes du condensateur. Thomas détermine le temps caractéristique τ comme le temps au bout duquel la tension atteint 63 % de sa valeur stationnaire. Anne n'est pas d'accord et souhaite tracer la tangente à la courbe à l'origine pour trouver τ.
Préciser si ces méthodes sont correctes et les développer le cas échéant.
21
Méthode du logarithme
✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
Marlène souhaite étudier la décharge d'un condensateur de capacité C en série avec un résistor de résistance R=400 kΩ. Pour cela, elle trace la courbe représentant ln(EuC) en fonction du temps.
1. Établir l'équation différentielle en uC.
2. En déduire que ln(EuC)=−τt.
3. Déduire du doc. la valeur de τ.
Doc.
Évolution de ln(EuC) au cours du temps t
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Méthode de la tangente à l'origine
✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
Marlène a montré dans un circuit RC série en décharge que la tension aux bornes du condensateur suit la loi uC=E⋅exp(τ−t) avec τ le temps caractéristique de décharge du circuit correspondant à τ=R⋅C.
1. Montrer que dtduC=−τE⋅exp(−τt).
2. En déduire que l'équation de la tangente à l'origine (t=0 s) est y=E−E⋅τt
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