5

Charge électrique

Aux bornes d’un condensateur de capacité $C=100,0$ nF, on mesure une tension $u_{\mathrm{C}}=30,0$ mV.

◆ Calculer la charge $Q$ accumulée sur une armature.

6

Tension et charge

Aux bornes d’un condensateur plan de capacité $C=0,40$ mF, la charge accumulée par les plaques en regard est égale à $Q=4,00\times 10^{-5}$ C.

◆ Calculer la tension $u_{\mathrm{C}}$ aux bornes du condensateur.

7

Capacité et charge

Soit un condensateur portant sur ses plaques une charge $Q=1,00\times 10^{-8}$ C. La mesure aux bornes de ce dernier indique une tension de $60,0$ mV.

◆ Calculer la capacité du condensateur.

8

Temps caractéristique

◆ Calculer le temps caractéristique de charge d’un condensateur de capacité $C=75,0$ nF, dans un circuit RC en série comportant un résistor de résistance $R=200,0$ kΩ.

9

Capacité et temps caractéristique (1)

Dans un circuit RC en série comportant un résistor de résistance $R=350,0$ kΩ, la mesure du temps caractéristique de charge du condensateur indique $\tau =2,1$ s.

◆ En déduire la capacité $C$ du condensateur.

10

Capacité et temps caractéristique (2)

Dans un circuit RC en série comportant un résistor et un condensateur de capacité $C=6,0\times 10^{-6}$ F, le temps caractéristique de charge du condensateur est $\tau =2,0$ s.

◆ En déduire la résistance $R$ du conducteur ohmique.

11

Tension et intensité

✔ REA : Appliquer une formule

1. Rappeler le lien entre la charge sur une armature du condensateur et la tension entre ses bornes.


2. En déduire un lien entre la tension et l’intensité traversant un condensateur.

12

Temps caractéristique de charge

✔ REA : Exploiter un ensemble de mesures

Dans un circuit RC en série, la mesure du temps caractéristique $\tau$ de charge du condensateur indique, pour différentes valeurs de résistances $R$ :


◆ Déterminer la valeur de $C$.

13

Mesure de capacité

✔ VAL : Analyser des résultats

Le graphique ci‑dessous représente les valeurs mesurées de la charge $Q$ et la tension $u_{\mathrm{C}}$ aux bornes d’un condensateur.

1. Rappeler le lien entre $Q$ et $u_{\mathrm{C}}$.


2. Déduire du graphique ci‑contre la capacité du condensateur.


■ Évolution de la charge en fonction de la tension

A

Énergie stockée dans un condensateur

✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

On considère un condensateur placé en série avec une résistance et une source idéale de tension $E_0$. Initialement, le condensateur est déchargé, puis on ferme le circuit.

1. Donner la valeur de $u_c$ à l’instant initial $u_c(t=0)$ et une fois le régime permanent atteint $u_c(\mathrm{t}=\infty ).$


2. Exprimer la puissance $P$ reçue par le condensateur en fonction de $u_c$ et l’intensité $i,$ puis en fonction de $u_c$ et ${du}_c/dt.$


3. Montrer que la fonction $f(t)=C\cdot u_c(t{)}^2/2$ est une primitive de $P(t).$


L’énergie stockée dans un condensateur est $E=f(t=\infty )-f(t=0),$ où $f(t=\infty )$ est la valeur de $f$ en régime permanent.

4. Exprimer $E$ en fonction de $C$ et $E_0.$

Doc. 1

Dérivée d’une fonction composée

14

Décharge d’un condensateur

✔ APP : Extraire l’information utile

◆ À partir de la loi des mailles, établir l’équation différentielle régissant l’évolution de $u_{\mathrm{C}}$ en fonction de $t$. Le sens de $i$ est indiqué sur le schéma du circuit de décharge suivant :

15

Charge d’un condensateur (1)

✔ APP : Faire des prévisions à l’aide d’un modèle

◆ À partir de la loi des mailles, établir l’équation différentielle régissant l’évolution de $u_{\mathrm{C}}$ dans le circuit de charge d’un condensateur initialement déchargé :

16

Charge d’un condensateur (2)

✔ APP : Extraire l’information utile

On considère le circuit de charge d’un condensateur initialement déchargé suivant :


◆ À partir de la loi des mailles, montrer que l’équation différentielle régissant l’évolution de $u_{\mathrm{C}}$ s’écrit :

17

Charge d’un condensateur (3)

✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle

En reprenant le schéma du montage de l’exercice 16 et en considérant le condensateur déchargé à $t=0$ s et l’équation différentielle suivante :

◆ Résoudre l’équation différentielle de façon à obtenir l’expression de $u_{\mathrm{C}}(t)$.

18

Condensateur réel

✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle

Un condensateur est un composant électronique qui, en réalité, possède une certaine résistance. Lorsqu’elle est prise en compte, on parle alors de condensateur réel. Ce comportement peut être modélisé par un condensateur idéal auquel on adjoint un résistor en parallèle.
Un circuit RC se complexifie donc si la résistance est prise en compte. L’équation différentielle du circuit suivant s’écrit ainsi :



1. Résoudre cette équation différentielle pour trouver l’expression $u_{\mathrm{C}}(t)$ pour un condensateur initialement déchargé.


Lors de sa décharge, l’équation différentielle du circuit suivant s’écrit :

2. Résoudre cette équation pour trouver l’expression de $u_{\mathrm{C}}(t)$ pour un condensateur initialement chargé avec une tension $U_0$ de $4$ V.

B

Charge et décharge d’un condensateur

✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

1. La tension aux bornes d’un condensateur lors de la charge est $u_c(t)=E\cdot (1-\exp (-t/\tau )).$
a. Représenter l’allure de $u_c(t).$


b. Calculer le rapport $u_c/E$ pour $t=\tau ,2\tau$ et $5\tau .$


2. La tension aux bornes d’un condensateur lors de la décharge est $u_c(t)=E\cdot \exp (-t/\tau ).$
a. Représenter l’allure de $u_c(t).$


b. Calculer le rapport $u_c/E$ pour $t=\tau ,2\tau$ et $5\tau .$

19

Identification d’un dipôle

✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement

Morgane dispose de deux dipôles $D_1$ et $D_2$ de nature inconnue. L’un est un condensateur et l’autre un résistor.
Pour les différencier, elle les branche à la place du dipôle $D$ dans le circuit représenté dans le doc. 1. L’interrupteur $K$ est en position 2 depuis assez longtemps pour considérer le circuit en régime permanent.
Morgane bascule l’interrupteur K en position 1 à $t=0$ s et mesure la tension $u_{\mathrm{D}}$ au cours du temps (doc. 2).

1. En justifiant la réponse, déterminer quel dipôle est capacitif et quel dipôle est résistif.


2. Elle bascule à nouveau l’interrupteur en position 2.
Décrire l’évolution de la tension $u_{\mathrm{D}}$ aux bornes des dipôles $D_1$ et $D_2$.

Doc. 1

Circuit de charge et décharge

► Les dipôles D₁ et D₂ évoqués sont branchés en lieu et place du dipôle D.

Doc. 2

Évolution de ${\mathbf{u}}_D$ pour $D_1$ (noir) et $D_2$ (bleu)

20

Élèves en séance de TP ◉◉◉

✔ RAI/ANA : Justifier un protocole

Thomas et Anne doivent mesurer le temps caractéristique de charge d’un condensateur dans un circuit RC en série. Tous deux mesurent la tension $u_{\mathrm{C}}$ aux bornes du condensateur. Thomas détermine le temps caractéristique $\tau$ comme le temps au bout duquel la tension atteint 63 % de sa valeur stationnaire. Anne n’est pas d’accord et souhaite tracer la tangente à la courbe à l’origine pour trouver $\tau$.

◆ Préciser si ces méthodes sont correctes et les développer le cas échéant.

21

Méthode du logarithme ◉◉◉

✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

Marlène souhaite étudier la décharge d’un condensateur de capacité $C$ en série avec un résistor de résistance $R=400$ kΩ. Pour cela, elle trace la courbe représentant $\ln \left(\frac{u_{\mathrm{C}}}{E}\right)$ en fonction du temps.

1. Établir l’équation différentielle en $u_{\mathrm{C}}$.


2. En déduire que $\ln \left(\frac{u_{\mathrm{C}}}{E}\right)=-\frac{t}{\tau }$.


3. Déduire du doc. la valeur de $\tau$.


■ Évolution de $\ln \left(\frac{{\mathbf{u}}_{\mathbf{C}}}{\mathbf{E}}\right)$ au cours du temps $\mathbf{t}$

22

Méthode de la tangente à l’origine ◉◉◉

✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques

Marlène a montré dans un circuit RC série en décharge que la tension aux bornes du condensateur suit la loi $u_{\mathrm{C}}=E\cdot \exp \left(\frac{-t}{\tau }\right)$ avec $\tau$ le temps caractéristique de décharge du circuit correspondant à $\tau =R\cdot C$.

1. Montrer que $\frac{\mathrm{d}{u}_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d}t}=-\frac{E}{\tau }\cdot \exp \left(-\frac{t}{\tau }\right)$.


2. En déduire que l’équation de la tangente à l’origine ($t=0$ s) est $y=E-E\cdot \frac{t}{\tau }$