Chapitre 21
Exercices
Pour s'échauffer - Pour commencer
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| Pour s'échauffer | Pour commencer | Différenciation | Pour s'entraîner | |
|---|---|---|---|---|
| Savoir utiliser les relations mathématiques du condensateur : | ||||
| Savoir mesurer le temps caractéristique de charge et décharge d'un condensateur : | ||||
| Savoir établir et résoudre l'équation différentielle régissant un circuit : | ||||
| Savoir identifier un capteur capacitif : |
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Pour s'échauffer
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5Charge électrique
Aux bornes d'un condensateur de capacité C = 100{,}0 nF, on mesure une tension u_{\mathrm{C}} = 30{,}0 mV.
Calculer la charge Q accumulée sur une armature.
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6Tension et charge
Aux bornes d'un condensateur plan de capacité C = 0{,}40 mF, la charge accumulée par les plaques en regard est égale à Q = 4{,}00 \times 10^{-5} C.
Calculer la tension u_{\mathrm{C}} aux bornes du condensateur.
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7Capacité et charge
Soit un condensateur portant sur ses plaques une charge Q = 1{,}00 × 10^{-8} C. La mesure aux bornes de ce dernier indique une tension de 60{,}0 mV.
Calculer la capacité du condensateur.
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8Temps caractéristique
Calculer le temps caractéristique de charge d'un condensateur de capacité C = 75{,}0 nF, dans un circuit RC en série comportant un résistor de résistance R = 200{,}0 kΩ.Ressource affichée de l'autre côté.
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9Capacité et temps caractéristique (1)
Dans un circuit RC en série comportant un résistor de résistance R = 350{,}0 kΩ, la mesure du temps caractéristique de charge du condensateur indique τ = 2{,}1 s.
En déduire la capacité C du condensateur.
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10Capacité et temps caractéristique (2)
Dans un circuit RC en série comportant un résistor et un condensateur de capacité C = 6,0 \times 10^{-6} F, le temps caractéristique de charge du condensateur est τ = 2{,}0 s.
En déduire la résistance R du conducteur ohmique.
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Pour commencer
Relations pour un condensateur
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11Tension et intensité
✔ REA : Appliquer une formule
1. Rappeler le lien entre la charge sur une armature du condensateur et la tension entre ses bornes.
2. En déduire un lien entre la tension et l'intensité traversant un condensateur.
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12Temps caractéristique de charge
✔ REA : Exploiter un ensemble de mesures
Dans un circuit RC en série, la mesure du temps caractéristique τ de charge du condensateur indique, pour différentes valeurs de résistances R :
| \boldsymbol{R} (kΩ) | 10 | 50 | 100 | 200 | 1~000 |
| \boldsymbol{\tau} (s) | 0{,}62 | 3{,}15 | 6{,}32 | 12{,}5 | 63{,}3 |
Déterminer la valeur de C.
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13Mesure de capacité
✔ VAL : Analyser des résultats
Le graphique ci‑dessous représente les valeurs mesurées de la charge Q et la tension u_{\mathrm{C}} aux bornes d'un condensateur.
1. Rappeler le lien entre Q et u_{\mathrm{C}}.
2. Déduire du graphique ci‑contre la capacité du condensateur.
1. Rappeler le lien entre Q et u_{\mathrm{C}}.
2. Déduire du graphique ci‑contre la capacité du condensateur.
Doc.
Évolution de la charge en fonction de la tension
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AÉnergie stockée dans un condensateur
✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
On considère un condensateur placé en série avec une résistance et une source idéale de tension {E}_0. Initialement, le condensateur est déchargé, puis on ferme le circuit.
1. Donner la valeur de u_c à l'instant initial u_c (t=0) et une fois le régime permanent atteint {u}_{c}(\mathrm{t}=\infty).
2. Exprimer la puissance P reçue par le condensateur en fonction de u_c et l'intensité i, puis en fonction de u_c et {du}_{c} / dt.
3. Montrer que la fonction f(t)=C \cdot u_{c}(t)^{2} / 2 est une primitive de P(t).
1. Donner la valeur de u_c à l'instant initial u_c (t=0) et une fois le régime permanent atteint {u}_{c}(\mathrm{t}=\infty).
2. Exprimer la puissance P reçue par le condensateur en fonction de u_c et l'intensité i, puis en fonction de u_c et {du}_{c} / dt.
3. Montrer que la fonction f(t)=C \cdot u_{c}(t)^{2} / 2 est une primitive de P(t).
L'énergie stockée dans un condensateur est E=f(t=\infty)-f(t=0), où f(t=\infty) est la valeur de f en régime permanent.
4. Exprimer E en fonction de C et E_0.
Soit une fontion composée f(t)=\phi(u(t)). La dérivée de cette fonction est donnée par : f^{\prime}(\mathrm{t})=\phi^{\prime}(\mathrm{u}(\mathrm{t})) \cdot \mathrm{du}_{\mathrm{c}} / \mathrm{dt}
4. Exprimer E en fonction de C et E_0.
Doc. 1
Dérivée d'une fonction composéeSoit une fontion composée f(t)=\phi(u(t)). La dérivée de cette fonction est donnée par : f^{\prime}(\mathrm{t})=\phi^{\prime}(\mathrm{u}(\mathrm{t})) \cdot \mathrm{du}_{\mathrm{c}} / \mathrm{dt}
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Établissement d'une équation différentielle
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14Décharge d'un condensateur
✔ APP : Extraire l'information utile
À partir de la loi des mailles, établir l'équation différentielle régissant l'évolution de u_{\mathrm{C}} en fonction de t. Le sens de i est indiqué sur le schéma du circuit de décharge suivant :
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15Charge d'un condensateur (1)
✔ APP : Faire des prévisions à l'aide d'un modèle
À partir de la loi des mailles, établir l'équation différentielle régissant l'évolution de u_{\mathrm{C}} dans le circuit de charge d'un condensateur initialement déchargé :
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16Charge d'un condensateur (2)
✔ APP : Extraire l'information utile
On considère le circuit de charge d'un condensateur
initialement déchargé suivant :
À partir de la loi des mailles, montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de u_{\mathrm{C}} s'écrit :
u_{\mathrm{C}}+(R+r) · C · \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=E
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Charge et décharge
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17Charge d'un condensateur (3)
✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle
En reprenant le schéma du montage de l'exercice 16 et en considérant le condensateur déchargé à t = 0 s et l'équation différentielle suivante :
u_{\mathrm{C}}+(R+r) · C · \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=E
Résoudre l'équation différentielle de façon à obtenir l'expression de u_{\mathrm{C}}(t).
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BCharge et décharge d'un condensateur
✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
1. La tension aux bornes d'un condensateur lors de la charge est u_{c}(t)=E \cdot(1-\exp (-t / \tau)).
a. Représenter l'allure de u_{c}(t).
b. Calculer le rapport u_{c} / E pour t = \tau, 2\tau et 5\tau.
2. La tension aux bornes d'un condensateur lors de la décharge est u_{c}(t)=E \cdot \exp (-t / \tau).
a. Représenter l'allure de u_{c}(t).
b. Calculer le rapport u_{c} / E pour t = \tau, 2\tau et 5\tau.
1. La tension aux bornes d'un condensateur lors de la charge est u_{c}(t)=E \cdot(1-\exp (-t / \tau)).
a. Représenter l'allure de u_{c}(t).
b. Calculer le rapport u_{c} / E pour t = \tau, 2\tau et 5\tau.
2. La tension aux bornes d'un condensateur lors de la décharge est u_{c}(t)=E \cdot \exp (-t / \tau).
a. Représenter l'allure de u_{c}(t).
b. Calculer le rapport u_{c} / E pour t = \tau, 2\tau et 5\tau.
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18Condensateur réel
✔ REA/MATH : Résoudre une équation différentielle
Un condensateur est un composant électronique qui, en réalité, possède une certaine résistance. Lorsqu'elle est prise en compte, on parle alors de condensateur réel. Ce comportement peut être modélisé par un condensateur idéal auquel on adjoint un résistor en parallèle.
Un circuit RC se complexifie donc si la résistance est prise en compte. L'équation différentielle du circuit suivant s'écrit ainsi :
C · \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}+u_{\mathrm{C}} · \left(\frac{1}{R}+\frac{1}{r}\right)=\frac{E}{R}
1. Résoudre cette équation différentielle pour trouver l'expression u_{\mathrm{C}}(t) pour un condensateur initialement déchargé.
Lors de sa décharge, l'équation différentielle du circuit suivant s'écrit :
R \cdot C \cdot \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}+u_{\mathrm{C}} \cdot\left(1+\frac{R}{r}\right)=0
2. Résoudre cette équation pour trouver l'expression de u_{\mathrm{C}}(t) pour un condensateur initialement chargé avec une tension U_0 de 4 V.
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Identification de dipôles
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19Identification d'un dipôle
✔ RAI/ANA : Construire un raisonnement
Morgane dispose de deux dipôles D_1 et D_2 de nature inconnue. L'un est un condensateur et l'autre un résistor.
Pour les différencier, elle les branche à la place du dipôle {D} dans le circuit représenté dans le doc. 1. L'interrupteur {K} est en position 2 depuis assez longtemps pour considérer le circuit en régime permanent.
Morgane bascule l'interrupteur K en position 1 à t = 0 s et mesure la tension u_{\mathrm{D}} au cours du temps (doc. 2).
Pour les différencier, elle les branche à la place du dipôle {D} dans le circuit représenté dans le doc. 1. L'interrupteur {K} est en position 2 depuis assez longtemps pour considérer le circuit en régime permanent.
Morgane bascule l'interrupteur K en position 1 à t = 0 s et mesure la tension u_{\mathrm{D}} au cours du temps (doc. 2).
Doc. 1
Circuit de charge et décharge
Les dipôles D1 et D2 évoqués sont branchés en lieu et place du dipôle D.
Doc. 2
Évolution de \boldsymbol{u}_{{D}} pour D_1 (noir) et D_2 (bleu)
1. En justifiant la réponse, déterminer quel dipôle est capacitif et quel dipôle est résistif.
2. Elle bascule à nouveau l'interrupteur en position 2.
Décrire l'évolution de la tension u_{\mathrm{D}} aux bornes des dipôles D_1 et D_2.
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Une notion, trois exercices
Différenciation
Savoir-faire : Savoir mesurer le temps caractéristique de charge et décharge d'un condensateur.
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20
Élèves en séance de TP
✔ RAI/ANA : Justifier un protocole
Thomas et Anne doivent mesurer le temps caractéristique de charge d'un condensateur dans un circuit RC en série. Tous deux mesurent la tension u_{\mathrm{C}} aux bornes du condensateur. Thomas détermine le temps caractéristique τ comme le temps au bout duquel la tension atteint 63 % de sa valeur stationnaire. Anne n'est pas d'accord et souhaite tracer la tangente à la courbe à l'origine pour trouver τ.
Préciser si ces méthodes sont correctes et les développer le cas échéant.
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22
Méthode de la tangente à l'origine
✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
Marlène a montré dans un circuit RC série en décharge que la tension aux bornes du condensateur suit la loi u_{\mathrm{C}}=E \cdot \exp \left(\frac{-t}{\tau}\right) avec τ le temps caractéristique de décharge du circuit correspondant à τ = R · C.
1. Montrer que \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{C}}}{\mathrm{d} t}=-\frac{E}{\tau} · \exp \left(-\frac{t}{\tau}\right).
2. En déduire que l'équation de la tangente à l'origine (t = 0 s) est y=E-E \cdot \frac{t}{\tau}
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21
Méthode du logarithme
✔ REA/MATH : Utiliser des outils mathématiques
Marlène souhaite étudier la décharge d'un condensateur de capacité C en série avec un résistor de résistance R = 400 kΩ. Pour cela, elle trace la courbe représentant \ln \left(\frac{u_{\mathrm{C}}}{E}\right) en fonction du temps.
1. Établir l'équation différentielle en u_{\mathrm{C}}.
2. En déduire que \ln \left(\frac{u_{\mathrm{C}}}{E}\right)=-\frac{t}{\tau}.
3. Déduire du doc. la valeur de τ.
Doc.
Évolution de \boldsymbol{\ln \left(\frac{u_{\mathbf{C}}}{E}\right)} au cours du temps \boldsymbol{t}
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
