Une enquête statistique se fonde sur lʼobservation dʼune certaine population. Par exemple, les élèves dʼune classe de 5^e.
Elle étudie la répartition dʼun caractère au sein de cette population : âge, taille, couleur des cheveux...
Ce caractère peut prendre plusieurs valeurs : une valeur numérique (12 ans, 1,60 m…) ou non (brun...).
Le nombre de fois quʼune valeur est citée constitue son effectif. La somme de tous les effectifs donne lʼeffectif total. Il doit être égal au nombre dʼindividus qui composent la population.

Schéma illustrant deux arbres statistiques : notes d'élèves et résultats sportifs.

Exercices n° 1 à 3
p. 174-175.

J'applique

Consigne :
Paul fait une étude statistique sur la couleur de cheveux des élèves de sa classe.
Il compte 17 bruns, 6 blonds et 2 roux.
Quels sont la population, le caractère, les valeurs, les effectifs et lʼeffectif total de cette série ?

Correction :

Population	les élèves de la classe
Caractère étudié	la couleur des cheveux
Valeurs	brun	blond	roux
Effectifs	17	6	2
Effectif total	17 + 6 + 2 = 25

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2
Classes et fréquences

Définition

Lorsquʼil y a un grand nombre de valeurs possibles pour le caractère de lʼétude statistique, on peut les regrouper en classes. Les classes regroupent plusieurs valeurs. Deux classes ne peuvent pas contenir la même valeur ; on dit donc quʼelles sont disjointes.

Exercices n° 6 et 8
p. 175.

J'applique

Consigne :
Aïcha veut étudier la taille des 102 élèves présents dans son collège. A-t-elle intérêt à utiliser des classes ?

Correction :
Oui, car elle risque dʼavoir trop de valeurs différentes pour pouvoir les comparer efficacement. Elle peut, par exemple, créer quatre classes :

Les élèves qui font moins d'1,40 m ;
Les élèves qui font entre 1,40 m et 1,499 m ;
Les élèves qui font entre 1,50 m et 1,599 m ;
Les élèves qui font plus d'1,60 m.

Définition

La fréquence dʼune valeur (ou dʼune classe de valeurs) est la proportion que représente son effectif par rapport à lʼeffectif total. Cʼest un nombre compris entre 0 et 1.

\text{Fréquence} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{total effectif}}

Cette fréquence peut être exprimée en pourcentage, en multipliant le résultat par 100.

Exercices n° 13 à 15
p. 176.

J'applique

Consigne :
Dans la classe de Paul, qui étudiait la couleur des cheveux de ses camarades de classe, quelle était la fréquence de cheveux bruns ?

Correction :
Il y a 17 bruns dans la classe de Paul pour un effectif total de 25 élèves.
\dfrac{17}{25} = 0\text{,}68 = 68 %
Il y a 68 % de bruns dans la classe de Paul.

Remarque : La somme de toutes les fréquences sous forme de pourcentages dʼune étude statistique doit être égale à 100 %.

Aide

Si on a donné des valeurs approchées des fréquences, quand on fait la somme de ces fréquences, on nʼobtient pas forcément 100 %.

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B
Représenter les résultats dʼune étude statistique

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1
Représenter sous forme de tableau

Représentation

Pour présenter les données brutes dʼune étude statistique, il est souvent plus facile dʼutiliser un tableau.

Exercices n° 10 à 15
p. 176.

Remarque : Il est important de faire figurer lʼeffectif total pour sʼassurer quʼaucun élément nʼa été oublié : si la somme des effectifs nʼest pas égale à lʼeffectif total, les données ont été mal comptabilisées.

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2
Représenter sous forme de diagrammes

Représentation

Il existe de multiples représentations plus visuelles quʼun tableau, notamment :

Les diagrammes en bâton et les histogrammes : les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux fréquences des classes ;
Les diagrammes circulaires : les angles des portions sont proportionnels aux fréquences des classes.

Exercices n° 4 à 15
p. 175-176.

Exemple :
On peut représenter lʼétude de Paul graphiquement :

Diagramme en bâton puis circulaire avec les données de Paul.

J'applique

Consigne :
Aïcha utilise des classes pour faire son étude sur les tailles et obtient le tableau suivant :

Taille (cm)	[140 ; 150[	[150 ; 160[	[160 ; 170]	Total
Effectif	25	31	46	102

Exprimez ces données à l'aide dʼun diagramme.

Correction :
On représente ce tableau à lʼaide dʼun histogramme.

Remarque : Lʼensemble des points compris entre 140 et 150 se note en mettant les bornes entre crochets :

[140 ; 150] représente les points compris entre 140 et 150 inclus ;
[140 ; 150[ représente les points compris entre 140 et 150, 140 inclus mais 150 exclu ;
]140 ; 150] représente les points compris entre 140 et 150, 150 inclus mais 140 exclu ;
]140 ; 150[ représente les points compris entre 140 et 150 exclus.

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C
Outils statistiques

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1
Moyenne

Définition

La moyenne M dʼune série de n éléments x_1, x_2, …, x_n se calcule de la façon suivante :

Formule M = x2 + x1 + ... + xn (la somme des éléments de la série) divisé par n (la somme des effectifs de la série).

Dans un calcul de moyenne, si lʼon regroupe les éléments par valeur, on dit que lʼon effectue la moyenne des valeurs pondérées par leurs effectifs.

Exercices n° 16 à 33
p. 176-179.

Exemple :
Dans un tournoi de foot, on comptabilise le nombre de buts marqués à chaque match.

Nombre de buts	0	1	2	3	4	Effectif total
Effectif	5	6	4	3	1	18

En moyenne, le nombre de buts par match se calcule : \dfrac{5\times0+6\times1+4\times2+3\times3+1\times 4}{18}=1\text{,}5

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2
Médiane

Définition

Dans une série statistique dont les valeurs sont rangées par ordre croissant, on appelle médiane un nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif.

Exercices n° 16 à 33
p. 176-179.

J'applique

Consigne :
Voici une série : 39, 43, 36, 38, 46, 44, 39.
a. Quelle est la médiane de cette série ?
b. Si on ajoute 42 à cette série, quelle est la nouvelle médiane ?

Correction :
a. On classe la série statistique par ordre croissant :

La médiane est donc la valeur de la 4^e donnée. Elle vaut donc 39.

b. La 4,5^e donnée nʼexiste pas. La médiane est donc entre la 4^e et la 5^e donnée.

Illustration du calcul de la médiane de deux séries de nombres : 36, 38, 39 et 42, 43, 44, 46. Médianes : 39 et 42. (39+42)/2

Par convention, la médiane que lʼon donne est alors la moyenne des deux valeurs à la limite des deux groupes. On dit donc quʼune médiane de la série est \dfrac{39 + 42}{2} = 40\text{,}5.
Néanmoins, 40 et 41 sont aussi des médianes de cette série.

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3
J'approfondis
Étendue

Définition

Lʼétendue dʼune série statistique est lʼécart entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Plus lʼétendue est grande, plus les données de la série sont dispersées.

Exercices n° 34 et 35
p. 179.

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Mathématiques Cycle 4

Statistiques

ALes termes de la statistique

1 Les études statistiques

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2 Classes et fréquences

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J'applique

BReprésenter les résultats dʼune étude statistique

1Représenter sous forme de tableau

2Représenter sous forme de diagrammes

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COutils statistiques

1Moyenne

2Médiane

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