Fiche méthode 3
Outils mathématiques
Résolution d'une équation du second degré
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AForme générale et solutions réelles
Une équation du second degré est une équation polynomiale de degré 2 se présentant sous la forme :
La recherche de solutions réelles à cette équation du second degré consiste à trouver, si elles existent, des valeurs réelles de x telles que a \cdot x^2 + b \cdot x + c est nul. On définit pour cela le discriminant \Delta égal à :
a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0
x : grandeur étudiée
a, b et c : coefficients réels avec a non nul
a, b et c : coefficients réels avec a non nul
La recherche de solutions réelles à cette équation du second degré consiste à trouver, si elles existent, des valeurs réelles de x telles que a \cdot x^2 + b \cdot x + c est nul. On définit pour cela le discriminant \Delta égal à :
\Delta = b^2 - 4\ a \cdot c
L'étude du signe de ce discriminant permet de trancher quant au nombre de solutions réelles :
- si le discriminant \Delta est strictement positif, alors l'équation admet deux solutions réelles x_1 et x_2 :
x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 \ a} et x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2 \ a} - si le discriminant \Delta est nul, l'équation n'admet qu'une seule solution :
x = - \dfrac{b}{2 \ a} - si le discriminant \Delta est strictement négatif, l'équation n'admet aucune solution réelle.
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BExemple
On s'intéresse à l'équation polynomiale de degré 2 suivante :
2 \ x^2 - 5 \ x + 2 = 0
Dans cette équation,
a = 2, b = -5 et c = 2.
On calcule le discriminant :
AN : \Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 9
-
\Delta = b^2 - 4 \ a \cdot c
AN : \Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 9
Le discriminant \Delta est donc strictement positif.
L'équation du second degré admet deux solutions réelles x_1 et x_2 :
AN : x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{9}}{2 \times 2} = 2
AN : x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{9}}{2 \times 2} = \dfrac{1}{2}
L'équation du second degré admet deux solutions réelles x_1 et x_2 :
-
x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 \ a}
AN : x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{9}}{2 \times 2} = 2
-
x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2 \ a}
AN : x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{9}}{2 \times 2} = \dfrac{1}{2}
Courbe représentative de la fonction f telle que f(x) = 2 \ x^2 - 5 \ x + 2.
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