Fiche méthode 4
Outils mathématiques
Dérivées
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
APente de la tangente et définition
On considère la courbe représentative d'une fonction continue. En chaque point de la courbe peut être tracée une tangente, c'est-à-dire une droite qui épouse localement la direction de la courbe. En notant x_0 l'abscisse du point considéré, on appelle nombre dérivé f'(x_0) le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x_0.
Ce nombre dérivé peut être trouvé en déterminant la limite du taux d'accroissement de f en x_0 :
Ce nombre dérivé peut être trouvé en déterminant la limite du taux d'accroissement de f en x_0 :
f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Tracé d'une tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse x_0.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
BDérivées usuelles
| Fonction f(x) et domaine de définition | Dérivée f'(x) et domaine de dérivabilité | ||
| k (avec k un réel) | \Reals | 0 | \Reals |
| k \cdot x (avec k un réel) | \Reals | k | \Reals |
| x^n (avec n un entier naturel) | \Reals | n \cdot x^{n-1} | \Reals |
| \exp(x) | \Reals | \exp(x) | \Reals |
| \sin(x) | \Reals | \cos(x) | \Reals |
| \cos(x) | \Reals | - \sin(x) | \Reals |
| \dfrac{1}{x^n} = x^{-n} (avec n un entier naturel) | \Reals^* | - n \cdot x^{-n-1} = - \dfrac{n}{x^{n+1}} | \Reals |
| \sqrt{x} | \Reals + | \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} | \Reals^*+ |
| \ln(x) | \Reals^*+ | \dfrac{1}{x} | \Reals^*+ |
| \log(x) | \Reals^*+ | \dfrac{1}{x \cdot \ln(10)} | \Reals^*+ |
| a^x (avec a un réel strictement positif) | \Reals | a^x \cdot \ln(a) | \Reals |
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
CRègles de dérivation
Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison de fonctions simples u et v présentées ci-dessus, on utilise les règles suivantes :
| Nom | Linéarité | Produit | Inverse | Quotient | Composée |
| Règle | (a \cdot u + v)' = a \cdot u' + v' (avec a un réel) | (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' | \bigg( \dfrac{1}{v} \bigg)' = \dfrac{v'}{v^2} (avec v qui ne s'annule pas) | \bigg( \dfrac{u}{v} \bigg)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} (avec v qui ne s'annule pas) | (u \cdot v)' = (u' \cdot v) \cdot v' |
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
