Fiche méthode 2
Méthodologie
Résolution d'une équation différentielle
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AÉquation différentielle linéaire d'ordre 1
Pour la spécialité Physique-Chimie de terminale, plusieurs chapitres nécessitent de savoir résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 1, c'est-à-dire une équation qui implique une fonction y et sa dérivée \dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} par rapport à une grandeur (le temps dans la plupart des cas étudiés en Physique-Chimie) notée t :
a \cdot \dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} + b \cdot y = c
a, b et c : coefficients réels avec a et b non nuls
y : fonction étudiée
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} : dérivée de la fonction y par rapport au temps t
Cette équation peut être ramenée à l'une des deux formes générales suivantes, en introduisant la notation \lambda désignant une constante caractéristique de l'évolution de la fonction y :
Dans certains cas, la constante caractéristique est notée \tau et est liée à \lambda par la relation :
L'équation différentielle prend donc la forme :
a \cdot \dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} + b \cdot y = c
a, b et c : coefficients réels avec a et b non nuls
y : fonction étudiée
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} : dérivée de la fonction y par rapport au temps t
Cette équation peut être ramenée à l'une des deux formes générales suivantes, en introduisant la notation \lambda désignant une constante caractéristique de l'évolution de la fonction y :
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} + \lambda \cdot y = A
Dans certains cas, la constante caractéristique est notée \tau et est liée à \lambda par la relation :
\lambda = \dfrac{1}{\tau}
L'équation différentielle prend donc la forme :
\dfrac{\text{d}y}{\text{d}t} + \dfrac{y}{\tau} = A
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BSolution de l'équation différentielle linéaire d'ordre 1
Les équations présentées précédemment ont pour solution les fonctions f définies par :
B désigne un coefficient réel, dépendant des conditions initiales de la fonction étudiée. On détermine ce coefficient en résolvant l'équation f(t_0) = y_0. Ces fonctions peuvent également être présentées en utilisant la grandeur \tau selon :
f(t) = B \cdot \exp(-\lambda \cdot t) + \frac{A}{\lambda}
B désigne un coefficient réel, dépendant des conditions initiales de la fonction étudiée. On détermine ce coefficient en résolvant l'équation f(t_0) = y_0. Ces fonctions peuvent également être présentées en utilisant la grandeur \tau selon :
f(t) = B \cdot \exp \bigg( -\dfrac{t}{\tau} \bigg) + \tau \cdot A
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CExemple : décroissance radioactive
L'activité radioactive A d'un échantillon est proportionnelle au
nombre de noyaux radioactifs N par la relation :
Toutefois, l'activité A est également définie selon la dérivée temporelle de N :
D'où l'équation différentielle :
Cette équation différentielle a pour solution les fonctions N(t) de la forme :
Or, à t = 0 s, l'échantillon possède un nombre N_0 de noyaux radioactifs. Cela se traduit donc par B = N_0, ce qui implique la solution suivante :
A = \lambda \cdot N
Toutefois, l'activité A est également définie selon la dérivée temporelle de N :
A = - \dfrac{\text{d} N}{\text{d} t}
D'où l'équation différentielle :
\dfrac{\text{d} N}{\text{d} t} + \lambda \cdot N = 0
Cette équation différentielle a pour solution les fonctions N(t) de la forme :
N(t) = B \cdot \exp (-\lambda \cdot t)
Or, à t = 0 s, l'échantillon possède un nombre N_0 de noyaux radioactifs. Cela se traduit donc par B = N_0, ce qui implique la solution suivante :
N(t) = N_0 \cdot \exp (-\lambda \cdot t)
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