Fiche méthode 7
Outils mathématiques
Fonctions logarithmes
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ADéfinition
Le logarithme de base a d'un nombre réel noté x est défini comme la puissance à laquelle il faut élever la base a pour obtenir x.
De manière générale, la fonction logarithme est notée :
Le logarithme est très couramment utilisé en Physique-Chimie, car il permet de manipuler et de considérer des nombres possédant des ordres de grandeur très différents, notamment grâce à l'emploi d'échelles logarithmiques.
De manière générale, la fonction logarithme est notée :
x \mapsto \log_a(x)
Le logarithme est très couramment utilisé en Physique-Chimie, car il permet de manipuler et de considérer des nombres possédant des ordres de grandeur très différents, notamment grâce à l'emploi d'échelles logarithmiques.
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BPropriétés
Les fonctions logarithmes sont définies sur le domaine \Reals^*+. Elles vérifient plusieurs propriétés. Pour tout réel a strictement positif et différent de 1, on a :
| Propriétés | Conditions |
| \log_a(a) = 1 | — |
| \log_a(1) = 0 | — |
| \log_a (x \cdot y) = \log_a (x) + \log_a (y) | x et y réels strictement positifs |
| \log_a \bigg( \dfrac{x}{y} \bigg) = \log_a(x) - \log_a(y) | x et y réels strictement positifs |
| \log_a(x^r) = r \cdot \log_a(x) | x réel strictement positif et r réel |
| a^{\log_a (x)} = x | x réel strictement positif |
| \log_a(a^r) = r | r réel |
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CFonctions logarithmes courantes
Les fonctions logarithmes les plus couramment utilisées en Physique-Chimie sont les fonctions logarithme à base 10, usuellement notée x \mapsto \log(x), et logarithme népérien, notée x \mapsto \ln(x). Cette dernière a pour particularité d'utiliser le nombre d'Euler e comme base et d'être la réciproque de la fonction exponentielle.
Le passage de l'une à l'autre des deux fonctions est possible :
Le passage de l'une à l'autre des deux fonctions est possible :
\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}
Courbes représentatives des fonctions logarithmes
L'échelle de Richter mesure la magnitude des tremblements de terre. Sur cette échelle, toute augmentation de 1 unité correspond à une multiplication par 10 de l'énergie libérée. Cette échelle est dite logarithmique.
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