Fiche méthode 6
Outils Mathématiques
Équation de trajectoire
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A Définition et obtention
Dans un référentiel donné, associé à un repère cartésien de base (\text{O}, \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j} ), on appelle équation de trajectoire une équation de la forme y = f(x). Cette équation se distingue des équations horaires, car elle ne fait pas intervenir la variable temporelle t.
Pour obtenir l'équation de trajectoire d'un système, il est nécessaire d'avoir les équations horaires x = f(t) et y = g(t) et de s'en servir pour substituer le temps t. De cette manière, l'équation obtenue permet de désigner l'ensemble des points décrivant la trajectoire du système.
Pour obtenir l'équation de trajectoire d'un système, il est nécessaire d'avoir les équations horaires x = f(t) et y = g(t) et de s'en servir pour substituer le temps t. De cette manière, l'équation obtenue permet de désigner l'ensemble des points décrivant la trajectoire du système.
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B Exemple : mouvement parabolique
On s'intéresse au mouvement d'un projectile, dont le centre de masse est noté \text{M}, lancé avec une vitesse initiale v_0, depuis une hauteur h et selon un angle \alpha avec l'horizontale. L'utilisation de la 2e loi de Newton permet d'aboutir aux équations horaires :
\overrightarrow{\text{OM}} \begin{pmatrix}
x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t \\
y(t) = - \dfrac{g}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t + h
\end{pmatrix}_{(\text{O}, \overrightarrow{i}, \ \overrightarrow{j} )}
On peut utiliser la première équation horaire pour isoler t. Cela amène à :
x = v_0\cdot \cos(\alpha) \cdot t
t = \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)}
En substituant t dans l'expression de y, on obtient :
y = - \dfrac{g}{2} \cdot \bigg( \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \bigg)^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} + h
y = - \dfrac{g}{2 \ v^2_0 \cdot \cos(\alpha)^2} \cdot x^2 + \tan(\alpha) \cdot x + h
Cette dernière équation est l'équation de la trajectoire, correspondant à une parabole concave.
On peut utiliser la première équation horaire pour isoler t. Cela amène à :
x = v_0\cdot \cos(\alpha) \cdot t
t = \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)}
En substituant t dans l'expression de y, on obtient :
y = - \dfrac{g}{2} \cdot \bigg( \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \bigg)^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot \dfrac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} + h
y = - \dfrac{g}{2 \ v^2_0 \cdot \cos(\alpha)^2} \cdot x^2 + \tan(\alpha) \cdot x + h
Cette dernière équation est l'équation de la trajectoire, correspondant à une parabole concave.
Trajectoires paraboliques de balles.
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